2020年福建中考数学复习课件§4.4　多边形与平行四边形.pptx

1、1.(2019福建,5,4分)已知正多边形的一个外角是36,则该正多边形的边数为 ( ) A.12 B.10 C.8 D.6,A组 20152019年福建中考题组,考点一 多边形,答案 B 设该正多边形的边数为n,则n= =10,故选B.,2.(2018福建,4,4分)一个n边形的内角和为360,则n等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B 根据n边形的内角和公式,得(n-2)180=360,可求得n=4.,3.(2016三明,4,4分)已知一个正多边形的一个外角为36,则这个正多边形的边数是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11,答案 C 多边形外角和为360,正多边形每

2、一个外角度数都相等,故正多边形的边数为36036=10.,4.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所 示,则AOB等于 度.,答案 108,解析 如图,正五边形中每一个内角都是108, OCD=ODC=180-108=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,1.(2016厦门,5,4分)如图,DE是ABC的中位线,过点C作CFBD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是 ( ),A.EF=CF B.EF=DE C.CFDE,考点二 平行四边形,答案 B DE是ABC的中位线,DEBC,DE= B

3、C,又CFBD,四边形BCFD是平行四边形,DF =BC,DE= DF,DE=EF.,2.(2016泉州,17,4分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,E是AD中点,EFBC于点F,BC=5,EF=3. (1)若AB=DC,则四边形ABCD的面积S= ; (2)若ABDC,则此时四边形ABCD的面积S S(用“”或“=”或“”填空).,答案 (1)15 (2)=,解析 (1)AB=DC,ABDC, 四边形ABCD是平行四边形, 四边形ABCD的面积S=53=15, 故答案为15. (2)如图,连接EC,BE,延长CD、BE交于点P, E是AD的中点, AE=DE,又ABCD, ABE=P,A

4、=PDE, 在ABE和DPE中, ABEDPE(AAS), SABE=SDPE,BE=PE, SBCE=SPCE, 则S四边形ABCD=SABE+SCDE+SBCE =SPDE+SCDE+SBCE =SPCE+SBCE =2SBCE,=2 BCEF =15, 当ABDC时,四边形ABCD的面积S=S.,3.(2018福建,18,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证: OE=OF.,证明 四边形ABCD是平行四边形, OD=OB,ADBC, ODE=OBF. 又DOE=BOF, DOEBOF, OE=OF.,解后反思 本题考查平行四边

5、形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.,4.(2016泉州,26,13分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,A=C,点P在边AB上. (1)判断四边形ABCD的形状并加以证明; (2)若AB=AD,以过点P的直线为轴,将四边形ABCD折叠,使点B、C分别落在点B、C上,且BC经过点D,折痕 与四边形的另一交点为Q. 在图2中作出四边形PBCQ(保留作图痕迹,不必说明作法和理由); 如果C=60,那么 为何值时,BPAB?,解析 (1)四边形ABCD是平行四边形.理由如下: ADBC, A+B=180. 又A=C, B+C=180, ABDC, 四边形ABCD是平行四边形.

6、(两组对边分别平行的四边形是平行四边形) (2)如图,四边形PBCQ即为所求.,过点B作BHAD于H,设BP与AD相交于点E. C=60,A=C=60,PBC=120. BPAB,1=2=30, PBD=PBC=120, 3=30=2,BE=BD, DE=2EH. 设AP=a,PB=b,则PB=PB=b.,在RtAPE中,A=60, PE= a,AE=2a. BE=BP-PE=b- a. 在RtBEH中,EH=BEcos 30= (b- a), 又AB=AD=AE+DE=AE+2EH, a+b=2a+2 (b- a), ( -1)b=2a, = ,即 = . 当 = 时,BPAB.,1.(20

