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1、Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质10-3 有电介质时的高斯定理Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质如图，均匀各向同性电介质中任一点的总电场EEE0 +-+-PE同时考虑自由电荷和极化电荷产生的电场一、有电介质时的高斯定理SS内)q(qSdE001总电场自由电荷束缚电荷如图取一闭合高斯面，侧面面积为S所包围的极化电荷Sqi所包围的自由电荷Sqi总电场外电场极化电荷电场Beijing Information

2、Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质由高斯定理SSqqSdE内)(100利用自由电荷和极化电荷的关系01qqrrSSrqSdE内00定义：电位移矢量EEDr0有介质时的高斯定理0 qSdDS通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。+-+-PEDBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质SSqSdD内0（1）是辅助量,是为了计算方便、定理形式上的简单而引入的，没有确切的物理意义；描述电场性质的物理量仍然是 和 U。DE(2)电位

3、移通量只和自由电荷联系在一起的，因此，给计算带来了很大方便。自由电荷讨论讨论Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质同时描述电场和电介质极化的复合矢量，但性质不同。+电场线电位移线电场线是起始于正电荷，中止于负电荷电位移线是起始于正的自由电荷，中止于负的自由电荷电位移线与电场线（比较）(3)电位移矢量Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质(4)对各向同性介质,某点的 确定，也确定。两者关系：EDEEDr0有介质时先

4、求 UED(5)之间的关系(各向同性电介质)PED、ExPe01rexEDr0PED0Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量 。D（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场强度 。E有电介质存在时的高斯定理的应用SSq内0dSDDDEr0E1)(Pr0联立求解Beijing Information Science&Technology Uni

5、versity 第十章 静电场中的导体和电介质(D)电位移线只出现在有电介质的空间关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一个是正确的?(A)起自正电荷,止于负电荷,不形成闭合线,不中断(B)任何两条电位移线互相平行(C)起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条 电位移线在无自由电荷的空间不相交例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径为R2，内外筒间充满相对介电常数为r的油，在内外筒间加上电压U(外筒为正极)，求电场。解：根据自由电荷和电介质分布的对称性

6、，电场强度和电位移矢量均应有柱对称性。设内圆筒单位长度带电为，以r为半径、l为高，作一个与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则SS内qrlDSdD02内SqrlD021D10Rr 212RrRr1R2R例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质内外筒电势差12RRldEU2102RRrdrr120ln2RRr代入得到电场的分布为：1R2RE)(2210RrRrr1 0R r E沿半径向里1 0R r)(21RrR由电位移与电场的关系，知EDr0Beijing Information Science&Tech

7、nology University 第十章 静电场中的导体和电介质本节主要内容本节主要内容1 电容和电容器2 电容器的并联和串联10-4 电容 电容器Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质真空中孤立导体球RRQU041RUQ04任何孤立导体，q/U 只与导体形状、大小以及介质有关，而与q、U均无关。这个比值反映了导体带电本领大小。把这个比值定义为一个新的物理量电容UQC 电容单位：法拉（F）pF10F1 F,101F66一、孤立导体的电容Beijing Information Science&Techn

8、ology University 第十章 静电场中的导体和电介质实际的带电体周围总会有其它的导体存在，由于静电感应，这实必会影响原来导体的电势问题如图为了消除其它带电体对带电球的影响，在它外边加一闭合的导体面B。由于静电感应，在B的内表面出现等量异号电荷-q，而外界的带电体对A就不会有影响。qABqBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质带电体A和B的电势受外界带电体的影响，但AB间的电势差却不受外界带电体的影响，即：与q成正比BAUU BAUUq比值是一只与带电体的大小和形状有关的常数把它与孤立导体球电

9、容比较UqC 引入电容器的概念qABqBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质两个靠的很近的，能够带等量异号电荷的导体组称为电容器 电容器所带电量与导体组的电势差成正比，这一比值称作电容器的电容：电容器：BAUUqC电容反映了电容器容纳电荷本领大小的物理量q是一个极板上电量绝对值，UA-UB 两板电势差二.电容器的电容Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质典型的电容器2RdSCr0122104RRRRCr平行板平行

10、板d dS S柱形柱形1R2RABrRRlCln201R球形球形Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质(1)平板电容器rrDE00l dEUUdr0UUqC0rd/S0dSr0电容与极板面积成正比，与间距成反比。平行板平行板d dS S如图：取一高斯面SSDSdDD几种常见真空电容器及其电容Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质（2）圆柱形电容器rDErr002l dEUUdrrBARRr02UUqC0ABrRR

11、lln20ABrRRlln20ABrRRln20柱形柱形ARBRhr如图：取一高斯面hrhDSdD2rD2Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质(3)球形电容器如图：取一高斯面2004rqDErrl dEUUqrDSdD2424rqD UUqC0ABBArRRRR04drrqBARRr204)RR(qBAr1140ARBRrBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质1C2CNC(1)并联：NCCCC21(2)串联：N

12、CCCC1111211C2CNC三、电容器的串联和并联Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较。则(A)空心球电容值大(B)实心球电容值大(C)两球电容值相等(D)大小关系无法确定UQC RQU04例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R(Rd)。导线上电荷线密度分别为 和 。试

