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1、逻辑学导论（第三版）新编新编2121世纪系列教材世纪系列教材2第一章 什么是逻辑学？逻辑学的对象逻辑学的对象:推理和验证推理和验证命题分析和逻辑类型命题分析和逻辑类型推理形式及其有效性推理形式及其有效性逻辑基本规律逻辑基本规律“逻辑逻辑”的词源与词义的词源与词义3第一章 什么是逻辑学？逻辑学的对象逻辑学的对象:推理和验证推理和验证命题分析和逻辑类型命题分析和逻辑类型推理形式及其有效性推理形式及其有效性逻辑基本规律逻辑基本规律“逻辑逻辑”的词源与词义的词源与词义“逻辑”的古希腊词源（1）一般的规律，原理和规则；（2）命题，说明，解释，论证等；（3）理性，推理，推理能力，与经验相对的抽象理论，与直

2、觉相对的有条理的推理；（4）尺度，关系，比例，比率等。logoslogos秩序秩序规律规律“逻辑”的现代汉语词义客观事物的规律某种理论、观点思维的规律、规则逻辑学或逻辑知识古希腊的形式逻辑古希腊的形式逻辑古古印度的正理论和因明印度的正理论和因明源泉源泉古老而又年轻的一门学科中国先秦的中国先秦的名辩逻辑名辩逻辑正在发展成为一个庞大的学科体系正在发展成为一个庞大的学科体系7第一章 什么是逻辑学？逻辑学的对象逻辑学的对象:推理和验证推理和验证命题分析和逻辑类型命题分析和逻辑类型推理形式及其有效性推理形式及其有效性逻辑基本规律逻辑基本规律“逻辑逻辑”的词源与词义的词源与词义什么是逻辑学？推理和论证推理

3、和论证提供识别标准提供识别标准教会正确进行教会正确进行揭露反驳错误揭露反驳错误什么是推理？已知命题已知命题新命题新命题前提结论推理的种类个别一般演绎推理归纳推理什么是论证？理由理由观点观点反驳支持由论题、论点、论据和论证方式构成推理与论证的关系联系区别论证要使用要使用推理推理推理并不要求前提真，假命题之间完全可以进行合乎逻辑的推理；论证论证却要求论据必须真实，以假命题作论据不能证明任何东西。13第一章 什么是逻辑学？逻辑学的对象逻辑学的对象:推理和验证推理和验证命题分析和逻辑类型命题分析和逻辑类型推理形式及其有效性推理形式及其有效性逻辑基本规律逻辑基本规律“逻辑逻辑”的词源与词义的词源与词义推

4、理由命题组成已知命题已知命题新命题新命题对命题的不同分析对推理结构的不同分析不同的逻辑类型本课程涵盖的逻辑类型 复合命题和命题逻辑直言命题和词项逻辑个体词、谓词和谓词逻辑演绎逻辑归纳逻辑非形式逻辑复合命题和命题逻辑简单命题简单命题联结词联结词联言命题联言命题P 并且 q选言命题选言命题P 或者 q充分条件假言命题充分条件假言命题如果 P 那么 q充分条件假言命题充分条件假言命题 P 当且仅当 q负命题负命题并非 P p pq qp pq qp pq qp pq q p p直言命题和词项逻辑主项主项谓项谓项P量项量项所有/有些联项联项是/不是简单命题普遍词项S/单称词项a个体词、谓词和谓词逻辑个

5、体词个体词谓词谓词个体常项/个体变项F/G/R/S量词量词全称量词/存在量词简单命题简单命题联结词联结词归纳逻辑归纳推理个别性例证一般性原理或然性推理真真/假非形式逻辑批判性思维定义理论论证理论谬误理论21第一章 什么是逻辑学？逻辑学的对象逻辑学的对象:推理和验证推理和验证命题分析和逻辑类型命题分析和逻辑类型推理形式及其有效性推理形式及其有效性逻辑基本规律逻辑基本规律“逻辑逻辑”的词源与词义的词源与词义什么是推理形式？是指在一个推理中抽掉各个命题的具体内容之后，所保留下来的模式或者框架。逻辑常项逻辑变项联结词，联项，量项主项，谓项，个体词结构要素内容要素例1（1）如果小强感冒，则小强会发烧；小

6、强确实感冒了，所以，小强会发烧。（2）如果冬天来了，则春天不再遥远；冬天确实来了，所以，春天不再遥远。（1）如果小强感冒，则小强会发烧；小强确实感冒了，所以，小强会发烧。（2）如果冬天来了，则春天不再遥远；冬天确实来了，所以，春天不再遥远。如果p，那么q；p，所以q(pq)pq例2 所有的天鹅都是会飞的，所有的黑熊都不是天鹅，所以，所有的黑熊都不是会飞的。这个推理的推理形式是：所有M都是P，所有S都不是M，所以，所有S都不是P。推理形式的有效性 尽管从假的前提出发也能进行合乎逻辑的推理，其结论可能是真的，也可能是假的，但从真前提出发进行有效推理，却只能得到真结论，不能得到假结论。亦称“保真性”

