热力学与统计物理-优质课件.ppt

1、热学和统计物理基础第一章 热学基本概念 1.1平衡态和状态参量 1.1.1 系统和外界 系统(system)研究热力学问题时所定义的研研究热力学问题时所定义的研究对象究对象 外界(surroundings)除系统以外的所有客观除系统以外的所有客观存在存在 系统边界(boundaries)孤立系(isolated system)封闭系(closed system)开(放)系(统)(open system)绝热是相对的实际应用中与交换量有关例如当测量低吸收时采用真空下的温升测量1.1.2 平衡态平衡态(equilibrium state)热力学系统的状态热力学系统的状态热力学状态：系统在某一时刻所

2、呈现出来热力学状态：系统在某一时刻所呈现出来的热力学方面的宏观物理状况的热力学方面的宏观物理状况,T、p、热力学平衡状态热力学平衡状态 在不变的外界条件下，系统经过足够长时间后将达到一个宏观上不随时间变化的状态，如在此状态系统各处还无宏观的粒子流、电流和热量流，则这样的状态称为热力学平衡态 热力学平衡的内容热力学平衡的内容 热力学平衡包括：热力学平衡包括：力学平衡力学平衡：系统中各部分间不存在系统中各部分间不存在不不平衡力的作用平衡力的作用，相互间不会作功，从而不会引起系统内部的压力变化相互间不会作功，从而不会引起系统内部的压力变化和密度变化和密度变化 热平衡热平衡：系统中各部分间不存在温度差

3、别系统中各部分间不存在温度差别，因而系统，因而系统内部不同部分间不会发生传热现象内部不同部分间不会发生传热现象 化学平衡化学平衡：系统中各相间不存在化学势差系统中各相间不存在化学势差，不会发，不会发生化学反应、相变、溶解、等现象，即不同相之间不生化学反应、相变、溶解、等现象，即不同相之间不发生质量转移发生质量转移 “相相”指的是指的是物质内部性质均匀一致的聚集体物质内部性质均匀一致的聚集体（4）平衡平衡稳定稳定“稳定稳定”仅指仅指事物不随时间变化事物不随时间变化，至于是在什么条件，至于是在什么条件下达到的却没有限定下达到的却没有限定“热力学平衡热力学平衡”的含义则不同的含义则不同应当注意到它是

4、限应当注意到它是限定在定在“没有外界作用没有外界作用”的条件下的条件下达到的达到的平衡状态 孤立系统经过很长时间后，达到一种状态，系统的性质不随时间变化，这种状态称为热力学平衡状态(5)(5)平衡状态是进行热力学分析的基础平衡状态是进行热力学分析的基础热力学平衡是经典热力学理论中最基本、最重要的概念热力学平衡是经典热力学理论中最基本、最重要的概念之一：之一：仅当系统处于平衡态时，才能给予确切描述仅当系统处于平衡态时，才能给予确切描述 热力学基本理论实际上针对系统的热力学基本理论实际上针对系统的平衡特性平衡特性而给出相而给出相关结论关结论 经典热力学中所说的状态原则上是热力学平衡状态；经典热力学

5、中所说的状态原则上是热力学平衡状态；热力学过程是由一系列平衡状态构成的过程热力学过程是由一系列平衡状态构成的过程平平 衡衡外界作用外界作用平衡打破平衡打破不平衡不平衡弛豫时间弛豫时间（Relaxation time）新平衡新平衡(6)(6)热力学平衡的自发性和必然性热力学平衡的自发性和必然性只要系统内存在势差，又不给予只要系统内存在势差，又不给予约束约束，系统的状态就，系统的状态就会自发地朝着消除不平衡势的方向变化，会自发地朝着消除不平衡势的方向变化，一切系统都自一切系统都自发趋向平衡状态发趋向平衡状态（热力学第二定律）（热力学第二定律）系统状态变化的必然历程：系统状态变化的必然历程：1.1.

