2020年北京中考数学复习课件§7.6 新定义问题.pptx

1、1.(2019北京,28,7分)在ABC中,D,E分别是ABC两边的中点,如果 上的所有点都在ABC的内部或边 上,则称 为ABC的中内弧.例如,下图中 是ABC的一条中内弧. (1)如图,在RtABC中,AB=AC=2 ,D,E分别是AB,AC的中点.画出ABC的最长的中内弧 ,并直接写出 此时 的长;,(2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0),(t0).在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点. 若t= ,求ABC的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围; 若在ABC中存在一条中内弧 ,使得 所在圆的圆心P在ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.,点

2、P2 .结合图形,可得点P的纵坐标yP1.综上所述,圆心P的纵坐标yP的取值范围是yP 或yP1. t的取值范围是0t . 提示:如图1,当 (除端点外)在线段DE上方,即P与AC相切时,PEAC,易证EFCPFE,可求得t= ,结合图象可知0t ;如图2,当 (除端点外)在线段DE下方,即P与BC相切时,易证PFC ABC,可求得PF=1.5,设PF与DE交于点G,PG=0.5,进而在RtPDG中可求t= ,结合图象可知0t .综 上,t的取值范围是0t,图1,图2,2.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N 上任意

3、一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N). 已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(点O,ABC); (2)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围.,T在ABC的内部时,d(T,ABC)=1, 此时0t4-2 ; T在ABC的右侧时,d(T,ABC)=1, 此时t=4+2 . 综上所述,t=-4或0t4-2 或t=4+2 .,解题关键 解决本题的关键是要从点到点的距离

4、中发现点到直线的距离和平行线间的距离.,3.(2017北京,29,8分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下定义:若在图形M上存在一点Q,使 得P,Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点. (1)当O的半径为2时, 在点P1 ,P2 ,P3 中,O的关联点是 ; 点P在直线y=-x上,若P为O的关联点,求点P的横坐标的取值范围; (2)C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A,B.若 AB上的所有点都是C的关 联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.,解析 (1)P2,P3. 设直线y=-x与以原点为圆心,半径为1和3的两个圆的交点从左到右

5、依次为D,E,F,G,过点D作DMx轴于 点M,如图1. 图1 由 可求得点D的横坐标为- .,对于O上任意一点Q,总有PQOP-OQ=OP-OQ=PQ1,此时P不是O的关联点. 综上所述,当P为O的关联点时,1OP3. 点P的横坐标xP的取值范围是- xP- 或 xP . (2)圆心C的横坐标xC的取值范围是-2xC1- 或2xC2 .提示:由(1)可知,线段AB上的点均满足:与圆,解析 (1)点M关于O的反称点不存在; 点N关于O的反称点存在,坐标为 ; 点T关于O的反称点存在,坐标为(0,0). 如图1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点E(2,0),点F(0,2). 设点P的横坐标

6、为x. i)当点P在线段EF上, 即0x2时,1OP2. 在射线OP上一定存在一点P,使得OP+OP=2. 点P关于O的反称点存在. 其中点P与点E或点F重合时,OP=2,点P关于O的反称点为O,不符合题意. 0x2. ii)当点P不在线段EF上,6x8. 并且,当6x8时,CB2,CA2. 在线段AB上一定存在一点P,使得CP=2. 此时点P关于C的反称点为C,且点C在C的内部.6x8. 综上所述,圆心C的横坐标x的取值范围是2x8.,思路点拨 根据反称点的定义可知,当一点到圆心的距离大于半径的2倍时,此点无反称点,所以要确定一点 有没有反称点,先要求出它到圆心的距离.,解题关键 (1)要准