7、，是指一个推理必须确保从真的前提推出真的结论。有效推理具有保真性的推理例3 所有的天鹅都是会飞的，所有的秃鹰都不是天鹅，所以，所有的秃鹰都不是会飞的。真前提，假结论真前提，假结论有效推理例例2 2也不是有效推理，虽然它有真前提和真结论也不是有效推理，虽然它有真前提和真结论跟例跟例2 2的推理形式相同的推理形式相同推理得出真结论的必要条件前提真实推理形式有效直接反驳结论反驳论据指出推理不合逻辑削弱论证的途径28第一章 什么是逻辑学？逻辑学的对象逻辑学的对象:推理和验证推理和验证命题分析和逻辑类型命题分析和逻辑类型推理形式及其有效性推理形式及其有效性逻辑基本规律逻辑基本规律“逻辑逻辑”的词源与词义

8、的词源与词义逻辑基本规律同一律矛盾律排中律充足理由律在同一思维过程中，一切思想都必须与自身保持同一。两个互相矛盾或互相反对的命题不能同真，必有一假。两个互相矛盾的命题不能同假，必有一真。在同一思维和论证过程中，一个思想被确定为真，要有充足的理由。AA(AA)AAA，AB B确定性一致性明确性论证性二值原则与二值逻辑矛盾律排中律建立在二值原则之上的逻辑叫“二值逻辑”逻辑学导论（第三版）新编新编2121世纪系列教材世纪系列教材32第二章 命题逻辑真值真值联结词和真值形式联结词和真值形式重言式及其判定方法重言式及其判定方法重言蕴涵式和重言等值式重言蕴涵式和重言等值式命题逻辑的自然推理命题逻辑的自然推

9、理日常联结词和复合命题日常联结词和复合命题33第二章 命题逻辑真值真值联结词和真值形式联结词和真值形式重言式及其判定方法重言式及其判定方法重言蕴涵式和重言等值式重言蕴涵式和重言等值式命题逻辑的自然推理命题逻辑的自然推理日常联结词和复合命题日常联结词和复合命题简单命题 亦称“原子命题”。只能分析为不同的词项、不能分析为其他命题的命题。（1）香山枫叶正红。（2）诸葛亮舌战群儒。（3）掷骰子4点朝上的概率是1/6。例如：复合命题 包含其他命题(支命题)的命题，它是用一定的联结词联结其他命题而形成的。（1）北京是中国的政治中心，并且是文化中心。（2）胜者或因其强，或因其指挥无误。（3）如果一个推理的前

10、提真并且推理形式有效，则结论必真。例如：复合命题的种类根据联结词的不同划分联言命题选言命题假言命题负命题联言命题 由“并且并且”这类联结词联结两个或多个支命题（联言支）形成的复合命题，它们是断定几种事物情况同时存在的命题。p并且并且q逻辑性质：逻辑性质：只有它的各个支命题都是真的，它本身才是真的；如果有一个支命题为假，则联言命题为假。联言推理的有效式合成式分解式否定式如果分别肯定两个联言支，则可以肯定由这两个联言支组成的联言命题。pq所以，p并且q如果肯定一个联言命题，则可以分别肯定其中的每一个联言支。p并且q所以，或者p并且q所以，q如果否定一个联言支，则可以否定包涵这个联言支的联言命题。并

11、非p所以，并非（p且q）选言命题相容选言命题p或者或者q只要有一个选言支为真，其为真；如果所有选言支都假，则为假。不相容选言命题要么要么p，要么要么q必有且只有一个选言支为真；若有多个选言支同时为真(假)，则其为假。相容选言命题的有效式否定肯定式如果肯定一个相容选言命题并且否定其中的一个选言支，则必须肯定其中的另一个选言支。p或者q非p所以，qp或者q非q所以，p或者肯定肯定式如果肯定一个选言支，则必须肯定包含这个选言支的任一选言命题。p所以，p或者q不相容选言命题的有效式否定肯定式如果否定一个不相容选言命题的一个选言支，则必须肯定它的另一个选言支。要么p，要么q 或者 要么p，要么q非p 非

12、q所以，q 所以，p肯定否定式如果肯定一个不相容选言命题的一个选言支，则必须否定它的另一个选言支。要么p，要么q 或者 要么p，要么q p q所以，非q 所以，非p选言命题的判断（1）判断一个选言命题究竟是相容的还是不相容的：看各个选言支是否能够同时为真 能同时为真的，是相容选言命题；否则，是不相容选言命题。（2）判断一个选言命题的真假：看各个选言支是否穷尽 如果一个选言命题穷尽了所有的选言支，则必真；假若选言支不穷尽，则有可能为假。假言命题（条件命题）表示条件的支命题表示结果的支命题前件后件断定前件和后件断定前件和后件之间的条件关系之间的条件关系充分条件充分条件必要条件必要条件充分必要条件充