7、19河北,1,3分)下列图形为正多边形的是 ( ),B组 20152019年全国中考题组,考点一 多边形,答案 D 正多边形的各边相等,各角相等,故选D.,2.(2019北京,3,2分)正十边形的外角和为 ( ) A.180 B.360 C.720 D.1 440,答案 B 任何凸多边形的外角和都为360.故选B.,3.(2016北京,4,3分)内角和为540的多边形是 ( ),答案 C 设边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以该多边形为五边形,故选C.,4.(2019陕西,12,3分)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为 .,答案 6,解析 连接正

8、六边形的中心和各个顶点,可得6个小正三角形,显然正六边形较长的一条对角线长为小正三 角形边长的2倍,即较长的一条对角线长为6.,5.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融, 形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则1 +2+3+4+5= 度. 图1,图2,答案 360,解析 任意n(n3)边形的外角和为360,图中五条线段组成五边形,1+2+3+4+5=360.,6.(2017陕西,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=BCD=90,连接AC,若AC=6,则

9、四边形ABCD 的面积为 .,答案 18,解析 过点A作AEAC交CD的延长线于点E,易知EAD=CAB.BAD=BCD=90,ADC+ABC =180.又ADE+ADC=180,EDA=CBA,又AD=AB,AEDACB,AE=AC=6,四边形ABCD 的面积等于ACE的面积,故S四边形ABCD= ACAE= 66=18.,一题多解 本题也可以用旋转的方法作图.以点A为旋转中心,把ACB逆时针旋转90至AED的位置,则 AEDACB,EDA=B,AE=AC,根据DAB=DCB=90,得到ADC+B=180,即EDA+ADC=1 80,故E,D,C三点在同一条直线上,故ACE是等腰直角三角形,

10、接下来同上.,7.(2015河北,19,3分)平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一 起,如图,则3+1-2= .,答案 24,解析 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数分别为60、90、108、120,由题图 可知3=90-60=30,1=120-108=12,2=108-90=18,所以3+1-2=30+12-18=24.,8.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC为内角作正 多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案. 例如:若以BPC为内角,可作出

11、一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而 =45是360(多边形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示. 图2中的图案外轮廓周长是 ; 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是 . 图1,图2,答案 14;21,解析 题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的正方形组成,且三个正多边形三边相 连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然以APB,APC为内角的 两个正多边形的边数越多(即以BPC为内角的正多边形的边数越少),会标的外轮廓周长越大.

12、当以BPC 为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两 个正多边形均为正十二边形,会标的外轮廓周长为10+10+1=21.,1.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6.若点E、F分别在AB、CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G、 H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为 ( ) A.1 B. C.2 D.4,考点二 平行四边形,答案 C 在矩形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=3, BE=2AE,E是AB的三等分点(靠近点A), G是AC的三等分点(靠近点A), EGBC且EG= BC=2

13、. 同理可得HFAD且HF= AD=2. 四边形EHFG为平行四边形. 又EG与HF间的距离为 AB, S四边形EHFG=2 AB=2.,思路分析 首先证明EGBC,EG= BC,同理可得FHAD,FH= AD,进而可得四边形EHFG为平行四边形, 然后求出平行四边形的底和高即可得解.,2.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为 ( ) A.66 B.104 C.114 D.124,答案 C 设AB与CD相交于点P,由折叠知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB, CAB=CAB= 1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,

14、 B=180-22-44=114.,评析 折叠问题是中考中的常见题目,在解决这类问题时,要抓住折叠前后图形的变化特征,从某种意义上 说,折叠问题其实就是轴对称问题.,3.(2018呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从ABCD;BC=AD;A =C;B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有 ( ) A.5种 B.4种 C.3种 D.1种,答案 C 能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有、,共三种.故选C.,4.(2018陕西,14,3分)如图,点O是ABCD的对称中心,ADAB,E、F是AB边上的点,

15、且EF= AB;G、H是BC边 上的点,且GH= BC.若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是 .,答案 2S1=3S2,解析 如图,连接AC,BD,交点为O,四边形ABCD为平行四边形, AO=OC, SABO=SOBC, EF= AB, S1= SABO, GH= BC, S2= SOBC,所以2S1=3S2.,5.(2017四川成都,14,4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:以A为圆心,任意长为半径作弧,分 别交AB,AD于点M,N;分别以M,N为圆心,以大于 MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;作射线AP,交边 CD于点Q,若DQ=2QC

