2020年安徽中考数学复习课件§3.4 二次函数.pptx

1、1.(2015安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x +c的图象可能为 ( ),A组 安徽中考题组,答案 A 由题图可知一元二次方程ax2+bx+c=x有两个不等的正实数根,即函数y=ax2+(b-1)x+c的图象与x轴 正半轴有两个交点,故选A.,2.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P, Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .,答案 a1或a-1,解析 解法一:函数y=x2-2ax的

2、图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y 轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-1.,解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方, 令y=x-a+10时,解得00时,若 有解,则a-10,解得a1; 当a1或a-1.,思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的图 象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交

3、的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出 关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足 有解,解之即可.,难点突破 根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.,3.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二 次函数图象的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W= OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.,解析 (1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以

4、2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2 +c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在 二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2. (6分) (2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C, 所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象 上,所以-2 +4=m,即 =2- ,从而BC2=4 =8-2m.又OA=m,所

5、以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4),所 以m=1时,W有最小值7. (12分) 解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与 二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1= ,x2=- .所以BC=2 ,又OA=m, 从而W=OA2+BC2=m2+ =m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4).所以m=1时,W有最小值7. (12分),思路分析 (1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,代入二次函数解析式得a+c=2,由题意可判断点(0,c)也在 一次函数图

6、象上,从而求得a,c.(2)解法一:由题意可设点B(x0,m),由二次函数的对称性可得点C(-x0,m),可得BC =2|x0|,依据B点在二次函数的图象上,得出 =2- ,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性 质求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出两根,从而得BC的长,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据 二次函数的性质求出最值.,4.(2018安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆 利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现: 盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的

7、平均每盆利润增加2元; 花卉的平均每盆利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利 润分别为W1,W2(单位:元). (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?,解析 (1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8 000, W2=100-(50+x)19=(50-x)19=-19x+950. (6分) (2)W=W1+W2=-2x2+41x+8 950=-2 + . x取整数, 当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9 1

8、60元. (12分),思路分析 (1)根据题意分别列出W1,W2关于x的函数表达式;(2)将二次函数的解析式配方,根据x取整数及二 次函数的性质求出W的最大值.,5.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经 市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:,(1)求y与x之间的函数表达式; (2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本); (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多 少?,解析

9、 (1)设y=kx+b(k0). 由题意,得 解得 所求函数表达式为y=-2x+200. (4分) (2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8 000. (7分) (3)W=-2x2+280x-8 000=-2(x-70)2+1 800,其中40x80. -20,当40x70时,W随x的增大而增大; 当70x80时,W随x的增大而减小; 当售价为70元时,获得最大利润,最大利润为1 800元. (12分),思路分析 (1)根据待定系数法求出y与x之间的函数表达式;(2)根据公式求出W与x之间的函数表达式;(3)利 用配方法和二次函数的性质求出最大利润.,6.(2016安徽

10、,22,12分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的 横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.,解析 (1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx, 得 解得 (5分) (2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CEAD,CFx轴,垂足分别为E,F. 二次函数表达式为y=- x2+3x. SOAD= ODAD= 24=4,SACD= ADCE= 4(x-2)=2x-4, SBCD= BDCF= 4

11、 =-x2+6x, (8分) 则S=SOAD+SACD+SBCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x. 所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2x6). (10分) 因为S=-(x-4)2+16, 所以当x=4时,四边形OACB的面积S取最大值,最大值为16.(12分),思路分析 (1)将A,B的坐标代入二次函数的解析式,解方程组即可;(2)利用割补思想将四边形OACB分割成 三个三角形,求出S关于x的函数表达式,最后求S的最大值.,方法指导 求不规则四边形的面积往往采用割补思想将原图形的面积转化为我们所熟悉的三角形或平行 四边形的面积求解.,考点一 二次函数的图象与性质,

12、B组 20152019年全国中考题组,1.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4,答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 解得 故选B.,一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x= =1,即 =1,b=2,n=-(-2)2+ 2(-2)+4=-4.,2.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 ( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0 D.图象的对称轴