6、3 状态参量状态参量 状态参数的数学性质状态参数的数学性质状态参数状态参数状态参数对所描述的状态具有单值性状态参数对所描述的状态具有单值性 状态参数只与系统当前的状态有关，对应于系统特定状态参数只与系统当前的状态有关，对应于系统特定的状态，状态参数应有确定的、唯一的值的状态，状态参数应有确定的、唯一的值 状态参数只对平衡状态才有定义状态参数只对平衡状态才有定义描述热力系状态的物理量描述热力系状态的物理量 状态参数是系统对应的某种微观特性的统计平状态参数是系统对应的某种微观特性的统计平均结果均结果 BTwm22 状态参数在数学上的组合也是状态参数状态参数在数学上的组合也是状态参数 例如，热力学温

7、度只不过是气体分子运动强度在宏例如，热力学温度只不过是气体分子运动强度在宏观上的反映观上的反映 例如状态参数焓的定义式为例如状态参数焓的定义式为h=u+Pv，式中，式中u、P、v均为状态参数，均为状态参数，h是它们数学上的一种的组合，因此是它们数学上的一种的组合，因此也是系统的一个状态参数也是系统的一个状态参数 独立状态参数独立状态参数 为了确定系统的状态实际上只需给定少数几个状态参为了确定系统的状态实际上只需给定少数几个状态参数。用于给定系统状态的参数为独立状态参数数。用于给定系统状态的参数为独立状态参数，其余，其余的则是非独立参数的则是非独立参数 通常的气体系统（属于通常的气体系统（属于简

8、单可压缩简单可压缩系统），只有系统），只有2个独个独立状态参数立状态参数 强度参数和广延参数强度参数和广延参数 强度参数强度参数是一种是一种与系统规模无关的参数与系统规模无关的参数。这种参数对。这种参数对于整个系统或系统的一个部分（子系统）都是一样的，于整个系统或系统的一个部分（子系统）都是一样的，不具可加性，如温度不具可加性，如温度T、压力、压力P 广延参数广延参数是一种是一种与系统规模有关的参数与系统规模有关的参数。具有可加性，。具有可加性，对于整个系统，该参数等于各个子系统的同名参数之和。对于整个系统，该参数等于各个子系统的同名参数之和。象系统的质量象系统的质量m、容积、容积V、系统的（

9、总）热力学能（内、系统的（总）热力学能（内能）能）U、（总）焓、（总）焓H、（总）熵、（总）熵S等都属于广延参数等都属于广延参数 热力学第零定律 系统A和系统B分别与C热平衡，则系统A和B也处于热平衡,这个结论称为热力学第零定律或热平衡定律 热平衡具有的传递性 所有处于热平衡的系统有一个共同的物理性质,用温度描述这个性质第二章 近独立粒子系平衡态统计分布 2.1 概率和统计基本概念概率、统计平均值、统计规律、涨落等基本概念 何谓近独立粒子系?2.1.1概率和概率密度-掷骰子 在一定条件下，如果某一事件可能发生也可能不发生，则称这事件为偶然事件或随机事件。假设重复进行N次试验或观察，事件A发生了

10、NA次，当N很大时比值NA/N总在一个定值PA附近摆动，则称PA为事件A发生的概率，并有61lim6NNN1/6为掷得六点的概率 NNPANA lim概率叠加定理或概率相加法则 P1+2=P1+P2 事件A1发生的概率为P1，事件A2发生的概率为P2，A1和A2互不相容(A1和A2两个事件不可能同时发生)归一化条件 事件A1、A2、An之一一定发生，且A1、A2、An互斥 11niiP概率相乘法则 事件A1发生的概率为P1，事件A2发生的概率为P2，而A1和A2相互独立(事件A1的发生与否同事件A2是否发生无关)，则事件A1和A2都发生的概率为 n个独立事件 nAAAPPPPn 21.2121

11、21PPPAA伽耳顿板 铁钉 等宽的狭槽 投入小球 覆盖玻璃在小球数目较少的情况下，每次所得的分布曲线彼此有显著差别，但当小球数目较多时，每次所得到的分布曲线彼此近似地重合 直方图(histogram)第i个狭槽的宽度为xi，其中积累小球的高度为hi，则直方图中此狭槽内小球占据的面积为Ai，此狭槽内小球的数目Ni正比于此面积：Ni=CAi=Chixi。小球总数 每个小球落入第i个狭槽的概率为 iiiiiiixhCACNNjjjiiiiixhxhAANNpAxhiii小球沿x的分布函数-f(x)把狭槽的宽度减小、数目加多，在所有xi0的极限下，直方图的轮廓变成连续的分布曲线 dxxhdxxhNd