7、确理解“反称点”的含义;(2)通过具体实例加深对“反称点”的理解;(3)运用运动变化, 分类讨论的思想解决较复杂的问题.,(3)如图3,已知点H(-3,0),以点O为圆心,OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K.点C(a,b)(其中b0)是坐标平 面内一个动点,且OC=5,C是以点C为圆心,半径为2的圆.若 上的任意两个点都是C的一对平衡点,直 接写出b的取值范围.,提示:根据题意可知,点C在以原点为圆心,半径为5的圆上,当b=5时,点C坐标为(0,5),H到C的最短距离是 -2,最大距离是 +2,而点(0,3)到C的最短距离是0,最大距离是4, -20的情况,可列方程 -2=4且a2+b2=2

8、5,解得a= , 再代入a2+b2=25,可得b= ,所以 b5.,解题关键 解决本题最后一问的关键是发现点到圆的最值,同时根据勾股定理列出方程进行求解.,解析 (1)3. (2分) (2)设直线y=- x+3与x轴的交点为M,与y轴的交点为N, 当点B运动到点N时,d(O,B)取得最小值,由直角距离的定义可知, d(O,B)=ON=3. 理由如下: 当点B运动到点M时,d(O,B)=OMON; 作BPy轴于点P, 如图1,当点B在点N的左侧时,d(O,B)=BP+OPOPON;,如图2,当点B在线段MN上时,d(O,B)=BP+OPNP+OP,即d(O,B)ON;,图2,图1,如图3,当点B

9、在点M的右侧时,d(O,B)=BP+OPBPOMON;,图3,综上所述,当点B运动到点N时,d(O,B)取得最小值,为3. (5分) 由可知,对于O上每一个给定的点C,当点B,C运动到使BCx轴时,d(B,C)取得最小值,为线段BC的长度.,图4,如图4,过点C作直线y=- x+3的垂线,垂足为D,过点C作x轴的垂线,交直线y=- x+3于点B. 可证BC= CD.当CD取得最小值时,BC取得最小值.,因此,将直线y=- x+3沿图中所示由点D到点C的方向平移到第一次与O有公共点,即与O在第一象限内 相切的位置时,切点即为所求的点C. 此时CD= ,BC= . 所以d(B,C)的最小值为 .

10、(7分),思路分析 本题(2)需要分成多种情况进行考虑,同时要理解|x1-x2|+|y1-y2|的含义.,解题关键 解决本题最后一问的关键是发现由y=- x+3生成的垂直距离可以转化为点到直线的距离.因为 直线角度不变,所以可以借助平移寻找到切点,即为所求.,7.(2019北京东城一模,28)在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x、y轴的距离中的 最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值,则称P,Q两点为“等距点”.如图中的P,Q两点即为“等距 点”. (1)已知点A的坐标为(-3,1), 在点E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中,为点A的“等距点”的是 ;

11、 若点B在直线y=x+6上,且A,B两点为“等距点”,则点B的坐标为 ; (2)直线l:y=kx-3(k0)与x轴交于点C,与y轴交于点D. 若T1(-1,t1),T2(4,t2),是直线l上的两点,且T1与T2为“等距点”,求k的值; 当k=1时,半径为r的O上存在一点M,线段CD上存在一点N,使得M,N两点为“等距点”,直接写出r的取 值范围.,8.(2019北京石景山一模,28)在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(0,-1),D(1, 0).对于图形M,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点间的

12、距离 有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作d(M). (1)已知点E(0,4), 直接写出d(点E)的值; 直线y=kx+4(k0)与x轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时,求k的取值范围; (2)T的圆心为T(t,3),半径为1.若d(T)6,直接写出t的取值范围.,9.(2019北京丰台一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义:若在图形G上存在两个 点A,B,使得以P,A,B为顶点的三角形为等边三角形,则称P为图形G的“等边依附点”. (1)已知M(-3,- ),N(3,- ). 在点C(-2,2),D(0,1),E(1, )中,属于线段MN的“