13、是直线x=3,答案 D 抛物线与y轴的正半轴相交,所以c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c, 由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选项D正确,故选D.,3.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D( ,y2),E(2,y3),则 y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y3y1,答案 D |a|0,抛物线的开口向上. 抛物线过A(m,n)和C(3-m,n), 抛

14、物线的对称轴为直线x= . 作出二次函数的大致图象,如图. 由图可知y2y3y1.故选D.,思路分析 由|a|0,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C关于 对称轴对称,由此得到对称轴为直线x= = .根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象,由图象 比较大小.,4.(2019内蒙古呼和浩特,3,3分)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( ),答案 D 直线y=ax+a=a(x+1)恒过点(-1,0),选项C,D可能正确,选项C中,抛物线y=ax2开口向下,则a0,矛盾,选项C错.故选D.,解题关键 得到直线y=ax+

15、a恒过点(-1,0)是解本题的关键.,5.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:,且当x=- 时,与其对应的函数值y0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根; 0m+n . 其中,正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c过点(0,-2),(1,-2),对称轴为直线x= = ,c=-2,由题意可 知,a0,b0,正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x= 的对称点为(3,t),即-2和 3是关

16、于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x= ,- = ,b=-a,当x=- 时,y0, a- b-20,即 a+ a-20,a .对称轴为直线x= ,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),m =n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a ,4a-4 ,错误.故选C.,解后反思 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特 征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.,6.(2017黑龙江哈尔滨,4,3分)抛物线y=- -3的顶点坐标是 ( ) A. B. C. D.

17、,答案 B 抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k), 抛物线y=- -3的顶点坐标为 .故选B.,7.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3,答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选项 B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,选项D正确.故选D.,8.(201

18、7陕西,10,3分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.若点M在这条抛物 线上,则点M的坐标为 ( ) A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-8) D.(4,-20),答案 C y=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M在抛物线上, m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C.,9.(2017天津,12,3分)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点 M平移后的对应点M落在x轴上,点B

19、平移后的对应点B落在y轴上.则平移后的抛物线解析式为 ( ) A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1,答案 A 令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, A(1,0),B(3,0). y=x2-4x+3=(x-2)2-1,点M的坐标为(2,-1), 平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上, 抛物线向上平移了1个单位长度,向左平移了3个单位长度, 平移后的抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1,故选A.,解题关键 正确得出平移的方向和距离是解题的关键.,10.(2018天津,1

20、2,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下 列结论: 抛物线经过点(1,0); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; -3a+b3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,抛物线不能经过点 (1,0),错误.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,抛物线开口 向下,与直线y=2有两个交点,方程ax2+bx+c=2有两

21、个不相等的实数根,故正确.抛物线的对称轴在y轴 右侧,- 0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3. -3a+b3.故正确.故选C.,11.(2018云南昆明,22,9分)如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于 点A. (1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y0时,自变量x的取值范围; (2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PABA时,求PAB的面积.,解析 (1)解法一:抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴为直线x=2, (1分) 解之

22、得 (2分) 抛物线的解析式为y=x2-4x. (3分) 抛物线过原点,对称轴为直线x=2, 由抛物线的对称性得A(4,0), 由题图可知,当y0时,自变量x的取值范围为0x4. (4分) 解法二:抛物线y=ax2+bx过原点,对称轴为直线x=2, 由抛物线的对称性得A(4,0), 把A(4,0),B(1,-3)分别代入y=ax2+bx中,得 (1分),解之得 (2分) 抛物线的解析式为y=x2-4x. (3分) 由题图可知,当y0时,自变量x的取值范围为0x4. (4分) (2)解法一:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F, 点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3), BE

23、=AE=3, EAB=EBA=45, PABA,即PAB=90,PAF=45, FPA=PAF=45, PF=AF. (5分) 设点P的坐标为(x,x2-4x), 点P在第二象限内, x0,PF=x2-4x, 又AF=4-x, x2-4x=4-x, 解得x1=4(不符合题意,舍去),x2=-1, 当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5, 点P的坐标为(-1,5), (6分) PF=5. 设直线PB的解析式为y=kx+m(k0),且交x轴于点C,把P(-1,5),B(1,-3)分别代入y=kx+m中,得 解得 直线PB的解析式为y=-4x+1. (7分) 当y=0时,-4x+1=0,x=