13、求该导体组单位长度的电容。解：以左边的导线轴线上一点为原点，x轴通过两导线并垂直于导线。两导线间x处的场强为：)(22001xdxE两导线间的电势差为：RdRdxxdxU)11(20)ln(ln20RdRRRdRRdln0设导线长为L的一段上所带电量为Q，则有 ，故单位长度的电容为：LQRRd ln0ULUQC doR2例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质本节主要内容本节主要内容10-5 静电场的能量1静电场的能量2能量密度Beijing Information Science&Technol

14、ogy University 第十章 静电场中的导体和电介质 设电容为C的电容器两个极板A和B在某一时刻分别带电+q 和-q，其两极板电势差为U+q-q一.电容器的静电能以平行板电容器充电过程为例，电容器在充电q 时所具有的能量的计算如下:dSAB要把正电荷dq从负极板上移到正极板，必须借助于外力克服静电场力而做功：UdqdWeCqdqdWeUqC Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质QQCqdqdWW00QU21QUWe21CQCU222121+Q-QCqdqdWe当电容器两极板分别带上+Q和-Q，

15、则外力克服静电场力所作的功CQ22221CU)(UQC 由功能原理，外力的功使电容器的能量增加。即充电过程使电容器储存了电量电容器充电过程就是通过外力克服静电场力做功，把非静电能转化为电容器电能的过程dSABBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质它是计算电容器储存静电能的普遍公式由上讨论可知，电容器是一个储能元件。那么，静电能量到底储存在什么地方呢？CQCUQUWe22212121这就是平行平板电容器储存的静电能的计算公式这一公式也适用于球形、柱形电容器等Beijing Information Scie

16、nce&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质仍考虑平行平板电容器，极板间的场强为0E两极板间的电势差EdU 板上电荷SESQ0代入电容器静电能的计算公式ESEdWe021SdE2021VE2021CQCUQUWe22212121+Q-QdSABBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质VEWe2021 V 是电容器极板间的体积，即极板间电场所在区域的体积上式表明：静电能可以用表征电场性质的场强来表示而且和电场所占体积V 成正比，上式正确表述出静电能的归属性质 静电能是储

17、存在电场中实验也证明：电场本身具有能量，电场具有能量是其物质性的表现之一 +Q-QdSABBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质由于平行平板之间的电场是均匀的，所储存的静电能也应该均匀分布的，单位体积中的电场能，即真空中电场能量密度各向同性均匀电介质的电场中rVEWe20212021EVWwee三、静电场能 场能密度EDr0+Q-QdSAB电介质电场能量密度DEEwe21212Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介

18、质已知电场分布，根据电场能量密度计算电场能 上述结果是一个普遍适用的公式，在非均匀电场和变化的电磁场中仍然是正确的，只是),(zyxwweeVVeeDEdVdVwW21解题指导：求电场能量时，由于场中的 各处不同，能量体密度 各处也不同，这时需要把电场存在的空间分割成许多小体积元dV，该电场的总能量可以由积分求得。EewBeijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质解:如图：取一半径为r的球面高斯面2004rQDErrQrDSdD2424 rQD在半径为r处取一球壳,其体积为drrdV24此处电场能量密度为DE

19、we212021Err球形电容器的内外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q 和-Q，在两球壳间充以相对介电常数为 的电介质，问此电容器的储存的电场能为多少？1R2Rr例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质在体积为 的球壳内的电场能量为drrdV24dVwdWeedVEr2021drrrQrr222004421drrrQdWWrrVee2220044212120218RRrdrrQ2102118RRQr1R2RrBeijing Information Science&Technology Unive

20、rsity 第十章 静电场中的导体和电介质如果某带电体其电荷分布的体密度 增大为原来的2倍，则其电场的能量变为原来的(A)2倍(B)1/2倍(C)4倍(D)1/4倍CQWe221例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质(D)球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能真空中有“孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电荷都相等，则它们的静电能之间的关系是(A)球体的静电能等于球面的静电能(B)球体的静电能大于球面的静电能(C)球体的静电能小于球面的静电能R

21、RCQWe221例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质(D)Q增大，E增大，W减小一平行板电容器充电后仍与电源连接，若将电容器两极板间距离拉大，则极板上的电荷Q、电场强度大小E和电场能量W将发生如下变化(A)Q增大，E增大，W增大(B)Q减小，E减小，W减小(C)Q增大，E减小，W增大仍与电源连接U不变dUE E减小d 增大dSC0C 减小UQC Q 减小221CUWeW 减小例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电

22、场中的导体和电介质Lab如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长是L，中间充满相对介电常量为 的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷Q和-Q。设(b-a)b，可以忽略边缘效应。r求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器贮存的能量。解：利用高斯定理)2(0LrQEr两筒间的电势差abLQrdrLQUrbarln2200电容器的电容)ln()2(0abLUQCr电容器储存的能量)ln()4(21022abLQCUWr例题例题Beijing Information Science&Technology University 第十章 静电场中的导体和电介质解：如图：取一半径为r的球面高斯面2004rQDErrQrDSdD2424rQD 电场能量1R2Rr一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半径为R2，两球壳间充满相对介电常量为 的各向同性均匀电介质。设两球壳间电势差为U12，求：(1)电容器的电容；(2)电容器储存的能量。r球壳间的场强球壳间的电势差2112RRrdEU21204RRrrdrQ210124)(RRRRQr电容12UQC 122104RRRRr2212CUW 122122102RRURRr例题例题