2020年北京中考数学复习课件§7.5 几何压轴综合题.pptx

1、1.(2019北京,27,7分)已知AOB=30,H为射线OA上一定点,OH= +1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一 动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150,得到线段PN,连接ON. (1)依题意补全图1; (2)求证:OMP=OPN; (3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.,点M关于点H的对称点为Q,MH=HQ. 当点T在点H的左侧时, QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS. 在RtOPS中,OS=OPcos 30= . OH= +1, HS=OH-

2、OS= +1- =1.QT=2. 当点T在点H的右侧或与点H重合时,同理可求QT=2. QT=OP.OPNQTP.ON=QP.,思路分析 本题第(3)问需要关注线段OH对QP的影响,同时要构造全等三角形来解决.,2.(2016北京,28,7分)在等边ABC中. (1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度数; (2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M, 连接AM,PM. 依题意将图2补全; 小茹通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交

3、流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法1:要证PA=PM,只需证APM是等边三角形. 想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证ANPPCM. 想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK. 请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可),思路分析 (1)由等边对等角知求AQB的度数,即求APC的度数,根据三角形外角的性质求APC的度数. (2)需要准确画出图形;三种想法都是正确的,借助等边三角形的性质和判定进行证明.,解题关键 解决本题的关键是要熟练应用相关几何知识,另外,要理解题目给出的三种

4、想法,无论是平移、 旋转还是轴对称,都是全等变换,从三种全等变换的角度都可以解决.,3.(2019北京西城一模,27)如图,在ABC中,ABC=90,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段 AD,E是边BC上的一动点,连接DE交AC于点F,连接BF. (1)求证:FB=FD; (2)点H在边BC上,且BH=CE,连接AH交BF于点N. 判断AH与BF的位置关系,并证明你的结论; 连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值.,BH=CE,ABHDCE.BAH=CDE. BAFDAF,ABF=ADF. BAH+ABF=CDE+ADF=ADC=90. ANB=180-(BAH+

5、ABF)=90.AHBF. (5分) -1. (7分) (提示:如图,在点E的运动过程中,ANB始终保持90,所以点N始终在以AB中点为圆心O,AB为直径的圆上, 最短距离为OC的长减去O的半径长,为 -1.),解题关键 解决本题最后一问的关键是发现AHBF可转化为点N在以AB为直径的圆上,那么CN长度的最 小值就为线段OC的长减去半径的长.,4.(2019北京西城二模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且CF=AE, 连接DE,DF,EF.FH平分EFB交BD于点H. (1)求证:DEDF; (2)求证:DH=DF; (3)过点H作HMEF于点M,

6、用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系,并证明.,正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90, BD= = AB. FH平分EFB,HMEF,HNBC,HM=HN. HBN=45,HNB=90, BH= = HN= HM. DH=BD-BH= AB- HM. EF= = DF= DH, EF=2AB-2HM. (7分),5.(2019北京石景山一模,27)如图,在等边ABC中,D为边AC的延长线上一点(CDAC),平移线段BC,使点C 移动到点D,得到线段ED,M为ED的中点,过点M作ED的垂线,交BC于点F,交AC于点G. (1)依题意补全图形; (2)求证:AG=CD; (3)连接D

7、F并延长交AB于点H,用等式表示线段AH与CG的数量关系,并证明.,BE=CD,CBE=ADE=ABC. GM垂直平分ED,EF=DF.DEF=EDF. EDBC,BFE=DEF,BFH=EDF.BFE=BFH. BF=BF,BEFBHF. (6分) BE=BH=CD=AG.AB=AC,AH=CG. (7分),解题关键 解决(3)的关键是通过连接BE借助平行四边形的性质,同时由连接EF发现BEFBHF,进而 寻找线段相等的关系.,6.(2019北京东城一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边BC上一动点(不与点B,C重合),连接DE,点C关于直 线DE的对称点为C,连接AC并延长交直线DE