12、Nxdp dxxhdxxhxf dxxfdp 小球落在x附近dx区间的概率dp正比于区间的大小dx，分布函数f(x)代表小球落入x附近单位区间的概率dp(x)/dx，或者说，f(x)是小球落在x处的概率密度 2.1.2 统计规律 一定的条件下重复进行大数次的试验或观察，每次试验或观察的结果可以用一个或几个变量的数值来表示，这些变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，它是随机事件的数量化，而这种概率分布规律称为统计规律2.1.3 统计平均值iiiiiiNNANNAAiiiPAA dAAAA dAAALL一定条件下进行N次试验或观察，其中发现随机变量A取Ai值

13、的次数为Ni 掷骰子的点数平均值？L是随机变量A的函数L(A)A取AA+dA值的概率(A)dA就是L取L(A)L(A+dA)=L(A)+dL的概率 假如L、M分别是随机变量A和B的函数，而A和B相互独立，乘积L(A)M(B)的平均值应为 dAAALLiiiPALLijBAjijiPBMALLMMLLMPBMPALPPBMALLMijBjiAijBAjijiji掷骰子点数平方的平均值？2.1.4 涨落 某次试验或观察得到的实际值与平均值有偏离，这种现象称为涨落现象或起伏现象 不能以 作为平均涨落宽度，因此通常用 来表示L值变化的平均宽度，叫做L的涨落，或起伏，或方均根偏差 相对涨落，或相对均方根

14、偏差 LL2LLLLL2物理量的相对涨落与粒子数平方根 成反比 结果：当涉及大量粒子时，涨落现象很微弱，以致当涉及大量粒子时，涨落现象很微弱，以致可以忽略可以忽略 涨落理论给出，系统处于平衡态时，能量、温度、粒子数、体积、密度等重要物理量的相对涨落都反比于 本书对此不作严格分析，这里仅对广延量的相对涨落作浅显讨论。NN 系统由m个大体相同的独立部分组成，每个部分微观上看来仍足够大(仍然是热力学系统)。状态函数L为广延量，因而整个系统的L可表示为 Li是第i部分的状态函数值。L(j)和Li(j)分别表示L和Li的第j次测量值 总的测量次数为n，L的平均值为 miiLL1mijijLL1)()(1

15、111111nnjjinmmmjjjiijiiiLLLLLnnn 另一方面 iiiiiimiiimiiimiimiiLLLLLLLLLLLL12212112miiiLLLL122结果mmmLLLLLLmiimiii11122NLLL12m正比于系统总粒子数N 如何理解：相对涨落与粒子数平方根成反比，从掷骰子中能看出这个结果吗？分子散射 纯净的气体和液体介质自身分子的热运动引起的密度涨落产生的散射称为分子散射 N12以0.69m作为光波波长的典型值，标准状况下，在以/2为边长的立方体内的气体分子数为0.726106，由式可得密度相对涨落约为0.12%，这样的密度涨落足以引起折射率的显著变化 散射

16、服从瑞利定律，散射光强度与频率的四次方成正比。太阳光通过纯净的大气时，频率高的蓝、紫光被较强散射，因此晴朗的天空呈蓝色。同样现象使日落的太阳及周围天空呈红色 光的散射 光束通过不均匀介质所产生的偏离原来传播方向,向四周散射的现象,就是光的散射。所谓介质不均匀,指的是气体中有随机运动的分子、原子或烟雾、尘埃,液体中混入小微粒,晶体中存在缺陷等 散射的存在使定向光束可见 散射分为两大类:一类散射是散射光波矢k变化,但波长不变化,属于这种散射的有瑞利散射,米氏(Mie)散射和分子散射；另一类是散射光波矢k和波长均变化,属于这种散射的有喇曼(Raman)散射,布里渊(Brillouin)散射等 光的散