13、等边依附点”的是 ; 点P(m,0)在x轴上运动,若P为线段MN的“等边依附点”,求点P的横坐标m的取值范围; (2)已知O的半径为1,若O上所有点都是某条线段的“等边依附点”,直接写出这条线段长n的取值范围.,解析 (1)D,E; (2分) 以线段MN的一部分为边的等边三角形与x轴交点的横坐标为-2和2, -2m2. (5分) (2)n2 . (7分) (提示:由示意图, 当1=60时,由O的半径为1,可求AC= ,根据对称性且线段不能与O有公共点,可知n2 .),10.(2019北京顺义一模,28)在平面直角坐标系xOy中,A、B为平面内不重合的两个点,若Q到A、B两点的距 离相等,则称点

14、Q是线段AB的“似中点”. (1)已知A(1,0),B(3,2),在点D(1,3)、E(2,1)、F(4,-2)、G(3,0)中,线段AB的“似中点”是点 ; (2)直线y= x+ 与x轴交于点M,与y轴交于点N. 求在坐标轴上的线段MN的“似中点”; 若P的半径为2,圆心P为(t,0),P上存在线段MN的“似中点”,请直接写出t的取值范围.,解析 (1)E、G. (2分) (2)由直线解析式得M(-1,0),N(0, ),MN=2,MNO=30, 设所求似中点为H, 则H即为MN的垂直平分线与坐标轴的交点, 当“似中点”H1在x轴上时,H1M=2, 则H1为(1,0). 当“似中点”H2在y

15、轴上时,NH2= , 则OH2=ON-NH2= ,H2为 , “似中点”H1为(1,0),H2为 . (5分) -3t5.(提示:如图所示,当P与MN的垂直平分线相切时满足题意,根据PH1H2=30,P的半径为2,可 求得-3t5.) (7分),11.(2019北京门头沟一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P,给出如下定义:点A是线段MN上 一个动点,过点A作线段MN的垂线l,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转中心,将垂线l沿逆时针 方向旋转60后与线段MN有公共点,我们就称点P是线段MN的“关联点”. 如图,M(1,2),N(4,2). (1)在点P1(1,3),

16、P2(4,0),P3(3,2)中,线段MN的“关联点”有 ; (2)如果点P在直线y=x+1上,且点P是线段MN的“关联点”,求点P的横坐标x的取值范围; (3)如果点P在以O(1,-1)为圆心,r为半径的O上,且点P是线段MN的“关联点”,直接写出O半径r的取值 范围.,解题关键 解决本题的关键是发现关联点的范围是一个含60角的平行四边形.,12.(2019北京密云一模,28)在平面直角坐标系xOy中,已知P(x1,y1),Q(x2,y2),定义P、Q两点的横坐标之差的绝 对值与纵坐标之差的绝对值的和为P、Q两点的直角距离,记作d(P,Q).即d(P,Q)=|x2-x1|+|y2-y1|.

17、如图1,在平面直角坐标系xOy中,A(1,4),B(5,2),则d(A,B)=|5-1|+|2-4|=6. 图1 (1)如图2,已知以下三个图形:,13.(2019北京房山二模,28)对于平面直角坐标系xOy中的点P和C,给出如下定义:若C上存在点A, 使得APC=30,则称P为C的半角关联点. 当O的半径为1时, (1)在点D ,E(2,0),F(0,2 )中,O的半角关联点是 ; (2)直线l:y=- x-2交x轴于点M,交y轴于点N,若直线l上的点P(m,n)是O的半角关联点,求m的取值范围.,解析 (1)D、E. (2分) (2)由直线l的解析式得M(-2 ,0),N(0,2), (3

18、分) 以O为圆心,ON长为半径画圆,交直线MN于点G,可得m0, (4分) 设小圆O与y轴负半轴的交点为H,连接OG,HG, M(-2 ,0),N(0,2),OM=2 ,ON=2,tanOMN= , OMN=30,ONM=60,OGN是等边三角形,GHy轴,点G的纵坐标为-1,代入y=- x-2可得,横坐标为- , m- , (6分) - m0. (7分),解题关键 解决本题的关键是发现O的半角关联点的范围是半径为2的圆(及内部).,14.(2019北京石景山二模,28)对于平面直角坐标系xOy中的点P,Q,给出如下定义:若P,Q为某个三角形的顶 点,且边PQ上的高h满足h=PQ,则称该三角形