16、,BC=3,则平行四边形ABCD的周长为 .,答案 15,解析 由作图知AQ平分DAB,在ABCD中,ABCD,所以DAQ=BAQ=DQA,所以DQ=DA=BC=3.因 为DQ=2QC,所以DC=4.5.所以平行四边形ABCD的周长为2(4.5+3)=15.,6.(2016内蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点, 一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为 .,答案 (-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析 因为ABx轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为ABCD

17、是中心对称图形,其对称 中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2,-b).,7.(2019贵州贵阳,18,10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD. (1)求证:四边形BCED是平行四边形; (2)若DA=DB=2,cos A= ,求点B到点E的距离.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, 又点E在AD的延长线上,且DE=AD, DEBC,DE=BC, 四边形BCED是平行四边形. (2)DA=DB=2,且四边形ABCD是平行四边形, DA=DB=BC=2, 由(1)知四

18、边形BCED是平行四边形, 四边形BCED是菱形. 连接BE,易知BEDC,BEAB, 在RtABE中,AE=2DA=4,cos A= , AB=AEcos A=4 =1,BE= = , BE= .,1.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,连接BD,则CBD的度数是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90,C组 教师专用题组,考点一 多边形,答案 A 在正六边形ABCDEF中,BCD= =120,BC=CD,CBD= (180-120)=30,故 选A.,思路分析 根据正六边形的内角和求得BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果.,2.(2019

19、云南,9,4分)一个十二边形的内角和等于 ( ) A.2 160 B.2 080 C.1 980 D.1 800,答案 D 根据多边形的内角和公式(n-2)180,可得十二边形的内角和等于(12-2)180=1 800.故选D.,3.(2017辽宁沈阳,10,2分)正六边形ABCDEF内接于O,正六边形的周长是12,则O的半径是 ( ) A. B.2 C.2 D.2,答案 B 由正六边形的周长是12,可得BC=2,连接OB、OC,则BOC= =60,所以BOC为等边三角 形,所以OB=BC=2,即O的半径为2,故选B.,4.(2016江苏南京,5,2分)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半

20、径为 ( ) A.1 B. C.2 D.2,答案 B 正六边形一条边的两个端点与其内切圆圆心的连线及这条边构成一个等边三角形,正六边形的 内切圆半径即为这个等边三角形的高,所以内切圆半径=2sin 60= ,故选B.,5.(2016四川南充,10,3分)如图,正五边形ABCDE的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相 交于点M,N.给出下列结论: AME=108;AN2=AMAD;MN=3- ;SEBC=2 -1.其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 如图,五边形ABCDE是正五边形,AB=EA=DE,EAB=DEA=108,EABD

21、EA, AEB=EDA,AME=MED+EDA,AME=MED+AEB=DEA=108,故正确; 易得1=2=4=5=36,3=36,6=AEN=72,AE=AN,1=1,AED=AME=108, AEMADE, = ,AE2=AMAD,AN2=AMAD,故正确; 设AM=x,则AD=AM+MD=x+2,由得22=x(x+2),解得x1= -1,x2=- -1(不合题意,舍去),AD= -1+2= + 1,MN=AN-AM=3- ,故正确; 作EHBC于点H,则BH= BC=1,EB=AD= +1,EH= = ,SEBC= BCEH= 2 = ,故错误.故选C.,评析 本题考查了正五边形的性质

22、、相似多边形的判定及性质、勾股定理等知识.,6.(2015安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,则一定有 ( ) A.ADE=20 B.ADE=30 C.ADE= ADC D.ADE= ADC,答案 D 由三角形内角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四边形内角和为360,A=B= C,得ADC=360-3A,所以ADE= ADC,故选D.,评析 本题考查了三角形和四边形的内角和定理,难点在于借助A来判断ADE和ADC之间的数量关 系,属于基础题.,7.(2018贵州贵阳,13,4分)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,B