8、于点P,F是AC中点,连接DF. (1)求FDP的度数; (2)连接BP,请用等式表示AP,BP,DP三条线段之间的数量关系,并证明; (3)连接AC,若正方形的边长为 ,请直接写出ACC的面积最大值.,解析 (1)由对称可知CD=CD,CDE=CDE. 在正方形ABCD中,AD=CD,ADC=90, AD=CD.又F为AC中点, DFAC,ADF=CDF. (1分) FDP=FDC+EDC= ADC=45. (2分) (2)结论:BP+DP= AP. (3分) 如图,作APAP交PD延长线于点P,PAP=90.,在正方形ABCD中,DA=BA,BAD=90, DAP=BAP.由(1)可知AP

9、D=45,P=45.AP=AP. (4分) 在BAP和DAP中,BAPDAP(SAS), (5分) BP=DP. DP+BP=PP= AP. (3) -1. (7分) 提示:当C在对角线BD上时ACC的面积最大,设对角线AC,BD交于点O,则此时面ACC的积为 ACCO = 2( -1)= -1.,解题关键 解决本题(2)的关键是借助全等变换旋转,将条件集中;解决(3)的关键是发现C在DB上时与 AC的距离最大.,7.(2019北京延庆一模,27)已知:四边形ABCD中,ABC=120,ADC=60,AD=CD,对角线AC,BD相交于点O, 且BD平分ABC,过点A作AHBD,垂足为H. (1

10、)求证:ADB=ACB; (2)判断线段BH,DH,BC之间的数量关系,并证明.,解析 (1)证明:ADC=60,DA=DC, ADC是等边三角形. (1分) DAC=60,AD=AC. ABC=120,BD平分ABC, ABD=DBC=60. DAC=DBC=60, AOD=BOC, ADB=180-DAC-AOD, ACB=180-DBC-BOC, ADB=ACB. (3分) (2)结论:DH=BH+BC, (4分) 证明:在HD上截取HE=HB, (5分) AHBD,AHB=AHE=90, AH=AH, ABHAEH, AB=AE,AEH=ABH=60, (6分) AED=180-AEH

11、=120, ABC=AED=120, AD=AC,ADB=ACB, ABCAED, DE=BC. (7分) DH=HE+ED, DH=BH+BC. (8分),8.(2019北京丰台一模,27)在ABC中,ACB=90,AC=BC,D为AB的中点,点E为AC延长线上一点,连接DE,过 点D作DFDE交CB的延长线于点F. (1)求证:BF=CE; (2)若CE=AC,用等式表示线段DF与AB的数量关系,并证明.,解析 (1)连接CD. 在ABC中,ACB=90,AC=BC,D为AB中点, CDBD,CD=BD=DA. (1分) DFDE,BDF=CDE. 易知F=DEA,DBFDCE.BF=CE

12、. (3分) (2)DF= AB. (4分) 理由如下: 由(1)知DBFDCE,DF=DE. (5分) 连接BE.CE=CA,BA=BE.A=BEA=45. ABE=90.设AD=BD=a,AB=BE=2a. DF=DE= a.DF= AB. (7分),9.(2019北京通州一模,27)如图,在等边ABC中,点D是线段BC上一点.作射线AD,点B关于射线AD的对称点 为E.连接CE并延长,交射线AD于点F. (1)设BAF=,用表示BCF的度数; (2)用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系,并证明.,10.(2019北京顺义一模,27)已知:如图,在ABC中,ABAC,B=45,点D

13、是BC边上一点,且AD=AC,过点C作 CFAD于点E,与AB交于点F. (1)若CAD=,求BCF的大小(用含的式子表示); (2)求证:AC=FC; (3)用等式直接表示线段BF与DC的数量关系.,11.(2019北京房山一模,27)已知:RtABC中,ACB=90,AC=BC. (1)如图1,点D是BC边上一点(不与点B,C重合),连接AD,过点B作BEAD,交AD的延长线于点E,连接CE. 若BAD=,求DBE的大小(用含的式子表示); (2)如图2,点D在线段BC的延长线上时,连接AD,过点B作BEAD,垂足E在线段AD上,连接CE. 依题意补全图2; 用等式表示线段EA,EB和EC