13、分必要条件充分条件假言命题充分条件假言命题必要条件假言命题必要条件假言命题充分必要条件假言命题充分必要条件假言命题充分条件假言命题如果如果P则则q逻辑性质：逻辑性质：只有在前件真后件假的情况下，此命题才是假的或者非P或者q并非(P并且非q)充分条件假言命题的有效式如果p，那么qp所以，q如果p，那么q非q所以，非p肯定前件式否定后件式必要条件假言命题只有只有P，才，才q逻辑性质：逻辑性质：只有在前件假后件真的情况下，它才是假的有效式否定前件式肯定后件式只有p，才q非p所以，非q只有p，才qq所以，p充分必要条件假言命题P当且仅当当且仅当q逻辑性质：逻辑性质：当前件和后件同真或同假时，它为真；在

14、前后件不同真或者不同假时，它为假。P当且仅当qp所以，qP当且仅当q非p所以，非qP当且仅当qq所以，pP当且仅当q非q所以，非p有效式负命题并非并非P逻辑性质：逻辑性质：负命题的真值与原命题相反。联言命题、选言命题、假言命题和负命题本身都可以被否定，否定后等值于另外的命题49第二章 命题逻辑真值真值联结词和真值形式联结词和真值形式重言式及其判定方法重言式及其判定方法重言蕴涵式和重言等值式重言蕴涵式和重言等值式命题逻辑的自然推理命题逻辑的自然推理日常联结词和复合命题日常联结词和复合命题日常联结词的缺陷不精确负载了非逻辑内容例如例如 “或者”既可以在相容意义上用，也可以在不相容意义上使用例如例如

15、 联言命题除了表示各个支命题同时为真外，还表示并列，承接，递进关系等真值联结词真值联结词真值联结词读作读作意义意义合取并且析取或者蕴涵如果，则等值当且仅当 否定并非二元联结词一元联结词为了表示符号间的结构关系，还需要一些辅助符号，如括号“（”，“）”D1 真值形式的定义任一命题变项p，q，r，s等是真值形式如果A是真值形式，则A是真值形式如果A和B是真值形式，则AB，AB，AB，AB是真值形式只有按以上方式形成的符号串是真值形式真值形式定义的说明p，q，r，p，qs，rs，pq，qs，(p)q)r)(sq)如：如：A A，B B，C C，它们代表用对象语言表述，它们代表用对象语言表述的任一真值

16、形式。的任一真值形式。A A，B B，C C可以是上面的可以是上面的任一公式。任一公式。对象语言符号p ，q q，r r，s s，元语言符号五种最基本的公式p否定式qs合取式rs析取式pq蕴涵式qs等值式联结词的结合力按下述秩序递减：，指派与赋值真值形式是由命题变项使用真值联结词逐步生成的。真值形式的真值命题变项的真值真值联结词的意义真值指派解释真值赋值基本联结词的真值表pqppqpqpqpq1101111100010001101110010010日常语言中复合命题的符号化日常语言中的简单命题日常语言中的联结词日常语言表达的推理命题变项真值联结词符号表达式例如：“如果主动坦白交代，则既往不咎。

17、如果不主动坦白交代，则将严惩不逮。”(p(pq)q)(p pr)r)58第二章 命题逻辑真值真值联结词和真值形式联结词和真值形式重言式及其判定方法重言式及其判定方法重言蕴涵式和重言等值式重言蕴涵式和重言等值式命题逻辑的自然推理命题逻辑的自然推理日常联结词和复合命题日常联结词和复合命题真值形式的类型重言式一真值形式A是重言式，当且仅当，对于任一真值赋值，A恒恒取值为真真。矛盾式一真值形式A是矛盾式，当且仅当，对于任一真值赋值，A恒恒取值为假假。偶真式一真值形式A是偶真式，当且仅当，对于某些某些真值赋值A取值为真真，对于另一些另一些真值赋值A取值为假假。pp，(pp)，pppp，(pq)(pq)q

18、(st)重言式的判定程序（1）程序的每一步都是由一套事先给定的规则明确规定好了的，该规则规定了第一步如何做，以及在某一步完成之后下一步又如何做；（2）该程序能够在有穷步内结束；（3）对于所判定的对象是否具有某性质，该程序给出唯一确定的结果。需要满足的要求：真值表方法归谬赋值法树形图方法真值表方法（1）找出该公式中所有不同的命题变项，并竖行列出它们之间所有可能的真值组合。（2）按照该公式的生成次序，由简单到复杂横行列出该公式的所有子公式，直至该公式本身。（3）按照上面给定的真值联结词的真值表，由命题变项的真值逐步计算出各个子公式的真值，直至该公式本身的真值。(pq)pqpq11100100pq(