23、C上的点,且AM=BN,点O是正五边 形的中心,则MON的度数是 度.,答案 72,解析 解法一:连接OA,OB,O为正五边形ABCDE的中心, OAM=OBN,又OA=OB,AM=BN,OAMOBN,AOM=BON,MON=AOB= =72 . 解法二:特殊位置法,当OMAB,ONBC时,MON=180-B=72.,解法三:作OPAB,OQBC,如图所示. 易证RtOPMRtOQN,则POM=QON, MON=POQ=180-B=72.,8.(2017上海,18,4分)我们规定:一个正n边形(n为整数,n4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这 个正n边形的“特征值”,记为n,那么6=

24、.,答案,解析 如图,在正六边形ABCDEF中,AD为最长对角线,AE为最短对角线,可求得EAD=30,AED=90, =cos 30= ,6= .,思路分析 确定最长及最短对角线,构造直角三角形,利用锐角三角函数求 ,即6.,一题多解 如图,设正六边形ABCDEF的边长为1,可求得AE= ,AD=2, = ,即6= .,9.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则AFE的度数为 .,答案 72,解析 五边形ABCDE是正五边形, EAB=ABC= =108, BA=BC,BAC=BCA=36, 同理可得ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36

25、=72.,10.(2015天津,17,3分)如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星. 记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L,M,则图中等边三角形共有 个.,答案 8,解析 题图中的等边三角形可分为两大类:第一类:分别以B,A,F,E,D,C为顶点的小等边三角形,有BHM, AML,FLK,EKJ,DJI,CIH,共6个; 第二类:分别以B,F,D和A,C,E为顶点的大等边三角形,有BFD和ACE,共2个. 故题图中等边三角形共有6+2=8(个).,11.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同

26、学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由; (2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析 (1)甲对,乙不对. (2分) =360,(n-2)180=360. 解得n=4. (3分) =630,(n-2)180=630,解得n= . n为整数,不能取630. (5分) (2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180. (7分) 解得x=2. (9分),评析 本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一起的题目,解题的关键是熟练掌握多边形 的内角和公式,以及隐含的一个重要条件多

27、边形的边数是不小于3的正整数,另外,还要知道一个常识性 的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180.,12.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请 ,分别按下列要求画图. (1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形; (2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.,解析 (1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考),(3分) (2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可),(6分),13.(2015浙江温州,20,8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何 计算它的面积?奥地利数学家皮克(G.Pick,

28、18591942)证明了格点多边形的面积公式:S=a+ b-1,其中a表 示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图1,a=4,b=6,S=4+ 6-1=6. (1)请在图2中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积; (2)请在图3中画一个格点三角形,使它的面积为 ,且每条边上除顶点外无其他格点. 图1,图2 图3,解析 (1)画法不唯一,如图或图. (2)画法不唯一,如图,图等.,1.(2018乌鲁木齐,7,4分)如图,在ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则BEF与DCB的面积比为 ( ) A. B. C. D.,考点二 平行四

29、边形,答案 D 四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点, = = , = , = , = .,2.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中, 得出四边形AECF一定为平 行四边形的是 ( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF,答案 B 当BE=DF时,如图1, 易证AFDCEB,ABECDF, 从而AF=CE,AE=CF, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意; 当AFCE时,如图1, 则AFE=CEF,从而AFD=CEB, 又因为ADF=CBE,AD=BC, 所以AFDCEB,则AF=CE, 所以四边形

30、AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 当BAE=DCF时,如图1,易证ABECDF, 可得AEB=CFD,AE=CF, 所以AEF=CFE,所以AECF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意;,如图2,其中AE=CF, 但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意. 图1 图2,思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,3.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:以点O为 圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两 弧在A