14、之间的数量关系,并证明.,解析 (1)依题意,CAB=45, BAD=, CAD=45-. ACB=90,BEAD,ADC=BDE, DBE=CAD=45-. (2分) (2)补全图形如图, (4分) 当D在BC边的延长线上时,EB-EA= EC. (5分) 证明:过点C作CFCE,交AD的延长线于点F.,ACB=90,ACF=BCE. CA=CB,CAF=CBE,ACFBCE. (6分) AF=BE,CF=CE.ECF=90,EF= EC.即AF-EA= EC.EB-EA= EC. (7分),12.(2019北京房山二模,27)如图,在ABC中,ACB=90,B=4BAC.延长BC到点D,使

15、CD=CB,连接AD,过 点D作DEAB于点E,交AC于点F. (1)依题意补全图形; (2)求证:B=2BAD; (3)用等式表示线段EA,EB和DB之间的数量关系,并证明.,ABD=90,DF= BD. 在RtABD和RtCBF中, ABD=CBF=90,AB=BC,BD=BF, ABDCBF, AD=CF,BAD=BCF. AD=DE, DE=CF. EDC=BAD, EDC=BCF, DECF, 四边形DFCE为平行四边形, CE=DF= BD. (7分),14.(2019北京大兴一模,27)在RtABC中,ACB=90,CA=CB.点D为线段BC上一个动点(点D不与点B,C重 合),

16、连接AD,点E在射线AB上,连接DE,使得DE=DA.作点E关于直线BC的对称点F,连接BF,DF. (1)依题意补全图形; (2)求证:CAD=BDF; (3)用等式表示线段AB,BD,BF之间的数量关系,并证明.,解析 (1)补全的图形如图所示. (1分) (2)证明:ACB=90,CA=CB, BAC=CBA=45,CAD+DAB=45, DA=DE,DAE=DEB. (2分) DBA是DBE的一个外角,EDB+DEB=DBA=45, EDB=CAD,点E关于直线BC的对称点为F, EDB=FDB,CAD=BDF. (3分) (3)线段AB,BD,BF之间的数量关系是AB-BF= BD,

17、 (4分) 证明:过点D作AC的平行线交AB于点M,15.(2019北京怀柔一模,27)如图,等边ABC中,P是AB上一点,过点P作PDAC于点D,作PEBC于点E,M是 AB的中点,连接ME,MD. (1)依题意补全图形; (2)用等式表示线段BE,AD与AB的数量关系,并加以证明; (3)求证:MD=ME.,16.(2019北京朝阳二模,27)已知MON=45,点P在射线OM上,点A,B在射线ON上(点B与点O在点A的两侧), 且AB=1,以点P为旋转中心,将线段AB逆时针旋转90,得到线段CD(点C与点A对应,点D与点B对应). (1)如图,若OA=1,OP= ,依题意补全图形; (2)

18、若OP= ,当线段AB在射线ON上运动时,线段CD与射线OM有公共点,求OA的取值范围; (3)一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上,称这个圆为这条线段的覆盖圆.若OA=1,当点P在射线 OM上运动时,以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆,直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小 值时OP和OQ的长度.,思路分析 本题需要借助画图观察发现CD移动的规律.,解题关键 解决本题的关键是发现图形的旋转使得线段CD平移运动,其中(2)是上下平移运动,(3)是水平平 移运动.,18.(2018北京东城一模,27)已知在ABC中,AD是BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂线,交 AD的

19、延 长线于点H. (1)如图1,若BAC=60, 直接写出B和ACB的度数; 若AB=2,求AC和AH的长; (2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.,解题关键 解决本题的关键是要通过构造三角形,借助中位线定理寻找边与边之间的数量关系.,19.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的边长为2.将射线AB绕点A顺时针旋转,所得射线与线段BD交于 点M,作CEAM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN. (1)如图1,当045时, 依题意补全图形; 用等式表示NCE与BAM之间的数量关系: ; (2)当4590时,探究NCE与BAM之间的数量关系,并加以证明

20、; (3)当090时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF的最大值.,解析 (1)补全的图形如图1所示. 图1 NCE=2BAM. (2)当4590时,NCE=180-2BAM. 证明:如图2,连接CM,设射线AM与CD的交点为H.,图2 四边形ABCD为正方形, BAD=ADC=BCD=90,直线BD为正方形ABCD的对称轴,且点A与点C关于直线BD对称. 射线AM与线段BD交于点M, BAM=BCM=, 1=2=90-.,CEAM, CEH=90,3+5=90. 又1+4=90,4=5, 1=3, 3=2=90-. 点N与点M关于直线CE对称, NCE=MCE=2+3=180-2BAM.