17、射和光的吸收很难分开 喇曼散射 喇曼散射就是散射光的方向和波长相对入射光均发生变化的一种散射长波散射谱线称为红伴线或斯托克斯(stokes)线,短波散射线称为紫伴线或反斯托克斯线瑞利散射 微粒线度比光波长小,即不大于(1/5-1/10)的浑浊介质 散射光强度与入射光波长的四次方成反比 红光波长(0.72m)为紫光波长(0.4m)的1.8倍,因此紫光散射强度约为红光的(1.8)410倍 41I米氏散射 散射粒子的尺寸接近或大于波长时,散射规律与瑞利散射不同,理论不完善,散射光强与偏振特性随散射粒子的尺寸变化。利用米氏散射也可以解释许多自然现象。例如,蓝天中飘浮着白云,是因为组成白云的小水滴线度接

18、近或大于可见光波长,可见光在小水滴上产生的散射属于米氏散射,其散射光强与光波长关系不大,所以云雾呈白色。1nIn1，2，3。n的具体取值取决于微粒尺寸 分子散射 纯净介质中,或因分子热运动引起密度起伏、或因分子各向异性引起分子取向起伏、或因溶液中浓度起伏引起介质光学性质的非均匀所产生光的散射,称为分子散射。在临界点时,气体密度起伏很大,可以观察到明显的分子散射,这种现象称为临界乳光 通常,纯净介质中由于分子热运动产生的密度起伏所引起折射率不均匀区域的线度比可见光波长小得多,所以分子散射中,散射光强与散射角的关系与瑞利散射相同 41I颗粒物检测 颗粒物常用的监测仪器有：射线检测仪、压电晶振法检测

19、仪、光散射型检测仪和锥震微天平法检测仪 光散射型检测仪类型较多,主要依据光经空气中颗粒物的侧向散射原理,具有测量速度快、适应性好及容易实现自动测量等特点。缺点是精度不高，一般为0.01mg/m3。目前这类仪器主要用于烟尘(污染源)的测量，受颗粒物的粒径影响大,直接检测环境空气的颗粒物浓度尚未成熟PM2.5射线光浊度法测量 同时运用光浊度法和射线吸收法对颗粒物质量浓度进行连续实时测量如何选择波长？PM2.5的危害 小于或等于2.5微米的颗粒物颗粒物 10微米挡在鼻子外,2.510微米进入呼吸道但可随痰排出,2.5微米直接进入支气管,也称为可入肺 量不大,但富含有毒害物质,停留时间长、输送距离远,

20、影响大 主要来自化石燃料的燃烧、挥发性有机物思考 热力学平衡态的理解 如何理解：相对涨落与粒子数平方根成反比，从掷骰子中能看出这个结果吗？如何同时测量散射光的角分布？2.2 重力场中粒子数密度按高度的分布 地球大气的分子受地球引力场的作用，如不考虑分子热运动，这些分子都要落到地球表面。另一方面，热运动趋向于使分子在整个空间范围均匀分布 实际上这两种因素同时存在。可以预期，平衡态时气体分子数密度按高度有一定的分布规律，高度愈高，分子数密度愈小 气体密度的变化是引力与热运动的平衡 力平衡条件和气体状态方程 考虑图所示大气中垂直高度为z到z+dz，面积为A的一薄层气体，该薄层气体的力平衡条件为 粒子

21、数密度n=P/kT，密度(z)可表示为 gAdzzAdPPPA gdzzdP kTmzPmznz dzkTmgzPdP结果 等温大气压强公式，实际温度有变化，但小范围内变化不大，P0是地面的压强 讨论：用到了什么物理原理？意味着平衡的原因是什么？结果讨论：在爬山和航空中，测出压强就可利用这个公式判断高度 zzPPdzkTmgPdP00 RTMgzkTmgzePePzP00这个推导中哪里体现热力学？变换 kTmzPmznz dzkTmgzPdP用热力学温度表示气体方程 按照阿伏伽德罗定律，相同的温度和压强下摩尔数相等的各种气体所占的体积相同。在T0=273.15K、p0=1atm的标准状态下,1