19、pq)p(pq)pq111001101101重重言言式式常用重言式1 AA 14(AB)C)(BC)2 AA 15(AB)A)A 3(AA)16(AB)(ACB)4(AA)A 17(AB)(ACBC)5(AA)A18(AB)(ACBC)6 A(BA)19(A(BC)(ABC)7 A(AB)20(ABC)(A(BC)8 AAB21(AB)(CD)(ACBD)9(A(BC)(AB)(AC)22 AA 10(AB)(BC)(AC)23(AB)(BA)11(A(BC)(B(AC)24(AB)(BC)(AC)12(A(AB)B)25(AB)(CD)(AC)(BD)13(A(AC)(AC)归谬赋值法 若假

20、设假设A不是重言式不是重言式，即可以为假，然后按照联结词的真值表，逐步逆推出其中各个子公式应该取的真值，直至逆推出其中所含的命题变项的真值，看能否在子公式或命题变项上导致矛盾的赋值：必须对同一个子公式或命题变项既指派真又指派假。根据归谬法，从一个假设导致矛盾假设导致矛盾，而矛盾肯定不成立，因此原假设不成立，该公式不可能为假，恒为真，是重言式是重言式。基本原理归谬赋值法（1）写出所要判定的公式A；（2）在A的主联结词下写0；（3）按照联结词的真值表，由主联结词的真值逐步逆推出其中子公式的真值，在相应子公式下写1或者0，并按此办法依次进行下去。在一子公式下写1或者0，也就是在它的主联结词下写1或者

21、0；如果这个公式是命题变项，则在该变项下写1或者0。（4）检查赋值中是否出现矛盾。若出现矛盾，为醒目起见，在互相矛盾的赋值下面置一短横线。这表明该公式不可能为假，必定是重言式。若未出现矛盾，则表明该公式可以为假，不是重言式。(pqr)s)(s(p(qr)01001001011111011111 0重言式重言式复杂情形的处理AB0 AB1AB1AB1AB0 当不能根据待判定公式中的其他赋值确定A的赋值或B的赋值时，就需要考虑各种可能的选择考虑各种可能的选择，只有在每一种选择之下都导致赋值矛盾，该公式才是重言式；若在其中一种选择之下不导致赋值矛盾，则它可以为假，不是重言式。树形图方法（1）根据下列

22、规则绘制一个倒置的树形图倒置的树形图树形图方法（2）位于直线一端或直线之间的公式集称为“节点节点”。图中开端的节点称为“树根树根”。除树根外，每一节点都是从一个已有节点延伸出来的，并且以唯一的途径通向树根。在画图过程中，从树根到一个不再延伸的节点的通道，构成一个终止于该节点的“树枝树枝”。（3）如果某个节点上的某个公式已经应用了一次画图规则，则称该公式“被用过了被用过了”，在该公式的末尾画一勾，下面画图时不必再考虑该公式。（4）如果一个树枝上同时含有一个公式和它的否定公式，则称该树枝是“封闭的封闭的”，并在其枝梢处画一个叉号。对已封闭的树枝不再应用画图规则。（5）如果每个树枝的末端已经是命题变

23、项或命题变项的否定，不能再对该树枝上的任何公式使用任何画图规则，则称该树形图已经“终结终结”。判定方法：判定方法：A是重言式，当且仅当，A的树形图中每一个树枝都是封闭的。68第二章 命题逻辑真值真值联结词和真值形式联结词和真值形式重言式及其判定方法重言式及其判定方法重言蕴涵式和重言等值式重言蕴涵式和重言等值式命题逻辑的自然推理命题逻辑的自然推理日常联结词和复合命题日常联结词和复合命题重言蕴涵式 一个推理由前提和结论两部分组成。可以用一个蕴涵式来表示该推理的形式，蕴涵式的前件是推理的各个前提的合取，其后件是推理的结论。如果一个推理形式只与只与联结词和复合命题相关，而不涉及不涉及各种非命题成分，如

24、主词、谓词、系词、量词；或个体词、谓词等等，那么，该推理形式是有有效效的，当且仅当，相应的蕴涵式是重言式当且仅当，相应的蕴涵式是重言式。常见重言蕴涵式1 AAB 15(BA)(AB)2 BBA 16(AB)(BC)(AC)3(AB)BA 17(AB)(AB)A 4(AB)AB 18(AB)(AB)A 5(AB)A 19(AB)(A B)B6(AB)B 20(AC)(BC)(AB)C 7 A(BAB)21(AB)(AC)(BC)A 8(AB)(AC)(ABC)22(AB)(CD)(AC)BD 9(AB)AB 23(AB)(CD)(BD)(AC)10(AB)BA 24(ABC)(A(BC)11(A

25、B)(AB)25(A(BC)(ABC)12(AB)(BA)26(ABC)(CA)B)13(AB)(BA)(AB)27(ABC)(CB)A)14(AB)(BA)28(AB)(BC)(C A)常见重言等值式1 ABBA 14(A(BB)(BB)2 ABBA 15(A(AB)(AB)3(AB)C)(A(BC)16(A(AB)(AB)4(AB)C)(A(BC)17(A)A 5(A(BC)(AB)(AC)18(AB)(AB)6(A(BC)(AB)(AC)19(AB)(AB)7(AA)A 20(AB)(AB)8(AA)A 21(AB)(AB)(AB)9(A(AB)A 31(AB)(AB)(AB)10(A(