19、为点P,Q的“生成三角形”. (1)已知点A(4,0), 若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O,A的“生成三角形”,求该三角形的腰长; 若RtABC是点A,B的“生成三角形”,且点B在x轴上,点C在直线y=2x-5上,则点B的坐标为 ; (2)T的圆心为点T(2,0),半径为2,点M的坐标为(2,6),N为直线y=x+4上一点,若存在RtMND,是点M,N的 “生成三角形”,且边ND与T有公共点,直接写出点N的横坐标xN的取值范围.,解析 (1)如图,不妨设满足条件的三角形为等腰OAR, 则OR=AR. 过点R作RHOA于点H, OH=HA. 以线段OA为底的等腰OAR恰好是点O,A的“生

20、成三角形”, RH=OA=4. (1分) OR=2 , 即腰长为2 . (2分),(1,0)或(3,0)或(7,0). (5分) 若A为直角顶点时,点B的坐标为(1,0)或(7,0); 若B为直角顶点时,点B的坐标为(1,0)或(3,0). 综上,点B的坐标为(1,0),(3,0)或(7,0).(2)-6xN0. (提示:如图,若N为直角顶点,则-1- xN0;若M为直角顶点,-6xN-2.综上,-6xN0.) (7分）,15.(2019北京顺义二模,28)对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1,y1),N(x2,y2),给出如下定义: 点M与点N的“折线距离”d(M,N)=|x1-x2

21、|+|y1-y2|. 例如:若点M(-1,1),点N(2,-2),则点M与点N的“折线距离”d(M,N)=|-1-2|+|1-(-2)|=3+3=6. 根据以上定义,解决下列问题: (1)已知点P(3,-2). 若点A(-2,-1),则d(P,A)= ; 若点B(b,2),且d(P,B)=5,则b= ; 已知点C(m,n)是直线y=-x上的一个动点,且d(P,C)3,求m的取值范围. (2)F的半径为1,圆心F的坐标为(0,t),若F上存在点E,使d(E,O)=2,直接写出t的取值范围.,解析 (1)d(P,Q)=|3-(-2)|+|(-2)-(-1)|=6. (1分) d(P,B)=|3-b

22、|+|(-2)-2|=|3-b|+4=5, |3-b|=1,b=2或4. (3分) d(P,C)=|3-m|+|(-2)-n|=|3-m|+|-2+m|=|m-3|+|m-2|3, 即数轴上表示数m的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3,所以1m4. (5分) (2)2- t3或-3t -2. (7分) (提示:如图,正方形上的点均满足d(E,O)=2,故圆应与正方形有交点,由圆半径和正方形对角线的长即可求出t的范围.),16.(2019北京朝阳二模,28)M ,N 是平面直角坐标系xOy中的两点,若平面内直线MN上方的点P 满足:45MPN90,则称点P为线段MN的可视点.

23、 (1)在点A1 ,A2 ,A3(0, ),A4(2,2)中,线段MN的可视点为 ; (2)若点B是直线y=x+ 上线段MN的可视点,求点B的横坐标t的取值范围; (3)直线y=x+b(b0)与x轴交于点C,与y轴交于点D,若线段CD上存在线段MN的可视点,直接写出b的取值范围.,解析 (1)A1,A3. (2分) (2)如图,以 为圆心,1为半径作圆,以 为圆心, 为半径作圆,两圆在直线MN上方的部分与直线y= x+ 分别交于点E,F. 可求E,F两点坐标分别为 和 . (3分),只有当点B在线段EF上时,满足45MBN90,点B是线段MN的可视点. 点B的横坐标t的取值范围是0t1. (5

