第二章-正态分布课件.ppt

1、医学统计方法 Medical Statistics第 二 章数值变量资料的统计描述公共卫生学系 田玉慧复习1.总体与样本总体与样本2.平均数与标准差平均数与标准差3.各种平均数的应用条件各种平均数的应用条件4.离散指标离散指标5.标准差的应用标准差的应用一、正态分布的概念和特征一、正态分布的概念和特征二、正态分布曲线下面积分布规律二、正态分布曲线下面积分布规律三、标准正态分布三、标准正态分布四、正态分布的应用四、正态分布的应用（一）制定医学参考值范围（一）制定医学参考值范围（二）正态分布是许多统计方法的理论基础（二）正态分布是许多统计方法的理论基础（三）质量控制（三）质量控制9.正态分布及其应

2、用一、正态分布(normal distribution)00.020.040.060.080.10.120.1412.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.0000.020.040.060.080.10.120.1412.014.517.019.522.024.527.029.532.0图图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图频数分布与正态分布曲线示意图101名正常成年女子血清胆固醇分布05101520252.302.903.504.104.705.30频数（f）f（X）一、正态分布一、正态分布(normal distribution)

3、v 正态分布是数理统计学中最重要的理论分正态分布是数理统计学中最重要的理论分布。医学中许多现象如身高、体重、血压、红细布。医学中许多现象如身高、体重、血压、红细胞数等的频数分布服从正态分布，或近似于正态胞数等的频数分布服从正态分布，或近似于正态分布，或经过数据转换可使其符合正态分布。即分布，或经过数据转换可使其符合正态分布。即使是偏态分布的资料，当样本量很大时，也可以使是偏态分布的资料，当样本量很大时，也可以近似地用正态分布来处理。近似地用正态分布来处理。一、正态分布一、正态分布(normal distribution)v 正态分布以均数所在处频数最多，两侧逐正态分布以均数所在处频数最多，两侧

4、逐渐减少，但永不为零，左右完全对称。其图形渐减少，但永不为零，左右完全对称。其图形为近似钟形。为近似钟形。v 正态分布的表示方法为正态分布的表示方法为N(,2)。其中。其中为为均数均数,是正态分布的位置参数；是正态分布的位置参数；2是方差，反是方差，反映了正态分布的形态。有了这两个参数，即可映了正态分布的形态。有了这两个参数，即可绘制出正态分布的图形。绘制出正态分布的图形。一、正态分布一、正态分布(normal distribution)v 如果以总频数为如果以总频数为1，当变量值为，当变量值为x时时的频数可用下式求得：的频数可用下式求得：22121xexf)(x一、正态分布(normal d

5、istribution)v 例例 设某地成年男性身高的均数为设某地成年男性身高的均数为170cm，标准差为，标准差为7cm，成年女性身高，成年女性身高的均数为的均数为165cm，标准差为，标准差为5cm，均符，均符合正态分布。试绘制频数分布图并比较合正态分布。试绘制频数分布图并比较二者的异同。二者的异同。v 按上式计算按上式计算x取不同值时的理论频取不同值时的理论频数，结果见下表。数，结果见下表。v正态分布频数计算表 男性 女性 x f(x)x f(x)1461501541581621661701741781821861901940.0001600.0009620.0041810.013112

6、0.0296610.0484070.0569920.0484070.0296610.0131120.0041810.0009620.0001601471501531561591621651681711741771801830.0001220.0008860.0044790.0157900.0388370.0666450.0797880.0666450.0388370.0157900.0044790.0008860.000122一、正态分布(normal distribution)v将表中频数绘制成频数分布图 图图2-5 正态分布参数位置变化示意图正态分布参数位置变化示意图1图图2-6 正态分布