21、(3) +1. 提示:CEA=90, 点E在以AC为直径的圆上, 线段EF的最大值为1+ .,20.(2018北京海淀一模,27)如图,已知AOB=60,点P为射线OA上的一个动点,过点P作PEOB,交OB于 点E,点D在AOB内,且满足DPA=OPE,DP+PE=6. (1)当DP=PE时,求DE的长; (2)在点P的运动过程中,请判断是否存在一个定点M,使得 的值不变,并证明你的判断.,KPA=DPA. KPM=DPM. PK=PD,PM是公共边, KPMDPM. MK=MD. 作MLOE于L,MNEK于N. MO=2 ,MOL=60, ML=MOsin 60=3, PEBO,MLOE,M

22、NEK, 四边形MNEL为矩形, EN=ML=3. EK=PE+PK=PE+PD=6, EN=NK.,MNEK, MK=ME. ME=MK=MD,即 =1. 当点P与点M重合时,OP=OM=2 ,易求得PD=PE=3, = =1. 综上,存在定点M,点M在射线OA上且满足MO=2 时, 的值不变,始终为1.,解题关键 解决本题第二问的关键是要能够借助对称性和解直角三角形的相关知识发现线段之间的数量 关系.,21.(2018北京朝阳一模,27)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,点E为AB边上的动点(与点A,B不重合),连接CE, 将ACE的两边所在射线CE,CA以点C为中心顺时针旋转120,

23、分别交射线AD于点F,G. (1)依题意补全图形; (2)若ACE=,求AFC 的大小(用含的式子表示); (3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系,并证明.,解析 (1)补全的图形如图所示. (2)由题意可知,ECF=ACG=120. FCG=ACE=. 四边形ABCD是菱形,DAB=60, DAC=BAC=30. AGC=30.,AFC=+30. (3)线段AE、AF与CG之间的数量关系为AE+AF= CG. 证明:作CHAG于点H. 由(2)可知BAC=DAC=AGC=30, CA=CG. HG= AG. ACE=GCF,CAE=CGF, ACEGCF,AE=FG. 在RtHC

24、G中,HG=CGcosCGH= CG, AG= CG.即AF+AE= CG.,解题关键 解决本题的关键是要根据120角构造含30角的直角三角形,进而通过全等三角形、解直角三 角形相关知识来解决.,22.(2018北京通州一模,27)如图,直线l是线段MN的垂直平分线,交线段MN于点O,在MN下方的直线l上取一 点P,连接PN,以线段PN为边,在PN的上方作正方形NPAB.射线MA交直线l于点C,连接BC. (1)设ONP=,求AMN的度数; (2)写出线段AM与BC之间的等量关系,并证明.,在AGP与PON中, AGPPON(AAS),PO=AG. 又易知AG=EO,EP= OE= AG=AC

25、. 又APG=BAG, 45-APG=45-BAG,即EPA=CAB. 在ACB与EPA中, ACBPEA(AAS), BC=AE.又AM= AE,AM= BC.,23.(2018北京东城二模,27)如图所示,点P位于等边ABC的内部,且ACP=CBP. (1)BPC的度数为 ; (2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD, 依题意补全图形; 证明:AD+CD=BD; (3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.,CPD=180-BPC=60, PD=PC, CPD为等边三角形. ACD+ACP=ACP+BCP=60, ACD=BCP. 在ACD和BCP中, AC