24、分) (3) b 或- b- . (7分) (提示:由(2)可知y=x+b(b0)平移经过的特殊点:半径为 的半圆MF与直线的切点,此时b= + = ;点M,此时b= ;半径为1的半圆MN与x轴正半轴的交点,此时交点坐标为 ,所以b=- ;点N, 此时b=- .),一题多解 当不能发现可视点区域是两个圆叠合后的图形时,解决本题第二问可借助三角板进行操作,进 而也可以寻找到点E、F的坐标.,17.(2019北京东城二模,28)对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB,给出如下定义:M为图形P上任意 一点,N为直线AB上任意一点,如果M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P和直线A

25、B之间的 “确定距离”,记作d(P,直线AB). 已知A(2,0),B(0,2). (1)求d(点O,直线AB); (2)T的圆心为T(t,0),半径为1,若d(T,直线AB)1,直接写出t的取值范围; (3)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形Q.若d(Q,直线AB)=1,直接写出k的值.,解析 (1)A(2,0),B(0,2), AOB是等腰直角三角形, 作OHAB于点H, 点H是AB的中点. AB=2 , d(点O,直线AB)=OH= . (2分) (2)2-2 t2+2 . (5分) (提示:d(T,直线AB)1,即圆心T到直线的距离最大值为2,所以BT=2 ,根据中心对称的性

26、质t=22 ,所 以2-2 t2+2 .) (3)k=-3+ 或k=1- . (7分). (提示:将直线AB:y=-x+2向左下方平移1个单位长度,即向下平移 个单位长度得到y=-x+2- ,当x=-1时,y= 3- ,代入y=kx(-1x1,k0),得k=-3+ ;当x=1时,y=1- ,再次代入y=kx(-1x1,k0),得k=1- .),18.(2018北京东城一模,28)给出如下定义:对于O的弦MN和O外一点P(M,O,N三点不共线,且P,O在直线 MN的异侧),当MPN+MON=180时,称点 P是线段MN关于点O的关联点.图1是点P为线段MN关于点O的 关联点的示意图. 在平面直角

27、坐标系xOy中,O的半径为1.,(1)如图2,M ,N .在A(1,0),B(1,1),C( ,0)三点中,是线段MN关于点O的关联点的是 ; (2)如图3,M(0,1),N ,点D是线段 MN关于点O的关联点. MDN的大小为 ; 在第一象限内有一点E( m,m),点E是线段MN关于点O的关联点,判断MNE的形状,并直接写出点E的 坐标; 点F在直线y=- x+2上,当MFNMDN时,求点F的横坐标xF的取值范围.,又OG= ,ON=1, OGN=30. MGN=60. G是线段MN关于点O的关联点. 由知点E( ,1)也是线段MN关于点O的关联点, 经验证,点E( ,1)在直线y=- x+

28、2上. 结合图象可知,当点F在线段GE上时,符合题意. xGxFxE, xF .,19.(2018北京海淀一模,28)在平面直角坐标系xOy中,对于点P和C,给出如下定义:若C上存在一点T(不 与O重合),使点P关于直线OT的对称点P在C上,则称P为C的反射点.C的反射点P的示意图如图所示. (1)已知点A的坐标为(1,0),A的半径为2, 在点O(0,0),M(1,2),N(0,-3)中,A的反射点是 ; 点P在直线y=-x上,若P为A的反射点,求点P的横坐标的取值范围; (2)C的圆心在x轴上,半径为2,y轴上存在点P是C的反射点,直接写出圆心C的横坐标x的取值范围.,解析 (1)A的反射