7、变异度不同变化示意图正态分布变异度不同变化示意图一、正态分布(normal distribution)v 男女身高的频数分布图形的比较：v 1.共同点：共同点：v 男女在不同身高的频数分布均为完全对称的钟男女在不同身高的频数分布均为完全对称的钟形分布，以均数所在处频数最多，两侧逐渐减少。形分布，以均数所在处频数最多，两侧逐渐减少。v 2.不同点：不同点：v 位置不同，男性身高的均数大于女性，故图形位置不同，男性身高的均数大于女性，故图形靠右；靠右；v 高低不同，男性身高的方差大于女性，故变量高低不同，男性身高的方差大于女性，故变量值更分散，图形更低平。值更分散，图形更低平。二、正态分布曲线下的

8、面积v 如果以曲线下的总面积为如果以曲线下的总面积为1，则从，则从-至至x的面积可用下列积分公式求得：的面积可用下列积分公式求得：v v 按上式求得的按上式求得的F(x)即当随机变量即当随机变量X取值取值范围为范围为-x时所对应的正态曲线下的面积占时所对应的正态曲线下的面积占总面积的比例，总面积的比例，F(x)实际上反映了随机变量实际上反映了随机变量X取值范围为取值范围为-x的概率大小，因此，称该正的概率大小，因此，称该正态分布为随机变量态分布为随机变量X的概率分布。的概率分布。dxexFxx22121)(x二、正态分布曲线下的面积v 例例 设某地成年男性身高的均数为设某地成年男性身高的均数为

9、170cm，标，标准差为准差为7cm，假设该地共有成年男性，假设该地共有成年男性10 000人，人，求该地身高不超过求该地身高不超过160cm者有多少人？又该地身者有多少人？又该地身高在高在160cm180cm之间者共有多少人？之间者共有多少人？0764.0160271)160(1607170160212deF9236.0180271)180(1807170180212deF正态分布曲线下面积的计算正态分布曲线下面积的计算 二、正态分布曲线下的面积v即：即：v身高不超过身高不超过160cm160cm的人数为：的人数为：v10 00010 0000.0764=7640.0764=764（人）（人

10、）v身高在身高在160cm180cm之间的人数为：之间的人数为：v10 000(0.9236-0.0764)v=10 0000.8472=8 472（人）（人）三、标准正态分布三、标准正态分布 v 由于不同随机变量的概率分布不同，要求得由于不同随机变量的概率分布不同，要求得随机变量随机变量X取值范围为取值范围为-至至x的概率需要经过繁琐的概率需要经过繁琐的计算，从而给实际应用带来困难。的计算，从而给实际应用带来困难。v 如果将任一正态分布转化为同一个分布，则如果将任一正态分布转化为同一个分布，则使问题大大简化。不同正态分布的差别在于其均使问题大大简化。不同正态分布的差别在于其均数和标准差不同，

11、如果把原来的随机变量值用数和标准差不同，如果把原来的随机变量值用相相对数值对数值表示，就可以解决这一问题。表示，就可以解决这一问题。三、标准正态分布 v 将各变量值的离均差与标准差比较，即离均将各变量值的离均差与标准差比较，即离均差是标准差的多少倍，此值称差是标准差的多少倍，此值称标准单位标准单位（u），即），即该变量值在平均数之上或之下多少个标准差。该变量值在平均数之上或之下多少个标准差。v 例如，如果某成年男性的身高为例如，如果某成年男性的身高为177cm，则，则离均差离均差=177-170=7（cm），恰好等于标准差，其），恰好等于标准差，其标准单位值为标准单位值为1，即超过均数，即超过

12、均数1个标准差。又如某成个标准差。又如某成年男性的身高为年男性的身高为156cm，其标准单位值为，其标准单位值为-2，即低，即低于均数于均数2个标准差。个标准差。三、标准正态分布 v 对于任一正态分布对于任一正态分布N(,2)作下列作下列u变换变换：v 则则u u值的分布为均数为值的分布为均数为0 0，标准差为，标准差为1 1的正态分的正态分布，即布，即标准正态分布标准正态分布（standard normal distribution）。）。v 由于正态分布以均数所在处频数最多，两侧由于正态分布以均数所在处频数最多，两侧逐渐减少，左右完全对称，故逐渐减少，左右完全对称，故u值的均数为值的均数为