26、DBCP(SAS). AD=BP, AD+CD=BP+PD=BD. (3)如图2,作BMAD于点M,BNDC延长线于点N.,图2 ADB=ADC-PDC=60, ADB=CDB=60, BM=BN= BD= . 又由(2)得,AD+CD=BD=2, S四边形ABCD=SABD+SBCD= ADBM+ CDBN= (AD+CD)= 2= .,24.(2018北京海淀二模,27)如图,在等边ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,且CD=CE,DBC30,点C与 点F关于直线BD对称,连接DE,DF,AF,FE,FE交BD于G. (1)DE,DF之间的数量关系是 ; (2)若DBC=,求FEC的

27、大小;(用含的式子表示) (3)用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系,并证明.,解析 (1)DE=DF. (2)ABC是等边三角形, C=60. DBC=, BDC=120-. 点C与点F关于直线BD对称, BDF=BDC=120-,DF=DC. FDC=120+2. 由(1)知DE=DF, F,E,C在以D为圆心,DC为半径的圆上. FEC= FDC=60+. (3)BG=GF+FA.,证明:连接BF,延长AF,BD,交于点H, ABC是等边三角形, ABC=BAC=60,AB=BC=CA. 点C与点F关于直线BD对称, BF=BC,FBD=CBD. BF=BA, BAF=BFA.,

28、设CBD=, 则ABF=60-2, BAF=60+, FAD=, FAD=DBC. 由(2)知FEC=60+. BGE=FEC-DBC=60. FGB=120,FGD=60. 四边形AFGB中,AFE=360-FAB-ABG-FGB=120, HFG=60, FGH是等边三角形, FH=FG,H=60. CD=CE,DA=EB. 在AHD与BGE中, AHDBGE. BG=AH. AH=HF+FA=GF+FA, BG=GF+FA.,25.(2018北京西城二模,27)如图,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段QA绕点Q顺 时针旋转,使得点A对应的点E落在射线BC上,连

29、接BQ,设DAQ=(060且30). (1)当030时, 在图中依题意画出图形,并求BQE(用含的式子表示); 探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明; (2)当3060时,直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.,解析 (1)画出的图形如图1所示. 图1 ABC为等边三角形, ABC=60. CD为等边三角形的中线,Q为线段CD上的点, 由等边三角形的对称性得QA=QB. DAQ=,ABQ=DAQ=,QBE=60-. 线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得, QE=QA,QB=QE, 可得BQE=180-2QBE=180-2(60-)=60+2. CE+AC= CQ. 证明:

30、如图2,延长CA到点F,使得AF=CE,连接QF,作QHAC于点H. 图2,EM=MC,BD= EM= (BC+BF). (2)ACE= ABC. a.与(1)同理可证BDPC,BD= PC,BP=BC; b.由BD= (BC+BF)可知PEC和BEF分别是等腰三角形; c.由BEF+BFE+EBF=180,FCD+DFC=90,可知ACE= ABC.,解题关键 解决本题的关键是借助辅助线(建议使用“延长”)构造等腰三角形,寻找边角关系.,28.(2017北京东城一模,28)在等腰ABC中. (1)如图1,若ABC为等边三角形,D为线段BC中点,线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE,连接D

31、E,则 BDE的度数为 ; (2)若ABC为等边三角形,点D为线段BC上一动点(不与B,C重合),连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60 得到线段DE,连接BE. 根据题意在图2中补全图形; 小玉通过观察、验证,提出猜测:在点D运动的过程中,恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论,形成了几种 证明的思路: 思路1:要证明CD=BE,只需要连接AE,并证明ADCAEB; 思路2:要证明CD=BE,只需要过点D作DFAB,交AC于F,证明ADFDEB; 思路3:要证明CD=BE,只需要延长CB至点G,使得BG=CD,证明ADCDEG. 请参考以上思路,帮助小玉证明CD=BE.(只需要用一种方法证