24、, C , AC=4- = , (8分) SPAB=SPAC+SABC= 5+ 3=15. (9分) 解法二:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F,设PA与y轴交于点D.,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3), BE=AE=3, EAB=EBA=45,且AB=3 , PABA,即PAB=90, PAF=45, ODA=PAF=45, OD=OA=4,点D的坐标为(0,4), 设直线PA的解析式为y=kx+m(k0), 把D(0,4),A(4,0)分别代入y=kx+m中,得 解得 直线PA的解析式为y=-x+4. (5分) 由x2-4x=-x+4解得x1=4,x2=-1,

25、点P在第二象限内,x=-1, 当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5, 点P的坐标为(-1,5), (6分) PAF=APF=45,PF=AF=5, 在RtPFA中,AFP=90, 由勾股定理得AP= = =5 . (7分) 在RtPAB中,PAB=90, SABP= APAB= 5 3 =15. (9分),考点二 二次函数与方程的联系,1.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:,那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3,答案 C 由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,

26、它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一个近 似根是1.2,故选C.,2.(2016辽宁沈阳,10,2分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二 次函数图象上的两点,其中-3x1y2 C.y的最小值是-3 D.y的最小值是-4,答案 D 二次函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4图象的顶点坐标为(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,则二次函数y= x2+2x-3的图象与x轴的两个交点坐标为(-3,0),(1,0).由-3x1x20及二次函数的图象可知,y1,y2的大小不能确 定,选项A,B

27、错误;ymin=-4,选项C错误,故选D.,评析 本题考查了二次函数的图象和性质,难度适中.,3.(2016陕西,10,3分)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC, 则tanCAB的值为 ( ) A. B. C. D.2,答案 D 不妨设点A在点B左侧, 如图,作CDAB交AB于点D,当y=0时,-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1, 所以A(-3,0),B(1,0), 所以AB=4,因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 所以顶点C(-1,4),所以AD=2,CD=4, 所以tanCAB= =2,故选D.,评析 本题

28、考查了二次函数的图象和性质,求某个角的三角函数值.属于容易题.,4.(2016宁夏,10,3分)若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是 .,答案 m1,解析 当二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点时,方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,所以=4-4m0,解得m1.所以m的取值范围是m1.,5.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b0)与x轴只有一个公共点. (1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a,c满足的关系式; (2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直

29、线y=-1,垂足为D.当k=0 时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且ABC是等腰直角三角形. 求点A的坐标和抛物线的解析式; 证明:对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.,解析 (1)依题意, =b2-4ac=0,- =2, 所以(-4a)2-4ac=0, 因为a0,所以c=4a,即a,c满足的关系式为c=4a. (2)当k=0时,直线l为y=1,它与y轴的交点为(0,1). 因为直线y=1与x轴平行,所以等腰直角ABC的直角顶点只能是A,且A是抛物线的顶点. 过A作AMBC,垂足为M,则AM=1, 所以BM=MC=AM=1,故点A的坐标为(1,0). 所以抛物线的解析式可改写为y

30、=a(x-1)2. 因为抛物线过点(0,1),所以1=a(0-1)2,解得a=1. 所以抛物线的解析式为y=(x-1)2,即y=x2-2x+1. 证明:设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(x1,-1). 由 得x2-(k+2)x+k=0.,=(k+2)2-4k=k2+40, 由抛物线的对称性,不妨设x1x2,则x1= ,x2= , 所以x11x2. 设直线AD的解析式为y=mx+n, 则有 解得,所以直线AD的解析式为y=- x+ . 因为y2- =(x2-1)2+ = = =0, 即y2=- x2+ ,所以点C(x2,y2)在直线AD上. 故对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共