26、AB)A 32(AB)(AB)(AB)11(A(BB)A 33(AB)(AB)(BA)12(A(BB)A34(AB)(AB)(AB)13(A(BB)(BB)真值联结词的可互换性，22(AB)(AB)26(AB)(AB)28(AB)(AB)(AB)，24(AB)(AB)27(AB)(AB)29(AB)(AB)(AB)，23(AB)(AB)25(AB)(AB)30(AB)(AB)(BA)73第二章 命题逻辑真值真值联结词和真值形式联结词和真值形式重言式及其判定方法重言式及其判定方法重言蕴涵式和重言等值式重言蕴涵式和重言等值式命题逻辑的自然推理命题逻辑的自然推理日常联结词和复合命题日常联结词和复合命

27、题命题逻辑中的形式推演 命题逻辑中的形式推演形式推演是一个有穷长的公式序列()，序列中的每一项(A1,A2,An)或者是给定的前提，或者是从序列中前面的公式，根据给定的规则(PN推演规则)得到的公式，序列的末尾是该推演(PN推演)的结论。如果序列末尾的公式是从空前提(=)得到的，则称该公式是命题逻辑的定理定理，此推演是关于该定理的一个证明证明。PN推演规则1.合取消去规则合取消去规则ABA；ABB或者2.合取引入规则合取引入规则 A,BABPN推演规则3.3.析取消去规则析取消去规则AB，AC，BCC二难推理的简单构成式二难推理的简单构成式4.4.析取引入规则析取引入规则 AAB；BAB或者P

28、N推演规则5.5.蕴涵消去规则蕴涵消去规则AB，AB肯定前件式肯定前件式6.6.蕴涵引入规则蕴涵引入规则若，AB，则AB分离规则分离规则简化推演PN推演规则7.7.等值消去规则等值消去规则ABAB；ABBA8.8.等值引入规则等值引入规则AB，BAAB或者PN推演规则9.9.否定消去规则否定消去规则 若，AB，B，则A10.10.否定引入规则否定引入规则 若，AB，B，则A反证法反证法归谬法归谬法PN推演规则10.10.自推规则自推规则若Ai，则 Ai或者PN推演规则，在原有前提之下进行的推演，先在原有前提下引入某个假设，最后推出了不依赖于该假设、只依赖原有前提的结论PN推演的书写规则（1）分

29、行列出所有给定的前提，并在右边标明它们是前提。（2）如果要引入假设，一开始就引入所有假设，并在右边标明它们是假设。（3）每列出一个假设，就把它向上一个公式的右边推移一个空格。（4）之后每列出一个公式，就在其右边注明它是从上面哪些公式使用什么推理规则得到的。（5）在一假设下根据，和得到的公式，都与该假设对齐，表示它们全都依赖于该假设和它前面的假设。（6）如果一个公式是通过使用，得到的，则让它“进位”，即与它上面的倒数第二个假设对齐，表示它不依赖于它上面的倒数第一个假设，该假设及其下面的公式都被解除了。（7）我们在一推演的右边画一垂直线，表示该推演的起讫，并在该垂直线的顶端置一小圆圈，表示右边的公

30、式是假设。如果该推演的最末一个公式B是从某个假设A推出的，则称该推演是从假设从假设A A到结论到结论B B的一个推演的一个推演。PN推演的应用举例如果在有限长的线段L上有无穷多个点的话，那么，如果这些点都有长度，则L将无限长；如果这些点都没有长度，则L将没有长度。而一个有限长的线段不可能无限长，也不可能没有长度。因此，在有限长的线段上不可能有无穷多个点。A(BC)(BD)，C D/A证明证明：PN定理1 A(BA)2(A(BC)(AB)(AC)3(AB)(AB)A)4(AB)(BA)5(AB)(BC)(AC)6(AB)(CD)(ACBD)如果一个P PN N推演的最末一个公式B不依赖于任何假设

31、,则称B B为为P PN N的定理的定理，该推演是关于公式B的一个证明证明。PN定理的证明(A(BC)(AB)(AC)证明：逻辑学导论（第三版）新编新编2121世纪系列教材世纪系列教材87第三章 词项逻辑直接推理直接推理三段论三段论直言直言命题的存在含义问题命题的存在含义问题文文恩图解法恩图解法直言命题直言命题88第三章 词项逻辑直接推理直接推理三段论三段论直言直言命题的存在含义问题命题的存在含义问题文文恩图解法恩图解法直言命题直言命题直言命题（主谓式命题）主项主项谓项谓项普遍词项S/单称词项aP量项量项所有/有些联项联项是/不是它断定了某个数量的对象具有或者不具有某种性质，也叫“性质命题”词