13、0。又由。又由于以原变量值的标准差为单位，故于以原变量值的标准差为单位，故u值的标准差为值的标准差为1 xu三、标准正态分布 v u u值的分布图形为近似钟形。如果以总频数为值的分布图形为近似钟形。如果以总频数为1 1，不同不同u u值时的频数（相当于概率）可用下式求得：值时的频数（相当于概率）可用下式求得：v v 如果以曲线下的总面积为如果以曲线下的总面积为1 1，则从，则从-至至u u的面积可的面积可用下列积分公式求得：用下列积分公式求得：ueuu,21)(2/2udueuuu,21)(2/2标准正态分布标准正态分布u u 值所对应的概率和曲线下的面积值所对应的概率和曲线下的面积 三、标准

14、正态分布三、标准正态分布 v 由于标准正态分布只有唯一的由于标准正态分布只有唯一的1 1条曲线，我条曲线，我们可以把从们可以把从-至至u u取不同值时所对应的曲线的面积取不同值时所对应的曲线的面积求出，列成表格（见表求出，列成表格（见表9-8 9-8 标准正态分布曲线下标准正态分布曲线下的面积），这样我们就不需要面积的积分公式，避的面积），这样我们就不需要面积的积分公式，避免了繁琐的计算过程，从而能够比较轻松地解决正免了繁琐的计算过程，从而能够比较轻松地解决正态分布的问题。态分布的问题。三、标准正态分布v 例例 设某地成年男性身高的均数为设某地成年男性身高的均数为170cm，标，标准差为准差为

15、7cm，假设该地共有成年男性，假设该地共有成年男性10 000人，人，求该地身高不超过求该地身高不超过160cm者有多少人？又该地身者有多少人？又该地身高在高在160cm180cm之间者共有多少人？之间者共有多少人？v 对于本例的问题，采用标准正态分布来解决就对于本例的问题，采用标准正态分布来解决就简单多了。简单多了。v首先，计算首先，计算x1=160cm和和x2=180cm时的时的u值值：43.171701601u43.171701802u标准正态分布曲线下面积的计算标准正态分布曲线下面积的计算 三、标准正态分布v查表查表9-8（标准正态分布曲线下的面积）得：（标准正态分布曲线下的面积）得：

16、v(-1.43)=0.0764v身高不超过身高不超过160cm的人数的人数=10 0000.0764=764（人）（人）v由于标准正态分布左右完全对称，因此：由于标准正态分布左右完全对称，因此：v(u)=1-(-u)v(1.43)=1-0.0764=0.9236v从从u1至至u2所对应的曲线下的面积所对应的曲线下的面积=1-2(-u)v 故身高在故身高在160cm180cm之间的人数为：之间的人数为：v 10 000(1-20.0764)=8472（人）（人）正态分布的特征v正态曲线在横轴上方，且以均数所在处正态曲线在横轴上方，且以均数所在处最高；最高；越远离中心，曲线越接近越远离中心，曲线越

17、接近X轴，曲轴，曲线下的面积越小。线下的面积越小。v正态分布以均数为中心，左右对称；正态分布以均数为中心，左右对称；X取值范围为取值范围为-X，X离离越远，越远，f(X)越越小小,但不会等于但不会等于0。正态分布的特征正态分布有两个参数：正态分布有两个参数：(位置参数位置参数)：决定曲线在：决定曲线在X轴上的位置轴上的位置(见图见图3-3)。(变异参数变异参数)：决定曲线的形态：决定曲线的形态(见图见图3-4)。正态分布的特征正态分布曲线下的面积有一定规律正态分布曲线下的面积有一定规律（见图3-2）。58.296.11xxx占占95%的面积，即包的面积，即包含含95%的变量值的变量值占占99%