31、OB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为 ( ) A.( -1,2) B.( ,2) C.(3- ,2) D.( -2,2),答案 A 如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO= = , 由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=AO= ,HG=AG-AH= -1, 点G的坐标为( -1,2).故选A.,4.(2019湖北武汉,14,3分)如图,在ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,ADF=90,BCD=63,则 ADE的大小是 .,答案 21,解析 设ADE=x,AE=EF,ADF=90,DE=

32、AE=EF. DAE=x.DEC=2x. 又AE=EF=CD,DC=DE.DCE=2x. ADBC,BCA=DAE=x. BCD=3x=63.x=21.即ADE=21.,5.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,A=30,AD=4 ,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于 .,答案 16 或8,解析 当ABD为锐角时,过D点作DEAB于点E.如图1. 图1 在RtADE中,A=30,AD=4 , DE= AD= 4 =2 , AE= AD= 4 =6. 在RtBDE中,由勾股定理得BE= = =2, AB=AE+BE=6+2=8,SABCD=ABDE=82 =16 . 当ABD为

33、钝角时,如图2,同理可得DE=2 ,AE=6,BE=2, 图2 AB=AE-BE=6-2=4, SABCD=ABDE=42 =8 . 综上所述,平行四边形ABCD的面积为16 或8 .,方法点拨 本题的难点在于平行四边形形状的不确定性.根据平行四边形的面积公式,需要知道平行四边 形的一边长及该边上的高,高线可能在平行四边形的内部,也可能在外部,进而画出图形,其他问题便迎刃而 解了.,6.(2017内蒙古呼和浩特,15,3分)如图,在ABCD中,B=30,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的 垂线分别交边AD,BC于点E,F;点M是边AB上靠近点B的一个三等分点.则AOE与BMF的面

34、积比为 .,答案 34,解析 如图,过点M作MPBC于点P,过点A作AQBC于点Q, 在平行四边形ABCD中,O是两条对角线的交点, AOECOF. B=30,AB=AC, ACB=B=30. ACEF, 在RtOFC中,设OF=x,则OC= x,FC=2x. SAOE=SOFC= OFOC= x2.,AB=AC=2OC=2 x, 在RtABQ中,BQ=3x, BC=6x. BF=4x. 点M是边AB上靠近点B的一个三等分点, MB= x. 在RtBMP中,MP= MB= x, SBMF= BFMP= x2. SAOESBMF=34.,7.(2016宁夏,13,3分)在平行四边形ABCD中,B

35、AD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的 周长是16,则EC等于 .,答案 2,解析 在ABCD中,ADBC, DAE=AEB. AE平分BAD, BAE=DAE, BAE=AEB. AB=BE=3.BC= (16-2AB)=5.EC=BC-BE=2.,8.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用 分别按下 列要求画图(保留画图痕迹). (1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线; (2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高.,解析 画法如图. (1)AF即为所求. (2)BF即为所求.,9.(20

36、18贵州贵阳,20,10分)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE 对称,AE与AF关于AG对称. (1)求证:AEF是等边三角形; (2)若AB=2,求AFD的面积.,解析 (1)证明:AE是BC边上的高, AEB=90. 四边形ABCD是平行四边形, ADBC, EAD=AEB=90, AED是直角三角形. F是ED的中点, AF=EF=FD. AE与AF关于AG对称, AE=AF, AE=AF=EF, AEF是等边三角形. (2)由(1)知AEF是等边三角形,EFA=EAF=AEF=60. 又AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称,

37、 BAE=GAE=GAF=30,AGEF,设垂足为点N, B=90-BAE=60. 在RtABE中,AE=ABsin B= ,FD=AE= . 在RtAEN中,AN=AEsinAEN= , SAFD= FDAN= = .,10.(2016陕西,19,7分)如图,在ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF =DE,连接AF、CE.求证:AFCE. 证明 如图,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC. 1=2. (2分) 又BF=DE, BF+BD=DE+BD.DF=BE. (4分) ADFCBE. (5分) AFD=CEB. AFCE. (7分)