29、点是M,N. 设直线y=-x与以原点为圆心,1和3为半径的两个圆的交点从左至右依次为D,E,F,G,过点D作DHx轴于点 H,如图. 可求得点D的横坐标为- . 同理可求得点E,F,G的横坐标分别为- , , .,20.(2018北京朝阳一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB,其中A(t,0)、B(t+2,0),给出如下定义: 若在线段AB上存在一点Q,使得P,Q两点间的距离小于或等于1,则称P为线段AB的伴随点. (1)当t=-3时, 在点P1(1,1),P2(0,0),P3(-2,-1)中,线段AB的伴随点是 ; 在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N,且MN= ,

30、求b的取值范围; (2)线段AB的中点关于点(2,0)的对称点是C,将射线CO以点C为中心,顺时针旋转30得到射线l,若射线l上存 在线段AB的伴随点,直接写出t的取值范围.,21.(2018北京石景山一模,29)对于平面上两点A,B,给出如下定义:以点A或点B为圆心,AB长为半径的圆称为 点A,B的“确定圆”.如图为点A,B的“确定圆”的示意图. (1)已知点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,3),则点A,B的“确定圆”的面积为 ; (2)已知点A的坐标为(0,0),若直线l:y=x+b上只存在一个点B,使得点A,B的“确定圆”的面积为9,求点B的坐 标; (3)已知点A在以P(m,

31、0)为圆心,1为半径的圆上,点B在直线y=- x+ 上,若要使所有点A,B的“确定圆”的 面积都不小于9,直接写出m的取值范围.,22.(2018北京朝阳二模,28)对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m,给出如下定义:若存在一点P,使得点P 到直线m的距离等于1,则称P为直线m的平行点. (1)当直线m的表达式为y=x时, 在点P1(1,1),P2(0, ),P3 中,直线m的平行点是 ; O的半径为 ,点Q在O上,若点Q为直线m的平行点,求点Q的坐标; (2)点A的坐标为(n,0),A半径等于1,若A上存在直线y= x的平行点,直接写出n的取值范围.,思路分析 本题需要明确点到直线的距离

32、是点到直线的垂线段的长度,进而利用90构造直角三角形来解 决问题.,解题关键 解决本题最后一问的关键是要找到临界平行线,进而借助切线和解直角三角形的知识来确定n 的取值范围.,23.(2017北京海淀一模,29)在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个菱形相邻的两个顶点,且该菱形的两条对 角线分别与x轴,y轴平行,则称该菱形为点P,Q的“相关菱形”.下图为点P,Q的“相关菱形”的一个示意图. 已知点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(b,0). (1)若b=3,则R(-1,0),S(5,4),T(6,4)中能够成为点A,B的“相关菱形”顶点的是 ; (2)若点A,B的“相关菱形”为正方形,求b

33、的值; (3)B的半径为 ,点C的坐标为(2,4).若B上存在点M,在线段AC上存在点N,使点M,N的“相关菱形”为 正方形,请直接写出b的取值范围.,解析 (1)R,S. (2)如图. 点A,B的“相关菱形”为正方形, ABH为等腰直角三角形.,点A的坐标为(1,4), BH=AH=4, b=-3或5. (3)-5b0或3b8. (提示:根据下图中直线与圆的位置关系可求得b的范围.),思路分析 要理解相关菱形与正方形的判定方法,要同时关注边和角的数量关系与位置关系.,解题关键 解决本题的关键是要按照题目要求画出示意图,同时要熟练掌握特殊四边形的判定方法.,记直线y=- x+1与x轴交于点R,

34、易知R( ,0). 若点E在点R的左侧,则 由E1N1=2,可得RE1=4,OE1=4- , t1=-4+ . 若点E在点R的右侧,则 由E2N2=2,可得RE2=4,OE2=4+ , t2=4+ . (iii)当直线y=- x+1与E相交时, 由(ii)可知,-4+ t4+ . 综上,t的取值范围是-4+ t4+ .,1.(2019辽宁大连,26,12分)定义:把函数C1:y=ax2-2ax-3a(a0)的图象绕点P(m,0)旋转180,得到新函数C2的图 象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0). (1)填空:t的值为 (用含m的代数式表示);