18、的面积，即包含的面积，即包含99%的变量值的变量值占占68.27%68.27%的面积，即包含的面积，即包含68.27%68.27%的变量值的变量值(1.96)(1.96)0.9750.0250.95uu u0.05/2=1.96 （双侧）（双侧）u0.01/2=2.58（双侧）（双侧）u0.05=1.64 （单侧）（单侧）u0.01=2.33（单侧）（单侧）统计中常用尾部面积为统计中常用尾部面积为的的u值，记值，记 ，称，称为为u界值。界值。u变量值分布变量值分布的范围表达的范围表达X占的百占的百分比分比(%)1,1()96.1,96.1()58.2,58.2(68.2795.0099.00

19、任意正态分布变量值任意正态分布变量值(X)理论上分布规律理论上分布规律医学常用的三个医学常用的三个X 分布范围及分布范围及u界值界值（1）X值分布范围值分布范围四、正态分布的应用v（一）估计频数分布v（二）制定参考值范围v（三）质量控制v（四）正态分布是许多统计方法的理论基础四、正态分布的应用v（三）利用正态分布进行质量控制v 由于随机测量误差的分布符合以由于随机测量误差的分布符合以0 0为中为中心的正态分布，假如对同一份样品采用同样的心的正态分布，假如对同一份样品采用同样的方法多次重复测定同一个指标，则所有测量值方法多次重复测定同一个指标，则所有测量值的分布符合以真实值为中心的正态分布的分布

20、符合以真实值为中心的正态分布。实验室检测质量控制实验室检测质量控制v 在实验室检测质量控制中，通常以在实验室检测质量控制中，通常以 作为上下警戒值，以作为上下警戒值，以 作为上下控制值。作为上下控制值。这里这里2 2s s和和3 3s s分别作为分别作为1.961.96s s和和2.582.58s s的近似值。如果的近似值。如果某个测量值超出了警戒值，该值与真实值之差仅由某个测量值超出了警戒值，该值与真实值之差仅由随机测量误差所致的可能性小于随机测量误差所致的可能性小于5%5%，这时需要对仪，这时需要对仪器、试剂等进行检查和校正，以消除可能导致系统器、试剂等进行检查和校正，以消除可能导致系统误

21、差的因素。如果某个测量值超出了控制线，该值误差的因素。如果某个测量值超出了控制线，该值与真实值之差仅由随机测量误差所致的可能性小于与真实值之差仅由随机测量误差所致的可能性小于1%(1%(具体地说是具体地说是0.26%)0.26%)，可以认为存在系统误差，可以认为存在系统误差，该测量值应当舍弃。该测量值应当舍弃。sx2sx3实验室检测质量控制实验室检测质量控制v质量控制图（示意）实验室检测质量控制实验室检测质量控制v 临床实验室检测的质量控制也可以采用临床实验室检测的质量控制也可以采用正常值均数质控图来进行。以血糖测定为例，正常值均数质控图来进行。以血糖测定为例，根据大量正常血糖测量值计算得：根

22、据大量正常血糖测量值计算得：v =5.10 mmol/L=5.10 mmol/L，s s=0.51 mmol/L=0.51 mmol/L，并，并绘制质控图。然后，在每天工作结束时，从绘制质控图。然后，在每天工作结束时，从当天测量结果在正常范围内的测量值中连续当天测量结果在正常范围内的测量值中连续抄录抄录5 51010个值并计算均数，观察该均数是个值并计算均数，观察该均数是否超出警戒线或控制线。否超出警戒线或控制线。x实验室检测质量控制实验室检测质量控制v血糖测定的正常值均数质控图血糖测定的正常值均数质控图 四、正态分布的应用（四）正态分布是许多统计方法的理论基础1.其它一些分布在一定条件下也可

23、以按正态分其它一些分布在一定条件下也可以按正态分布做近似计算。如二项分布、泊松分布的极布做近似计算。如二项分布、泊松分布的极限形式就是正态分布。限形式就是正态分布。2.统计学中一些分布就是由正态分布推导出的，统计学中一些分布就是由正态分布推导出的，如统计学中常用的三大分布如统计学中常用的三大分布2分布、分布、t 分布、分布、F分布等。分布等。3.许多资料都可经过转换成近似正态分布许多资料都可经过转换成近似正态分布10、正常值范围 一、正常值的意义和制定步骤一、正常值的意义和制定步骤 正常参考值范围（正常参考值范围（normal reference ranges）是指正常人群中一些解剖、生理、生