22、摩尔的任何气体所占的体积都是0=22.41410L/mol。设气体的分子量为M，质量为m，则其摩尔数为=m/Mmol。设理想气体处在标准状态，这时它所占的体积为V0=0 0000,TpTpTVTV000TVpTpV000TpTpVR 由于 是与气体状态无关的常量，通常用R表示，称为普适气体常量。上式可进一步写作 这式称为理想气体的状态方程，其中普适气体常量R的数值为000TpRTpVKmolJmolKmPamolKLatmTpR31451.815.2731041410.2210132515.27341410.22133000k N是气体系统总分子数，NA为阿伏伽德罗常量，n=N/V是气体系统分

23、子数密度，常量比R/NA用k表示，玻尔兹曼常量(Boltzmans constant)。TNRVNRTNNVVRTPAA1KJNRkA2310380658.1nkTP 温度变化的影响分子数密度按高度的分布规律 P=nkT代入等温大气压强公式，n0是z=0处的分子数密度 令H=RT/Mg，上式成为 RTMgzkTmgzenenzn00 Hzenzn0 HndzendzznHz0000H的物理意义：若把整个大气层压缩成为密度与地球表面处相同的薄层，该层的厚度为H。大气标高与温度有关，取温度为0的话，H为8km。液体悬浮微粒按高度的分布 设悬浮微粒的密度为，体积为V，周围液体的密度为0。微粒总的所受

24、向下作用力为 定义 ，则微粒所受净的向下作用力为mg，m是考虑了浮力后微粒的等效质量。液体中质量为m的微粒，相当于真空背景中质量为m的“大分子”，对后者可应用上面结果，粒子随高度的分布为gmVgmg00101mm kTgzmenzn0Vm实验研究 皮兰研究了悬浮液中布朗粒子数密度随高度的分布。他用显微镜观测悬浮于不同高度的微粒数目，证实了上式的确成立。它还根据该式求得了阿伏伽德罗常量NA=R/k的数值。皮兰当时测得的结果是NA=(6.56.8)1023/mol 2112lnnnzzgmRTNA粒液粒玻耳兹曼密度分布律 在式中的mgz是气体分子在重力场中的势能，将mgz代之以粒子在任意保守力场中

25、的势能U(r)，就可将该式推广到任意势场：nB(r)称为玻耳兹曼密度分布律，它反映了热平衡态下分子数密度在任意外场中的分布 kTrUBenrnrn0 RTMgzkTmgzenenzn00回转体中微粒的径向分布 回转体中质元受到一惯性离心力，其作用可用离心势能来描述，是旋转的角速度 2202021rmrdrmdrfrUrr惯离离 kTrmenrn2022应用于分离大分子或微粒的超速离心机，转速可高达103r/s，产生的离心加速度可达106g(g-重力加速度)台风 气体回转运动形成的热带风暴。把式改用压强来表示。仍采用等温大气模型，则p=nkT，p0=n0kT，上式化为 按上式，气流的旋转使台风中

26、心的气压p0比周围的低很多，低气压使云层裂开变薄，有时还可看到日月星光。惯性离心力将云层推向四周，形成高耸的壁，狂风暴雨均发生在台风眼之外。在台风眼内往往风和日丽，一片宁静。kTrmeprp2022作业：2-1-2-4 P.53,例2-1例2-1 离心分离器的简单形式如图所示。圆筒A装在转轴B的活动套环C上，轴B不转时A筒竖直向下；B轴高速转动时，圆筒基本水平伸展。分离器以匀角速度转动。(a)若圆筒中是分子质量为m的气体，求平衡时分子数密度沿径向的分布；(b)若圆筒中装的是有悬浮粒子的液体，粒子和液体密度分别为和0，求平衡时悬浮粒子数密度沿径向的分布。(a)(b)若0，则m*0，n(r)随离管

27、底距离增大而指数减小；若0，则离管底愈远n(r)愈大，这样就可把悬浮粒子和液体分离，当角速度大时，这种分离作用比重力场有效得多。重力场中粒子受重力mg，离心分离器中粒子受惯性离心力m2r，2r的作用相当于重力加速度。当超速离心分离器的转速达每分钟7万转时，在r=10cm处，2r相当于5.48105g。kTrrmrnrn2exp20220 kTrrmrnrn2exp20220麦克斯韦分布律的简单导出 分子不断碰撞，分子的速度不可能保持整齐划一，从而它具有一定的分布。在外界条件(温度、压强或体积)固定时，分布碰撞的过程中达到动态平衡而趋于不变 分子在速度空间的代表点 分子在速度空间的分布 速度分布