31、线.,6.(2019内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a0)与x轴交于A(-1,0)、B (3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC. (1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴方程; (2)点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、DB,若DCB=CBD,求点D的坐标; (3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1x2),连接CE,CF,EF,求CEF面积的最大值及此时点E 的坐标; (4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若 存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标

32、;若不存在,请说明理由.,解析 (1)抛物线y=ax2+bx+2(a0)过A(-1,0),B(3,0)两点, 解得 抛物线的解析式为y=- x2+ x+2. 对称轴方程是x=1. (3分) (2)过点D作DGy轴于G,作DHx轴于H. 设点D(1,y0),C(0,2),B(3,0),在RtCGD中,CD2=CG2+GD2=(2-y0)2+(1-0)2, 在RtBHD中,BD2=BH2+HD2=(3-1)2+(y0-0)2. 在BCD中,DCB=CBD,CD=BD,CD2=BD2. (2-y0)2+(1-0)2=(3-1)2+(y0-0)2,4y0=1,y0= . 点D的坐标是 . (6分),(

33、3)过点E作EQy轴于Q,过点F作FRy轴于R,过点E作EPFR于P,EQR=QRP=RPE=90,四边 形QRPE是矩形. 则SCEF=S矩形QRPE-SEQC-SCRF-SFPE,E(x,y),C(0,2),F(1,1), SCEF=EQQR- EQQC- CRRF- FPEP =x(y-1)- x(y-2)- 11- (x-1)(y-1). y=- x2+ x+2,SCEF=- x2+ x,SCEF=- + . - 0,1 2, 当x= 时,CEF的面积取最大值,为 . 此时点E的坐标为 . (9分) (4)存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形. 点M的坐标为(2,2

34、)或 或 . (12分),思路分析 (1)根据A,B两点坐标用待定系数法求抛物线的解析式;(2)作DGy轴,DHx轴,然后分别在Rt CGD和RtBHD中求出CD2和BD2,由DCB=CBD可推出CD=BD,列方程,问题解决;(3)作EQy轴于Q,FR y轴于R,EPFR于P,可证四边形QRPE是矩形,再根据SCEF=S矩形QRPE-SEQC-SCRF-SFPE得到关于x的二次函数, 最后由二次函数的性质求出最值,问题解决;(4)抛物线的对称轴方程是x=1,C,B两点在对称轴的两侧,故在对 称轴的左侧有一点,在对称轴的右侧存在两点:一点在x轴的上方,另一点在x轴的下方,然后分别求出.,考点三

35、二次函数的应用,1.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物 线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径 为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则此抛物线型 钢拱的函数表达式为 ( ) 图1,图2 A.y= x2 B.y=- x2 C.y= x2 D.y=- x2,答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2,

36、将B(45,-78)代入得-78=a452,a=- , 抛物线型钢拱的函数表达式为y=- x2,故选B.,思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式.,方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到关 于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值代入 所设表达式,写出表达式.,2.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一 部分,运动员起跳后的竖直高度y(

37、单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).下图记 录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高 点时,水平距离为 ( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m,答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对称 性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.057.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.,3.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析

38、式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.,答案 24,解析 y=60t- t2=- (t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600 m.当t=16 时,y=6016- 162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m.,4.(2018内蒙古呼和浩特,25,10分)某市计划在十二年内通过公租房建设,解决低收入人群的住房问题.已知 前7年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系构成一次函数(1x7 且x为整数),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为 和 百万平方

39、米;后5年每年竣工投入使 用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系是y=- x+ (7x12且x为整数). (1)已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题,如果人均住房面积最后一年要比第6 年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题? (2)受物价上涨等因素的影响,已知这12年中,每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同,且第一年,一年38 元/m2,第二年,一年40元/m2,第三年,一年42元/m2,第四年,一年44元/m2,以此类推.分析说明每平方米的 年租金和时间能否构成函数,如果能,直接写出函数解析式; (3)在(2)