24、化指标及是指正常人群中一些解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据的正常波动范围组织代谢产物含量等数据的正常波动范围。个体差异个体差异 生理变异生理变异v 1.从正常人总体中随机抽样从正常人总体中随机抽样v 这里的这里的“正常人正常人”并非是指没有任何疾病并非是指没有任何疾病的人，只要排除那些对所研究指标有影响的疾病的人，只要排除那些对所研究指标有影响的疾病或有关因素的人即可。例如，制定血压正常值范或有关因素的人即可。例如，制定血压正常值范围时，应将高血压病人及相关疾病的患者排除于围时，应将高血压病人及相关疾病的患者排除于研究对象之外，同时，研究对象在研究期间内不研究对象之外，同时，研究对

25、象在研究期间内不能有对血压有影响的因素，如情绪激动、大量运能有对血压有影响的因素，如情绪激动、大量运动等，也不能服用对血压有影响的药物。动等，也不能服用对血压有影响的药物。另外，另外，样本量要足够，每个人群组在样本量要足够，每个人群组在100例以上。例以上。2.控制测量误差控制测量误差 测量方法、仪器、试剂、精密测量方法、仪器、试剂、精密度、操作熟练程度等应统一。度、操作熟练程度等应统一。一般应选用测量结果准确、一般应选用测量结果准确、可靠，并能为大多数医疗单位采用可靠，并能为大多数医疗单位采用的检测仪器或方法。的检测仪器或方法。3.明确所研究指标的总体分布：明确所研究指标的总体分布：（1）是

26、否正态分布：正态检验）是否正态分布：正态检验（2）是否通过数据转换后成为近似正态分布）是否通过数据转换后成为近似正态分布（3）是否需要分组制定参考值范围，如男女红）是否需要分组制定参考值范围，如男女红细胞分布不同，细胞分布不同，（4）再考虑其它方法：偏态时，用百分位数）再考虑其它方法：偏态时，用百分位数4.确定采用单侧界值还是双侧界值确定采用单侧界值还是双侧界值 如果该指标升高或降低均有病理学意义，如果该指标升高或降低均有病理学意义，则需要制定双侧界值，如红细胞数、白细胞数则需要制定双侧界值，如红细胞数、白细胞数等；等；如果该指标升高时有病理学意义，而降如果该指标升高时有病理学意义，而降低时无

27、意义，只需要制定一个正常值上限，如低时无意义，只需要制定一个正常值上限，如尿铅值；尿铅值；如果该指标降低时有病理学意义，而升如果该指标降低时有病理学意义，而升高时无意义，只需要制定一个正常值下限，如高时无意义，只需要制定一个正常值下限，如肺活量。肺活量。v5.选定适当的百分界限选定适当的百分界限v 即确定发生错误的概率（即确定发生错误的概率（）。一般取）。一般取=0.05，即，即95%正常值范围，该范围将包含正常值范围，该范围将包含95%的正常观察值，也就是说有的正常观察值，也就是说有5%的正常观的正常观察值将被排除于该范围之外。察值将被排除于该范围之外。v 如果临床上要求尽量减少误诊，则应取

28、如果临床上要求尽量减少误诊，则应取较高的百分界限，如较高的百分界限，如95%或或99%；如果临床上；如果临床上要求尽量减少漏诊，则应取较低的百分界限，要求尽量减少漏诊，则应取较低的百分界限，如如90%或或80%。三、正常值范围的正态分布法正态分布法v 如果所研究指标的总体分布符合正态分如果所研究指标的总体分布符合正态分布或近似于正态分布，可根据正态分布曲线布或近似于正态分布，可根据正态分布曲线下的面积分布规律，计算包含下的面积分布规律，计算包含95%的观察值的观察值范围，即为范围，即为95%正常值范围。计算公式为：正常值范围。计算公式为：三、正常值范围的正态分布法正态分布法 表3-3 正态分布