28、函数 气体中分子总数为N,速度体元内包含分子代表点的个数为dN(vx,vy,vz),则分子代表点出现在此体元里的概率为dN/N。可以认为dN正比于体元的“体积”,即 zyxzyxzyxdvdvdvvvvfNvvvdN,f(vx,vy,vz)代表速度空间单位体元内的概率,又称为气体分子的速度分布函数 热平衡态的分布函数是麦克斯韦于1859年首先得到 麦克斯韦假定：在热平衡态下分子速度任一分量的分布应与其它分量的分布无关,即速度三个分量的分布是彼此独立的。这就是说,气体分子在速度空间的代表点处于体元dvxdvydvz内的概率等于它们速度分量分别处于dvx,dvy,dvz区间内概率的乘积：,Mxyz

29、xyzMxxMyyMzzfv v vdv dv dvfvdv fvdv fvdv 此外，对于宏观上静止的气体来说，速度的分布应是各向同性的，即 由上两式可得 取上式的对数，得 222,zyxMMzyxMvvvfvfvvvf zMyMxMzyxMvfvfvfvvvf222 zMyMxMzyxMvfvfvfvvvflnlnlnln222 可以猜出，上式有个简单的解 式中C=CxCyCz=C3i zyxieCvfiBviiM,2 2222,BvvvvBzyxMMCeCevvvfvfzyxkTmBkTmC2,223 kTmvMekTmvfvf22322联想 为什么都与能量有关，内在的规律是什么？2.3

30、 麦克斯韦玻尔兹曼能量分布律 重力场、旋转力场气体位置分布,气体的速度分布等整体上有规律性 当一个系统处于平衡态时,能量、速度等其他微观量的分布整体上也满足更一般的统计规律性 本节讨论经典近独立粒子系系统的粒子数按能量分布规律,找出一般的规律 以我们现在的知识可以设想怎样的方法？为什么能量分布可以代表一般的分布规律？2.3.1 相宇和子相宇粒子系统状态描述 设力学系统中一个粒子,做x方向的一维运动 坐标x和动量px力学系统某时刻的运动状态 x(t)和px(t)力学系统运动状况随时间变化的规律 作互相垂直的x和px轴,二维空间内的一点对应于一组(x,px)值,系统的运动状态可用这二维空间内的一点

31、来代表,这点称为力学系统的代表点。代表点在空间画出的“轨道”,给出力学系统运动状态随时间变化的规律 空间Oxpx称为力学系统的相宇,或相空间(phase space)。相空间不是真实的描绘粒子位置的空间。2Nr维空间、相宇、空间 系统有N个相同粒子，每个粒子做r维运动，第i个粒子的广义坐标和广义动量分别为物q1i、q2i、qri、p1i、p2i、pri，选取一个原点，作互相正交的轴q1i、qri、p1i、pri(i=1，2，3，N)，这样构成的2Nr维空间就是系统的相宇相宇 相宇中的一点代表系统的运动状态一点代表系统的运动状态，代表点在相宇中画出的“轨道”描述系统运动状态随时间的变化 2r维空

32、间、子相宇、空间 2r条互相正交的轴q1、q2、qr、p1、p2、pr N个粒子所组成的近独立粒子系的运动状态可用子相宇子相宇中的N个代表点来描述个代表点来描述 类似麦克斯韦的速度空间需要知道小区域内的粒子数相宇空间的体元 如果第i个粒子个粒子的广义坐标和广义动量划分区域,区域内的状态认为一致,不需要再确定 q1iq1i+q1i、qriqri+qri、p1ip1i+p1i、pripri+pri，则该粒子在子相宇子相宇的代表点就不是一个确定的点，而占有体元体元i=q1ipri 若组成系统的所有粒子所有粒子(i=l，2，N)都这样，那么系统状态在系统状态在相宇相宇的代表点也不是一个点，而占有N21