32、明即可),(3)小玉的发现启发了小明:如图3,若AB=AC=kBC,AD=kDE,且ADE=C,此时小明发现BE,BD,AC三者之 间满足一定的数量关系,这个数量关系是 .(直接给出结论无需证明),教师专用题组 1.(2019内蒙古包头,25,12分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点 ,连 接AM,过点M作MNAM交边BC于N. (1)如图,求证:MA=MN; (2)如图,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当 = 时,求AN和PM的长; (3)如图,过点N作NHBD于H,当AM=2 时,求HMN的面积.,解析 (1)证明:如图,过点M作MFAB

33、于F,作MGBC于G. AFM=NGM=90. 四边形ABCD为正方形,ABC=90, 又点M在BD上, 由此易得四边形FBGM为正方形,MF=MG,FMG=90, FMN+NMG=90. MNAM,NMA=90,AMF+FMN=90. NMG=AMF.RtAMFRtNMG, MA=MN. (3分),(2)在RtAMN中,AMN=90,MA=MN, MAN=45. 在RtBCD中,DBC=45,MAN=DBC, RtAMNRtBCD, = . 在RtABD中,AB=AD=6,BD=6 . = , = ,AN=2 . (6分) 在RtABN中,BN= =4. 在RtAMN中,MA=MN,O是AN

34、的中点, OM=AO=ON= AN= ,PMAN, AOP=ABN=90,又PAO=NAB, AOPABN,思路分析 (1)先作MFAB,MGBC,再利用正方形ABCD及角平分线的性质可证MF=MG,进一步证明 AMFNMG,问题解决;(2)先证RtAMNRtBCD,然后根据相似的性质求出AN,再根据条件证明 AOPABN,从而由相似比求出OP,问题解决;(3)先作AFBD,然后根据条件证明AFMMHN, 得出AF=MH,再在RtABD和RtMNH中分别求出MH,MN,HN,最后求出面积.,2.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B= ,点D为BC边

35、上的动点(点D不与点B,C重 合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF. (1)求证:ABDDCE; (2)当DEAB时(如图2),求AE的长; (3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说 明理由.,解析 (1)证明:AB=AC, B=ACB. ADE+CDE=B+BAD,ADE=B, BAD=CDE. ABDDCE. (2)过点A作AMBC于点M. 在RtABM中,设BM=4k,则AM=BMtan B=4k =3k, 由勾股定理,得AB2=AM2+BM2. 202=(3k

36、)2+(4k)2. k=4. AB=AC,AMBC, BC=2BM=24k=32.,BM=CM= BC= 32=16. 在RtABM中,由勾股定理,得AM= = =12. ANFH,AMBC,ANF=90=AMD. DAF=90=MAN,NAF=MAD.AFNADM. = =tanADF=tan B= . AN= AM= 12=9.CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7. 当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知DFC为等腰三角形.又FHDC,CD=2CH=14.BD=BC-CD=32-14=18, 点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18.,解后反思 由相

37、似三角形的判定定理来判定相似.求以相似图形为背景的某些线段的长,常常运用成比例 线段,勾股定理,解直角三角形等方面的知识求解.,3.(2019辽宁大连,25,12分)阅读下面材料,完成(1)(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题: 如图1,ABC中,BAC=90,点D,E在BC上,AD=AB,AB=kBD ,ABC=ACB+BAE,EAC 的平分线与BC相交于点F,BGAF,垂足为G,探究线段BG与AC的数量关系,并证明. 同学们经过思考后,交流了自己的想法: 小明:“通过观察和度量,发现BAE与DAC相等.” 小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段BG与AC的数量关系.

38、” 老师:“保留原题条件,延长图1中的BG,与AC相交于点H(如图2),可以求出 的值.” ,(1)求证:BAE=DAC; (2)探究线段BG与AC的数量关系(用含k的代数式表示),并证明; (3)直接写出 的值(用含k的代数式表示).,解析 (1)证明:AB=AD, ABD=ADB. ADB=DAC+ACB,ABC=BAE+ACB, BAE=DAC. (2)BG= AC. 证明:如图,延长AE到M,使AM=AC,连接BM,CM,延长AF交CM于点N,AB=AD,BAM=DAC,AM=AC, ABMADC. AMB=ACD. BAE=DAC, EAC=BAD. AB=AD,AM=AC, ABD