29、法计算医学参考值范围百分范围（%）单侧双侧下限上限下限上限9599SXSX33.265.1SXSX33.265.1SXSX58.296.1SXSX58.296.1如果所研究指标的总体分布符合正态分布或近似如果所研究指标的总体分布符合正态分布或近似于正态分布，可根据正态分布曲线下的面积分布于正态分布，可根据正态分布曲线下的面积分布规律，规律，单双侧正常值范围示意图单双侧正常值范围示意图 v例例 已知健康人群中血糖含量的频数分布近似于正态分已知健康人群中血糖含量的频数分布近似于正态分布，今测定某地健康成人布，今测定某地健康成人500500名，得血糖均数为名，得血糖均数为5.10 5.10 mmol

30、/Lmmol/L，标准差为，标准差为0.51 mmol/L0.51 mmol/L，试估计该地健康成人血，试估计该地健康成人血糖含量糖含量95%95%正常值范围。正常值范围。v 本例需计算双侧正常值范围：本例需计算双侧正常值范围：v上限：上限：=5.10+1.96=5.10+1.960.51=4.100.51=4.10（mmol/Lmmol/L）v下限：下限：=5.10=5.10-1.961.960.51=6.100.51=6.10（mmol/Lmmol/L）v即估计该地健康成人血糖含量即估计该地健康成人血糖含量95%95%正常值范围为正常值范围为:4.10:4.106.10 mmol/L6.1

31、0 mmol/L。sx96.1sx96.1v正常值范围的估计方法正常值范围的估计方法v对数正态分布法对数正态分布法v95%双侧正常值范围：双侧正常值范围：v95%单侧正常值上限：单侧正常值上限：v95%单侧正常值下限单侧正常值下限：)96.1(lglglg1xxsx)645.1(lglglg1xxsx)645.1(lglglg1xxsxv对于偏态分布或开口资料，可按百分位数对于偏态分布或开口资料，可按百分位数法计算。法计算。v计算公式为：计算公式为：v95%95%双侧正常值范围：双侧正常值范围：P P2.52.5P P97.597.5 v95%95%单侧正常值上限：单侧正常值上限：P P959

32、5 v95%95%单侧正常值下限：单侧正常值下限：P P5 5三、正常值范围的百分位数法三、正常值范围的百分位数法单双侧正常值范围（百分位数法）示意图单双侧正常值范围（百分位数法）示意图 正常值范围的估计v例例 测得某地测得某地200名正常人尿铅含量，试计算名正常人尿铅含量，试计算95%正常值范围。正常值范围。尿铅(mg/L)f f 累积频数(%)0 4 81216202428322039554330 9 1 2 1 20 59114157187196197199200 10.0 29.5 57.0 78.5 93.5 98.0 98.5 99.5100.0正常值范围的估计v表表中中数据显示正

33、常人的尿铅值频数分布呈正偏态分布，且数据显示正常人的尿铅值频数分布呈正偏态分布，且铅为人体非必需元素，铅含量过低无临床意义，故只需制铅为人体非必需元素，铅含量过低无临床意义，故只需制定一个上限值，即第定一个上限值，即第9595百分位数。百分位数。本本例：例：L L=20 mg/L=20 mg/L，i i=4=4 mg/Lmg/L，f f9595=9=9，f fL L=187=187，故：，故：v v即该地正常人尿铅的即该地正常人尿铅的95%95%正常值上限为正常值上限为21.33 mg/L21.33 mg/L。)/(33.21187%952009420%959595LmgfnfiLPL小 结正态分布及应用v正态分布的概念及其特征正态分布的概念及其特征v正态分布曲线下的面积规律正态分布曲线下的面积规律v标准正态分布的概念标准正态分布的概念v如何利用附表如何利用附表1计算正态曲线下的面积（概率）计算正态曲线下的面积（概率）v正态分布的应用正态分布的应用医学参考值范围的制定方法v正态分布法正态分布法v百分位数法百分位数法 Best Wishes to All of You!Thank You for Listening！