35、(2)若a=-1,当 xt时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1-y2=1,求C2的解析式; (3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴相交于点D.把线段AD绕原点O逆时针 旋转90,得到它的对应线段AD.若线段AD与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,教师专用题组,解析 (1)2m-1. 详解:函数C1图象的对称轴为直线x=1,故C1的图象的对称轴与x轴的交点为(1,0),点(1,0)关于P(m,0)对称的点 为(2m-1,0),t=2m-1. (2)a=-1,C1:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,对称轴为直线x=1,顶

36、点坐标为(1,4), 当 时,y1-y2=4-(-t2+2t+3)=1,解得t1=2,t2=0(舍), 综上所述,t=2.C2的解析式为y=(x-2)2-4,即y=x2-4x. (3)m=0,t=2m-1=-1.C2的解析式为y=-a(x+1)2+4a,令-a(x+1)2+4a=0,得x=1或-3, B(-3,0),A(1,0),易知D(0,3a), 则A(0,1),D(-3a,0). 当a0时, 解得a ; 解得a1; 无解. 综上所述,a的取值范围为a- 或0a 或a1.,形成概念 (2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”. 知识应用 在(2)中,如图

37、2. “系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,Pn,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出该顶点纵坐标 y与横坐标x之间的关系式; “系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:C1,C2,C3,Cn.其横坐标分别为-k- 1,-k-2,-k-3,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距 离;若不相等,说明理由; 在中,直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,An,连接CnAn,Cn-1An-1,判断CnAn,Cn-1An-1是否平 行,并说明理由.,解析 (1). (2)Pn . y=x2+1. 相

38、邻两点之间的距离都相等. 理由:根据题意得Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1). Cn,Cn-1两点之间的铅直高度=-k2-nk+k+1-(-k2-nk+1)=k, Cn,Cn-1两点之间的水平距离=-k-n+1-(-k-n)=1. 由勾股定理得Cn =k2+1. CnCn-1= . CnAn与Cn-1An-1不平行. 理由:根据题意得Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1),思路分析 (1)将x=0分别代入y1,y2,y3中,可得y1=y2=y3=1,从而判断的对错.利用x=- 求出y1,y2,y3的对

39、称轴分别为x=- ,x=-1,x=- ,从而判断的对错. 令y1=1,y2=1,y3=1,分别求出交点坐标,从而判断的对错. (2)利用公式法或配方法,求出yn的顶点坐标为 ,令x=- ,y= +1,易知y=x2+1. 由题得到Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1). 利用勾股定理可得Cn-1Cn= ,是一个固定值. 过点Cn,Cn-1分别作直线y=1的垂线,垂足为点D,E,分别求出tanDAnCn和tanEAn-1Cn-1的大小,判断出 tanDAnCntanEAn-1Cn-1,从而得出CnAn与Cn-1An-1不平行.,3.(2019重庆A卷,2

40、2,10分)道德经中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征.在数 的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、 质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数”. 定义:对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”. 例如:32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位; 23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位. (1)判断2 019和2 020是不是“纯数”,请说明理由; (2)求出不大于100的“纯数”的个数.,4.(2018江

41、西,23,12分)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程: 求解体验 (1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1,0),则b= ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0,1)成中心对 称的抛物线表达式是 . 抽象感悟 我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y,则 我们又称抛物线y为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”. (2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y,若这两条抛物线有交点,求m的取值范围. 问题解决 (3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a0). 若抛物线y的衍

42、生抛物线为y=bx2-2bx+a2(b0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a,b的值及 衍生中心的坐标; 若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1,其顶点为A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2,其顶点为A2;,;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn,其顶点为An;(n为正整数).求AnAn+1的长(用含n的式子表示). (备用图),解析 (1)-4;(-2,1);y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5). (2)易知抛物线y=-x2-2x+5的顶点坐标为(-1,6), 且点(-1,6)关于点(0,m)的对称点为(1,2m-6), 衍生抛物线的解析式为y=