32、项直言命题的类型全称肯定命题全称肯定命题所有S都是P全称否定命题全称否定命题所有S都不是P特称肯定命题特称肯定命题有的S是P特称否定命题特称否定命题有的S不是P单称肯定命题单称肯定命题a是P单称否定命题单称否定命题a不是PSAPSAPSEPSEPSIPSIPSOPSOP直言命题中主谓项的关系内涵该词项所指称的对象所具有的特有属性或本质属性外延该词项所表示或指称的那个对象或对象的类别词项逻辑主要处理词项的外延欧拉图（或文恩图）外延之间的五种关系PPSSS PSPSP同一关系包含于关系包含关系交叉关系全异关系种属关系矛盾关系反对关系种概念种概念属概念属概念属加种差定义正概念正概念 S负概念负概念

33、S直言命题间的对当关系是指有相同素材（即相同主项和谓项）的直言命题间的真假关系。直言命题的真假，取决于外延关系的真假判定直言命题间的对当关系反对关系指A与E的关系，它们之间不能同真，但可以同假。矛盾关系指A与O、E与I的关系，它们之间既不能同真，也不能同假。差等关系指A与I、E与O之间的关系。概括为：如果全称命题真，则相应的特称命题真；如果特称命题假，则相应的全称命题假；如果全称命题假，则相应的特称命题真假不定；如果特称命题真，则相应的全称命题真假不定。指I与O的关系，它们之间可以同真，但不能同假。下反对关系SAPSOP SEPSIPSIPSEP SOPSAP对当方阵考虑单称命题的话：词项的周

34、延性在直言命题中，若断定了一个词项的全部外延，则称它是周延的周延的，否则是不周延的。周延性的特点：只有直言命题的主项和谓项才有周延与否的问题，离开直言命题的一个单独词项，无所谓周延和不周延。主、谓项的周延性是由直言命题的形式决定的，而不是相对于直言命题所断定的对象本身的实际情况而言的。命题类型命题类型主项主项谓项谓项SAP周延不周延SEP周延周延SIP不周延不周延SOP不周延周延97第三章 词项逻辑直接推理直接推理三段论三段论直言直言命题的存在含义问题命题的存在含义问题文文恩图解法恩图解法直言命题直言命题直言推理的方法换质法将一个直言命题由肯定变为否定，或者由否定变为肯定，并且将其谓项变成其矛

35、盾概念，由此得到一个与原直言命题等值的直言命题。换位法将一个直言命题的主项和谓项互换位置，但让它的质保持不变，原为肯定仍为肯定，原为否定仍为否定，并相应地改变量项，由此得到一个新的直言命题。SAPSE SEPSASIPSO SOPSI P P P P SAPPIS SEPPESSIPPIS SOP不能换位换质位法对一个直言命题先换质，再换位，由此得到一个新的直言命题。SAPSE ES SEPSA ISSIP不能换质位 SOPSI IS P P P P P P 对当关系推理法根据直言命题间的对当关系进行的推理。直言推理的方法反对关系推理矛盾关系推理差等关系推理下反对关系推理SAPSEPSEPSA

36、PSAPSIPSEPSOPSIPSAPSOPSEPSAPSOPSEPSIPSIPSEPSOPSAPSAPSOPSEPSIPSIPSEPSOPSAPSIPSOPSOPSIPSAPa是P a是PSIP单称命题与其他命题之间的推理：100第三章 词项逻辑直接推理直接推理三段论三段论直言直言命题的存在含义问题命题的存在含义问题文文恩图解法恩图解法直言命题直言命题三段论的定义其中，结论的主项是小项小项(S)(S)，含有小项的前提是小前提；结论的谓项是大项大项(P)(P)，含有大项的前提是大前提；两个前提共有的词项叫做中项中项(M)(M)。是由一个共同词项把两个直言命题(前提)连接起来，得出一个新的直言命

37、题作为结论的推理。三段论的格三段论的式根据组成三段论的三个直言命题的质与量，三段论有不同的式。一个三段论，它的大前提、小前提和结论分别可能是A、E、I、O。444 4 256三段论有效式的判定方法规则判定法先给出三段论必须遵守的一些推理规则，根据这些规则去判定一个具体的三段论是否有效。图解判定法用欧拉图和文恩图去判定一个三段论是否有效。公理演绎法首先给出明显有效的三段论公理，再根据保持有效性的推理规则，能够推出的三段论式就是有效的。三段论的一般规则在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项中项在前提中至少要周延一次在前提中不周延的词项，在结论中不得周延从两个否定前提推不出任何确定的结论如果两个前

