1、开封市第二实验高中：孙义章开封市第二实验高中：孙义章一、复习引入一、复习引入同一平面内两个不共线的非零向量同一平面内两个不共线的非零向量a、b，对平面内任意向量对平面内任意向量p，有且只有一对实数，有且只有一对实数x，y，使：使：p=xa+yb（a、b称基底）称基底）1、平面向量基本定理：、平面向量基本定理：2空间共面向量定理及其推论空间共面向量定理及其推论（1）共面向量定理：如果两个向量）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量不共线，则向量p与向量与向量a、b共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对x，y，使得，使得 p=xa+yb（2）共面向量定理的推论：空间一点）共面
2、向量定理的推论：空间一点P在平面在平面MAB内的充要条件是存在有序实内的充要条件是存在有序实数对数对x，y，使得，使得 ，或对于空间任意一定点或对于空间任意一定点O，有，有 MByMAxOMOPOByOAxOMyxOP)1(MByMAxMP问题问题1:ABDABCDABADAAACAAADABAC右图中的向量是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？问题问题2：ABADAAAC如果向量分别和向量a、b、c共线，xa+yb+zc能否用向量a、b、c表示向量?ACC一、空间向量基本定理一、空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一不共面，那么对于空间任一向量向
3、量p，存在一个唯一的有序实数组，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使使 pxa+yb+zc OPPAABBCC证明证明:存在性存在性设设a、b、c不共面，不共面，OOAOB过点过点=a,=b,OC=c,OP=p;PPPOC过点作直线平行于OABP交平面于点在平面OAB内，过点P作直线/,/PAOB PBOA 存在三个实数,x y zxOAxAOyOByBOzOCzCO使a,b,c.作作OP OAOBOCxOA yOB zOC 所以所以pxa+yb+zc.唯一性：唯一性：设另有一组实数x、y、z，使得pxa+yb+zc，则有 xa+yb+zcxa+yb+zc，(xx)a+(yy)b+(zz)c
4、0a、b、c不共面，xxyyzz0，即xx且yy且zz故实数x、y、z是唯一的OPPAABBCC说明说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量 空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把a、b、c叫做空间的一个基底基底，a、b、c都叫做基向量基向量 二、几个基本概念：二、几个基本概念：三、推论三、推论:推论推论:设设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空是不共面的四个点，则对空间任一点间任一点P，都存在一个
5、唯一的有序实数组都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使使 OCzOByOAxOP说明：说明：若若xyz，则根据共面向量定理得：，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面四点共面 例例1：已知空间四边形：已知空间四边形OABC，对角线，对角线OB、AC，M和和N分分别是别是OA、BC的中点，点的中点，点G在在MN上，且使上，且使MG=2GN，试用基底试用基底 表示向量表示向量OCOBOA,OGOABCNMG证明：证明：MGOMOGMNOA3221OMONOA3221OAOCOBOA21213221.313161OCOBOAOG三、课堂练习：三、课堂练习：1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空间的另一基底？2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，且OA,OB,OC所在向量分别为a,b,c.用a,b,c表示向量MN3、如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么a,b间应有什么关系？c=1/2b+1/2c-1/2aMN共线五、作业：五、作业：v课本P36 习题9.5 四、课时小结四、课时小结:1、空间向量基本定理也称为空间向量分解定理，2、空间向量基本定理的推论。