39、=ADB= (180-BAD),AMC=ACM= (180-EAC). ABD=ADB=AMC=ACM. BAC=90, ACB+ABD=90. BMC=AMB+AMC=ACB+ABD=90. AM=AC,AF平分MAC,ANMC,MN=NC, BGAF, BGN=90=BMN=ANM. 四边形BMNG为矩形. MN=BG. ACM=ABD,AMC=ADB, ACMABD. = , AC= =kCM=2kBG,即BG= AC. (3) = . 详解:如图,过A作APBD交BD于P,设BP=DP=a(a0),AB=AD=2ka,AP= = a, 由题易知ABPCBA, = = = ,AC=2ka

40、 . AB=AD,BAP= BAD. BAE=DAC, BAE+EAD=DAC+EAD, BAD=EAC,AF平分EAC, FAC= EAC,FAC= BAD=BAP. BGAF, BGA=90, ABG+BAG=FAC+BAG=90, ABG=FAC=BAP,又APB=BAH=90, ABPBHA, = = = , AH= , = = .,4.(2019贵州贵阳,25,12分) (1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求 AB,BE,AF之间的数量关系; (2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过点D作正方形D

41、ECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE +AF,求ADB的度数; (3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.,解析 (1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点, AF=FC=CE=EB=DE=FD, 在RtAFD和RtBED中, AD= AF,BD= BE, AB=AD+BD= (AF+BE). (2)四边形DECF是正方形, DF=DE, 将ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90得到ADE,如图, AD=AD,AF=AE,且ADA=90. AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB. 在ABD和AB

42、D中,思路分析 (1)根据题意得出ADF和BDE均为等腰直角三角形,AD= AF,BD= BE,进而得出结果;(2) 将ADF绕点D逆时针旋转90,旋转到ADE的位置,进一步证明ABD与ABD全等,得出ADB=ADB, 进而求出ADB的度数;(3)由(2)问易得AD平分BAC,BD平分ABC,结合EMAC,FNBC,得出AM=DM, DN=BN,最后根据勾股定理得出结论.,难点突破 对于(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰ADM和等腰BDN,把 所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解.,解析 (1)O切CP于点P,OPPC,即CPB=90. 由四边形A

43、BCD是平行四边形得ADBC,tanCBP=tanDAB= , 设PC=4k,BP=3k,则BC= =5k, 5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9. (2分) PE与BC垂直. (3分) (2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H, 同(1)得CK=12,BK=9.AK=AB+BK=12,CK=AK.,CAP=ACK=45. (4分) BP=4,AP=7, HP= AP= . 又PK=BK-BP=5,PC=13. HOP=90-OPH=CPK, RtHOPRtKPC. = , 即 = , OP= . (6分) POQ=2PAQ=90, l = . (8分),难点

44、突破 本题是以圆心O在AP的上下方不断变化为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于 从动态位置中寻找与x相关的等量关系.利用切线的性质求出x的值是解决问题的关键.,思路分析 (1)根据切线的性质有OPPC,由ADBC可得tanCBP=tanDAB= ,设PC=4k,BP=3k,根据勾 股定理可得BC=5k=15,解得k=3,即可求出x的值,根据圆的直径所对的圆周角AEP为直角及ADBC可得 PE与BC垂直;(2)同(1)的方法可得CK=12,BK=9,进而得出CK=AK,CAP=45,POQ=90,根据切线的性质 有OPPC,易得RtHOPRtKPC,可得 = ,进而求得OP的长,利用

45、弧长公式求出劣弧 的长度与 弦AP的长度比较即可;(3)由上面两问可知满足此问的点O在AP的下方,显然当O与AD相切于点A时,两者 只有一个公共点A,此时DAP=CBP=CPA,BP=2BK=18,从而推出x的取值范围为x18.,6.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点,连接AP,将 线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP. (1)观察猜想 如图1,当=60时, 的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 . (2)类比探究 如图2,当=90时,请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由. (3)解决问题 当=90时,若点E、F分别是CA、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值.,解析 (1)1;60.(注:若填为