38、提中有一个是否定的，那么结论是否定的；如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的。两个特称前提不能得结论如果两个前提中有一个特称，结论必然特称一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次三段论的特殊规则第一格规则（1）小前提必须肯定。（2）大前提必须全称。第二格规则（1）两个前提必须有一个否定。（2）大前提必须全称。第三格规则（1）小前提必须肯定。（2）结论必须特称。第四格规则（1）如果大前提肯定，则小前提必须全称。（2）如果小前提肯定，则结论必须特称。（3）如果有一个前提否定，则大前提必须全称。（4）如果大前提特称，则两个前提都必须肯定。（5）如果小前提特称，则大前提必须全称否定。三段论的全

39、部有效式第一格AAA，AAI，AII，EAE，EAO，EIO第二格AEE，AEO，AOO，EAE，EAO，EIO第三格AAI，AII，EAO，EIO，IAI，OAO第四格AAI，AEE，AEO，EAO，EIO，IAI带星号的叫“差等式差等式”三段论的公理化 他把三段论分为三个格，共有19个有效式，其中第一格叫做“完善的格”，其他两个格叫做“不完善的格”。他运用一套化归程序化归程序，即利用包括对当关系、换质、换位推理，以及命题逻辑中所讲的反三段论等在内的一些工具，试图把其他各格的有效三段论化归、还原为第一格的三段论。若把这套化归程序倒转过来，三段论就可以被公理化被公理化。亚里士多德三段论公理系统

40、三段论的非标准形式 需要将它们化归为标准形式化归为标准形式来验证其有效性验证其有效性省略式带证式三段论复合式三段论连锁式三段论其他非标准形式108第三章 词项逻辑直接推理直接推理三段论三段论直言直言命题的存在含义问题命题的存在含义问题文文恩图解法恩图解法直言命题直言命题直言命题的存在含义问题 所有直言推理都只有只有在预先假定的基础上才有效才有效，否则很多不再成立。其主项和谓项既不能是一个空类，也不能是一个全类，而是指称由实存个体组成的一个非空非全的类。传统词项逻辑的假定或预设：直言命题具有存在含义(1)A和E不再具有上反对关系。(2)I和O不再具有下反对关系。(3)全称命题和同质的特称命题之间

41、的差等关系不再成立。(4)限量换位和连续的换质位（或换位质）不再有效。(5)由两个全称前提得出特称结论的9个三段论式不再成立。例如：三段论恒有效的充分必要条件中项恰好周延一次大项和小项在前提和结论中的周延情况应相同前提和结论中的否定命题数量相同前提和结论中的特称命题数目相同三段论的有效式缩减为15个111第三章 词项逻辑直接推理直接推理三段论三段论直言直言命题的存在含义问题命题的存在含义问题文文恩图解法恩图解法直言命题直言命题文恩图解法SP1234U：整个空间1：S 2:SP3：P 4:+:区域内有元素阴影()：区域为空 PS PSSAPS =SEPSP=SIPSP SOPS P PSIPSA

42、PSEPSOP验证三段论的有效性SPM先全称，后特称+看两个前提的图解是否包含了结论的图解逻辑学导论（第三版）新编新编2121世纪系列教材世纪系列教材115第四章 谓词逻辑关系关系谓词、重叠量化和二元关系的性质谓词、重叠量化和二元关系的性质模型和赋值模型和赋值 普遍有效式普遍有效式普遍有效普遍有效式的判定问题式的判定问题谓词逻辑的自然推理谓词逻辑的自然推理个体词、性质谓词、量词和公式个体词、性质谓词、量词和公式命题逻辑和词项逻辑的局限性(1)不能处理关系命题及其推理(2)不能处理量词内部含联结词结构的命题及推理(3)不能处理多重量化，即两次结构里面还含有其他量词的语句及其推理关系谓词逻辑117

43、第四章 谓词逻辑关系关系谓词、重叠量化和二元关系的性质谓词、重叠量化和二元关系的性质模型和赋值模型和赋值 普遍有效式普遍有效式普遍有效普遍有效式的判定问题式的判定问题谓词逻辑的自然推理谓词逻辑的自然推理个体词、性质谓词、量词和公式个体词、性质谓词、量词和公式个体词、谓词和原子公式表示对象域(论域)中的个体的符号个体词个体变项(x,y,z)：论域内的某个不确定的对象个体常项(a,b,c)：论域内某个确定的对象一元谓词表示单个个体的性质，也叫“性质谓词”一元谓词符号：F,G,R,S原子公式在谓词符号后面跟着卸载一对括号内的一个个体词(个体变项或个体常项)形成的公式。如：F(a),G(x)真假判定量

44、词和量化公式全称量词存在量词量化公式：在原子公式前面加上量词形成的公式xF(x)，读做“对于所有x而言，x是F”xF(x)，读做“存在x使得x是F”可以用命题联结词把原子公式和量化公式连接起来x(F(x)G(x)xF(x)y H(y)由量词的辖域引出的概念辖域量词的管辖范围。有两种情形：(1)如果一个量词后面有括号，则处于括号内的公式是该量词的辖域。(2)如果一个量词后面无括号，则量词后面最短的公式，构成该量词的辖域。约束变项自由变项一个变项的某一次出现，如果处于量词x或x的辖域之内的，或作为与该量词一起出现的变项，则称该变项的这一次出现是“约束出现约束出现”，否则叫做“自由出现自由出现”。约