33、i在相宇中的形态?2.3.2 宏观状态和微观状态 确定系统的微观态就是要确定系统中每一个粒子的运动状态 确定系统的宏观态就是要确定系统的状态参量并进一步得到系统的其他宏观量 宏观态可分为平衡态和非平衡态。平衡态的描述只要用少数几个不随时间改变的状态参量就可以了；非平衡态也可用状态参量描述，但这里状态参量一般随位置和时间改变 微观态对应相宇中一点，宏观态对应子相宇一种分布2.3.3经典统计中宏观态对应的微观态数 系统的微观态可用子相宇中N个粒子代表点描述,也可用相宇中系统的代表点描述 微观态确定了宏观态也就确定了,因此可用粒子代表点在子相宇中的分布来描述宏观态 但不同的微观态可能对应同一个宏观态

34、，一个宏观念对应着许多不同的微观态 例如两个粒子交换位置或速度互换 相宇中不同的点可以代表同样的宏观态,我们要求出对于一个宏观态有多少个点 子相宇空间分割要求 把子相宇空间分成许多小体元j(j=1，2，l)j的大小应适当，不能太大，也不太小 由于j足够小，可近似认为代表点落在其内的粒子的运动状态是相同的；在一定的不确定度内，这些粒子有相同的位置、动量、能量等。宏观态与粒子数分布 只要知道了j(j=1，2，l)体元内代表点数Nj(j=1，2，l)，不必知道是哪Nj个粒子的代表点，就可知道系统的体积、内能等宏观量，也就是系统的宏观态确定了 当Nj(j=1，2，l)改变时，宏观量改变，系统的宏观态改

35、变 所以，系统的宏观态可用系统的宏观态可用一组数N1、N2、Nl来描述，或简洁地用Nj来描述 组态或配容与微观态 经典物理认为粒子是可分辨的 为确定系统的微观态,不仅要知道j体元内的代表点数Nj(j=1，2，l),而且要知道这是哪Nj个粒子的代表点 粒子代表点在子相宇各体元内的这种分配方式称为代表点的一种组态或配容。近独立粒子系的微观态用代表点的组态描述 可以看出,组态是比分布更细致的代表点分配方式,一个分布Nj对应着许多不同的组态,或者说,一个宏观态对应着许多不同的微观态。宏观态对应的微观态数 一个宏观态对应的微观态数就是一种宏观分布Nj对应的组态数 N是系统总粒子数，N个代表点按每一种新的

36、排列次序排好后依次放入小体元1、2、l就得到一种可能的新的组态,分子上的N!由此而来。但j小体元内的Nj个代表点相互交换不产生新的组态，因此N!中多算了Nj!倍,所以要除以分母 jjNNW!这是数学上的什么问题？宏观状态总的对应相宇体积 系统微观状态在相宇中的代表点占有体元 现在有Nj 个粒子代表点处在子相宇同一体元 内,因此 宏观状态的每一个微观状态对应于相空间的一个体元，不同的微观状态对应的相空间体元大小相等，但在相空间的不同位置。宏观状态对应的微观状态数为W，这个宏观状态总的对应于相宇体积N21jjNjjjNjjjjNNW!2.3.4 等概率原理和最概然统计法 如果对于系统的各种微观态没

37、有更多的知如果对于系统的各种微观态没有更多的知识识,就假定一切符合所有约束条件的微观态就假定一切符合所有约束条件的微观态出现的概率相等出现的概率相等。它是以对称性为基础提出来的,它的正确性只能靠实践来检验 对于处在平衡态的孤立体系,在它可及的相空间中,相等体积的区域具有相同出现的概率平衡态时系统的宏观态 采用最概然统计法最概然统计法,就是认为出现概率最大的那个认为出现概率最大的那个宏观态对应于平衡态宏观态对应于平衡态,也就是认为对应的也就是认为对应的微观态数微观态数最多的那种宏观态对应于平衡态最多的那种宏观态对应于平衡态 后面说明：对于宏观系统,最大概率分布处的微观态数是一个非常尖锐的极大值,