43、(x-1)2+2m-6. 由y=-(x+1)2+6,y=(x-1)2+2m-6,y=y, 得x2+m-5=0,即x2=5-m. 当5-m0,即m5时,方程有解. m的取值范围为m5. (3)抛物线y=ax2+2ax-b的顶点为(-1,-a-b), 抛物线y=bx2-2bx+a2的顶点为(1,-b+a2), 由两抛物线的交点恰好是它们的顶点, 得a2-3a=0,a2+a+4b=0, 解得a1=0,b1=0(舍去),a2=3,b2=-3.,抛物线y的顶点为(-1,0),抛物线y的顶点为(1,12). 两抛物线的衍生中心坐标为(0,6). y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b, y1=-a

44、(x-1)2+2k+2+a+b,顶点A1为(1,2k+2+a+b), y2=-a(x-1)2+2k+8+a+b,顶点A2为(1,2k+8+a+b), yn=-a(x-1)2+2k+2n2+a+b,顶点An为(1,2k+2n2+a+b), yn+1=-a(x-1)2+2k+2(n+1)2+a+b,顶点An+1为(1,2k+2(n+1)2+a+b), AnAn+1=2k+2(n+1)2+a+b-(2k+2n2+a+b)=2(n+1)2-2n2=4n+2.,思路分析 (1)将(-1,0)代入抛物线y=-x2+bx-3求得b的值,将抛物线解析式配方得出顶点坐标,先求出顶点坐 标关于点(0,1)成中心对

45、称的对应点坐标,再根据开口方向相反求得该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物 线表达式;(2)首先确定抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线y,然后联立两个解析式得出x2=5-m,若这 两条抛物线有交点,则5-m0,从而得出m的取值范围;(3)先求出抛物线y=ax2+2ax-b(a0)的顶点(-1,-a-b), 抛物线y的衍生抛物线y=bx2-2bx+a2(b0)的顶点(1,-b+a2),依据两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点, 把(-1,-a-b)代入y=bx2-2bx+a2(b0),把(1,-b+a2)代入y=ax2+2ax-b(a0)得出a2+a+4b=0和a2-3

46、a=0,解得a和b的 值,进而得出衍生中心的坐标;先求出顶点A1,A2的坐标,进一步发现顶点An的坐标,根据顶点横坐标相同这 一特点求出AnAn+1的长.,方法指导 数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系,就是把抽象的数学语言、数量关系与直 观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即抽象思维与形象思维的结合,使 复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.,5.(2018重庆A卷,25,10分)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和 也为9,则称n为“极数”. (1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数

47、”是不是99的倍数,请说明理由; (2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)= .求满足D(m)是完全平方数的所有m.,解析 (1)4 158,6 237,9 900. (2分) 任意一个“极数”是99的倍数.理由:设任意一个“极数”n的千位数字为x,百位数字为y(其中1x9,0y 9,且x,y为整数),则十位上的数字为9-x,个位上的数字为9-y.则这个数可以表示为n=1 000x+100y+10(9-x)+9 -y. 化简,得n=990x+99y+99=99(10x+y+1). 1x9,0y9,且x,y为整数,10x+y+1为整

48、数. 任意一个“极数”都是99的倍数. (4分) (2)由(1)可知,设任意一个“极数”m的千位数字为x,百位数字为y(其中1x9,0y9,且x,y为整数),则 “极数”m可表示为m=99(10x+y+1). D(m)= =3(10x+y+1). (5分) 1x9,0y9, 1110x+y+1100.,333(10x+y+1)300. D(m)为完全平方数且D(m)是3的倍数, D(m)=36或81或144或225. (6分) 当D(m)=36时,得10x+y=11,解得x=1,y=1.此时,m=1 188. 当D(m)=81时,得10x+y=26,解得x=2,y=6.此时,m=2 673. 当D(m)