45、束出现的变项叫“约束变项约束变项”，自由出现的变项叫“自由变项自由变项”。开公式闭公式含有至少一个自由变项的公式不含任何自由变项的公式自然语言中性质命题的符号化当论域为全域时全称直言命题可符号化为全称蕴涵式SAP：x(S(x)P(x)SEP：x(S(x)P(x)特称直言命题可符号化为存在合取式SIP：x(S(x)P(x)SOP：x(S(x)P(x)单称直言命题可符号化为原子公式“春江花月夜是一支中国古代名曲”可以符号化为：F(a)“周作人不是一位具有民族气节的人”可以符号化为：F(b)122第四章 谓词逻辑关系关系谓词、重叠量化和二元关系的性质谓词、重叠量化和二元关系的性质模型和赋值模型和赋值

46、 普遍有效式普遍有效式普遍有效普遍有效式的判定问题式的判定问题谓词逻辑的自然推理谓词逻辑的自然推理个个体词、性质谓词、量词和公式体词、性质谓词、量词和公式关系命题与关系谓词断定个体之间具有某种关系的命题关系命题个体词关系谓词量词表示对象之间所具有的关系，与一元谓词没有实质性区别n n元关系元关系一阶语言一阶语言量词只能约束个体变项、不能约束谓词符号的谓词逻辑语言一阶语言初始符号(i)个体变项：x，y，z，(ii)个体常项：a，b，c，(iii)谓词符号：F，G，R，S，(iv)量词：全称量词，存在量词(v)联结词：，(vi)辅足性符号：逗号，左右括号（）形成规则(i)一个谓词符号F，后面跟有写

47、在一对括号内、并用逗点适当分开的n个个体词（n1），是原子公式。(ii)如果A是公式，则A是公式。(iii)如果A和B都是公式，则AB，AB，AB，AB是公式。(iv)如果A是公式，则xA，xA是公式。(v)只有按以上方式形成的符号串是公式量词的重叠和重叠量化式重叠量词在一个量词的辖域内还有另外的量词重叠量化式包含重叠量词的公式重复约束：有两个或两个以上的量词重复约束某个变项 x(xP(x)yL(x,y)空约束：量词不约束其辖域内的任何个体变项 x y(T(z)H(y)自然语言中关系命题的符号化（2）织女爱每一个爱牛郎的人。（1）牛郎不爱有些爱织女的男人。（3）有的投票人赞成所有的候选人。x(

48、M(x)x(M(x)L(x,a)L(x,a)L(b,x)L(b,x)x(P(x)x(P(x)L(x,b)L(x,b)L(a,x)L(a,x)x(T(x)x(T(x)y(H(y)y(H(y)Z(x,y)Z(x,y)127第四章 谓词逻辑关系关系谓词、重叠量化和二元关系的性质谓词、重叠量化和二元关系的性质模型和赋值模型和赋值 普遍有效式普遍有效式普遍有效普遍有效式的判定问题式的判定问题谓词逻辑的自然推理谓词逻辑的自然推理个个体词、性质谓词、量词和公式体词、性质谓词、量词和公式模型和赋值个体域D解释函数I一阶语言L的一个模型M对自由变项的值对自由变项的值进行指派进行指派把L中的个体常项c解释为D中某

49、个个体，并且把L中的一元谓词符号解释为D中个体的集合，把n元谓词符号解释为D中个体的n元有序组集合可以确定闭公式的意义和真假开公式？具有一定性质的个体构成的集合模型M指派赋值(U，)可以确定谓词逻辑所有公式的意义和真假普遍有效式不可满足式可满足式普遍有效式 xFxF(x)(x)F(y)F(y)从一般到个别的推理F(y)F(y)xFxF(x)(x)从个别到存在的推理 x(F(x)x(F(x)F(x)F(x)排中律 x(F(x)x(F(x)F(x)F(x)矛盾律 xFxF(x)(x)x x F(x)F(x)全称量词可以用存在量词来定义 xFxF(x)(x)x x F(x)F(x)存在量词可以用全称

50、量词来定义 x(F(x)x(F(x)G(x)G(x)(xFxF(x)(x)xGxG(x)(x)全称量词对于蕴涵的分配律 x(F(x)x(F(x)G(x)G(x)(xFxF(x)(x)xGxG(x)(x)全称量词对于合取的分配律 x(F(x)x(F(x)G(x)G(x)(xFxF(x)(x)xGxG(x)(x)存在量词对于析取的分配律 x x yRyR(x,y)(x,y)y y x x R(x,y)R(x,y)存在量词与全称量词的交换律130第四章 谓词逻辑关系关系谓词、重叠量化和二元关系的性质谓词、重叠量化和二元关系的性质模型和赋值模型和赋值 普遍有效式普遍有效式普遍有效普遍有效式的判定问题式