38、在它的一个极其微小的领域内的分布所具有的微观态数几乎占据了全部的微观态。而当对最大概率分布仅有极微小偏离时，物理上实际是无法区分的 对于由大数粒子组成的宏观系统,最概然统计法是可信赖的。2.3.5 最概然能量分布 假如系统能量守恒,孤立系的代表点在E和E+E两个等能面间运动,也就是孤立系可取E和E+E两个等能面间的各处所对应的微观态 经典物理学中,等概率原理的表述为：对于处于平衡态的孤立体系，在它可及的相空间中,相等体积的区域具有相同出现的频率。孤立系处于热力学平衡时,系统代表点出现在相宇中E和E+E两个等能面间某体元的概率与该体元的体积成正比最概然分布求算 宏观态Nj对应相宇体积W,宏观态N

39、j出现的概率与W成正比。再应用最概然统计法,热力学平衡时系统的宏观态Nj是使出现概率最大的那种宏观态,这就是在相宇中所占体积W取极大值的那种分布,也就是使ln(W)极大的那种分布。因此可利用极值条件ln(W)=0来确定这种分布极值方程lnln!ln!ln0jjjjjWNNN jNjjjjNNW!针对某种Nj,在所求的那种分布Nj附近，Nj改变Nj,求对任意Nj满足下式的Nj由于N和j都是不变的，因而 0ln!lnjjjjjNN化简 对于lnNj!可用大数的斯特林(J.Stirling)公式 j的划分时已保证Nj一般是大数 MMMMln!lnjjjjjjjNNNN0lnln0lnjjjjNN求对

40、任意Nj满足左式的Nj,平衡态条件下的方程0lnjjjjNNNNjjENjjj0jjN0jjjN拉格朗日未定乘子法 用和分别乘两个限制条件式，然后与极值式相加 0jjN0ln1ljjjjjNN0jjjN选择合适的和,求对任意Nj满足上式的Nj,结果 对任意Nj满足上式的Nj0lnjjjNjeNjj麦克斯韦玻尔兹曼能量分布律，简称麦玻分布或MB 利用jjjjjjNNexpexpNNjjjeZNNjjjjjeZ配分函数2.3.6 的确定 可以用多种方法确定并看出它的物理意义，这里利用一个特例来确定它 考虑保守力场中的气体。位置在rr+dr(x x+dx,yy+dy,zz+dz)速度在vv+dv(v

41、x vx+dvx,vyvy+dvy,vzvz+dvz)范围的分子数用dNr,v表示，这就是落在子相宇小体元 内的分子代表点数，每个分子的能量为 其中是势能 zyxzyxdvdvdxdydzdvmdpdpdxdydzdp322221,zyxvvvmzyxMB分布 当坐标和速度连续分布时求和换成积分 222,2221exp,()21exp,()2xyzxyzr vxyzxyzNx y zm vvvdxdydzdv dv dvdNx y zm vvvdxdydzdv dv dv 位置在rr+dr间、速度任意的分子数可由上式对各速度分量积分得到exp,exp,rNx y zdxdydzdNx y zd

42、xdydzr处的分子数密度 对于重力场中的气体 exp,expexp,rNx y zdNn rdxdydzx y zdxdydz,x y zmgz/mgzmgzn rNeedxdydz 0mgzn zn e0/mgznNedxdydz其中比较 0mgzn zn e1kT RTMgzkTmgzenenzn00分子射线束实验轴旋转角速度可调节，两盘边缘上都有一小凹槽，但凹槽错开某角度 满足v=L/的分子可以穿过两个凹槽 麦克斯韦速度和速率分布律 重点 宏观态是子相宇中的一种能量分布宏观态是子相宇中的一种能量分布 大量微观态具有同一宏观态大量微观态具有同一宏观态 每个微观态在相宇中占一个小区域每个微观态在相宇中占一个小区域 微观态数微观态数配容配容 等概率原理等概率原理最概然统计法最概然统计法 最概然能量分布最概然能量分布 相宇中体积最大的态相宇中体积最大的态关于微观状态数的进一步说明 要求出在E守恒情况下粒子的能量分布，即每个i上的Ni