40、的条件下,假设每年的公租房当年全部出租完,写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金 W关于时间x的函数解析式,并求出W的最大值(单位:亿元).如果在W取得最大值的这一年,老张租用了58 m2 的房子,计算老张这一年应交付的租金.,解析 (1)设y=kx+b(k0,1x7且x为整数). 由已知得 解得 y=- x+4(1x7), x=6时,y=- 6+4=3, 30020=15,15(1+20%)=18, 又x=12时,y=- 12+ = , 10018=12.5万人. 最后一年可解决12.5万人的住房问题. (2)由于每平方米的年租金和时间都是变量,且对于每一个确定的时间x的值,每平方米

41、的年租金m(元/m2)都 有唯一的值与它对应,所以它们能构成函数.,由题意知m=2x+36(1x12且x为整数). (3)W= x为整数. 当x=3时,W=147, 当x=8时,W=143,147143, 当x=3时,年租金最大,Wmax=1.47亿元. 当x=3时,m=23+36=42. 5842=2 436元. 老张这一年应交租金2 436元.,解题关键 解决本题的关键是要能从大量的文字信息中提取相关的已知条件,并能列出符合题意的表达 式,进而借助二次函数的顶点式(配方法)求出相应的最值.,考点一 二次函数的图象与性质,C组 教师专用题组,1.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛

42、物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=- ,结 合图象分析下列结论: abc0;3a+c0;当x2.其中正确的结论有 ( ),A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,答案 C 抛物线开口向下,a0, abc0,正确. 抛物线经过点(-3,0), 9a-3b+c=0, 又b=a, c=-6a, 3a+c=3a-6a=-3a0,正确.,抛物线开口向下,对称轴为直线x=- , 当x- 时,y随x的增大而减小, 错误. b=a,c=-6a, 一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0, 即6x2-x-1=0,解得x1=- ,x2=

43、, 正确. 抛物线与x轴有2个交点, b2-4ac0, 0,正确.,点(-3,0)关于直线x=- 的对称点为(2,0), y=a(x+3)(x-2), 方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m2,正确.故选 C.,解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解析式 与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐标等都 是解题的突破口.,2.(2016四川南充,5,3分)抛物线y=x2+2x+3的对称轴是 ( ) A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=

44、-2 D.直线x=2,答案 B 抛物线的对称轴为直线x=- =- =-1,故选B.,3.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(ba0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论: 该抛物线的对称轴在y轴左侧;关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;a-b+c0; 的最小值为 3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 D ba0,- 0,且抛物线与x轴最多有一个交点, y0, 当x=-1时,a-b+c0, 正确; y0, 当x=-2时,4a-2b+c0,即a+b+c3b-3a, 即a+b+c3(b-a), ba,b-a0, 3

45、, 正确.故选D.,4.(2015天津,12,3分)已知抛物线y=- x2+ x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB的中点,则CD的长 为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由题意知,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点,所以点D的坐标为 .对于y=- x2+ x+6,令x= 0,得y=6,所以C(0,6).所以CD= = = .故选D.,5.(2015甘肃兰州,3,4分)在下列二次函数中,其图象的对称轴为x=-2的是 ( ) A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2,答案 A 根据二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象的

46、对称轴为直线x=h,知只有A选项符合题意.,6.(2015辽宁沈阳,8,3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象可能是 ( ),答案 D 二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象的顶点坐标为(h,0),由于该点的纵坐标为0,所以该点在x轴上,符 合这一条件的图象只有D.故选D.,7.(2015福建福州,10,3分)已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值 y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是 ( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数,答案 D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直

47、线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A不符合;若为一次函 数或反比例函数,则在自变量x的某个取值范围内,函数值y随x的增大而增大,所以B、C不符合题意;只有D 正确,故选D.,8.(2015浙江宁波,11,4分)二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段 位于x轴的上方,则a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2,答案 A 二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段位于x轴的上 方, 当x= 时,二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象位于x轴的下方;当x= 时,二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象 位于x轴的上方, a . 结合各选项知a的值为1.故选A.,9.(2015内蒙古包头,12,3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x =1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论: 当x3时,y8a. 其中正确的结论是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由已知条件可知a3时,y2,4ac-b28a.故错,正确.故选B.,10.(2017甘肃兰州,18,4分)如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的