38、,11.(2016湖南长沙,22,8分)如图,AC是ABCD的对角线,BAC=DAC. (1)求证:AB=BC; (2)若AB=2,AC=2 ,求ABCD的面积.,解析 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,DAC=BCA,又BAC=DAC,BAC= BCA,AB=BC. (2)连接BD交AC于O,AB=BC,且四边形ABCD为平行四边形, 四边形ABCD为菱形,ACBD,BO2+OA2=AB2, 即BO2+ =22,BO=1,BD=2BO=2, SABCD= BDAC= 22 =2 .,12.(2016江苏南京,24,7分)如图,在ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使F

39、BC=DCE. (1)求证:D=F; (2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使BPCCDP(保留作图的痕迹,不写作法).,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC.CED=BCF. CED+DCE+D=180,BCF+FBC+F=180, D=180-CED-DCE,F=180-BCF-FBC. 又DCE=FBC,D=F. (2),图中P就是所求作的点.,13.(2016吉林,19,7分)图,图都是88的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长 均为1,在每个正方形网格中标注了6个格点,这6个格点简称为标注点. (1)请在图,图中,以4个标注点为顶点,各画一个

40、平行四边形(两个平行四边形不全等); (2)图中所画的平行四边形的面积为 .,解析 (1)本题答案不唯一,以下答案供参考. (3分),(5分) 友情提示:图中所画的平行四边形与图中所画的平行四边形全等,图不给分. (2)6. (7分),14.(2015河北,22,10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先 用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.,已知:如图,在四边形ABCD中, BC=AD, AB= . 求证:四边形ABCD是 四边形. (1)在方框中填空,以补全已知和求证; (2)按嘉淇的想法写出证明;,证明: (3)用文字叙

41、述所证命题的逆命题为 .,解析 (1)CD. (1分) 平行. (2分) (2)证明:连接BD. (3分) 在ABD和CDB中, AB=CD,AD=CB,BD=DB, ABDCDB. (5分) 1=2,3=4, ABCD,ADCB. (7分),四边形ABCD是平行四边形. (8分) (3)平行四边形的对边相等. (10分),15.(2018重庆,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接 EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G. (1)若AH=3,HE=1,求ABE的面积; (2)若ACB=45,求证:D

42、F= CG.,解析 (1)AH=3,HE=1,AB=AE, AB=AE=AH+HE=4. BGAE, AHB=90. AB2=AH2+BH2. BH= = = . SABE= AEBH= 4 =2 . (4分) (2)证明:四边形ABCD为平行四边形, ADBC,AD=BC,FAO=ECO. 点O为AC的中点,AO=CO. 在AOF和COE中, FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE,AOFCOE, AF=CE. DF=BE. (6分) 如图,过点A作AMBC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GNBC交BC于点N. AMB=AME=GNC=GNB=90. AHB=AMB.,AQH=BQM

43、,QAH=GBN. AB=AE,AMBE, BAM=QAH,BM=ME. BAM=QAH=GBN. ACB=45,AMBE,CAM=ACB=45. BAG=45+BAM,BGA=45+GBN, BAG=BGA. AB=GB. AB=AE,AE=BG. 在AME和BNG中, AME=BNG,EAM=GBN,AE=BG, AMEBNG. ME=NG.,BE=2ME=2NG. 在RtGNC中,GCN=45, CG= NG. CG=2NG,即BE=2NG= CG. DF=BE= CG. (10分),思路分析 (1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得ABE的面积;(2)根据平行四边

44、形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AMBC,过点G作GNBC,根据等腰三角形的性质得BAM= QAH,BM=ME= BE,通过求证BAM=GBN,可得BAG=BGA,进而可得AB=AE=BG,利用AME BNG,得出NG=ME= BE,最后利用CG= NG得出DF=BE= CG.,方法指导 对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质找出证全等所 需要的边或角的相等关系,从而进行证明.,16.(2018云南,23,12分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的点,AF=AD+FC.平行四 边形ABCD的面积为S,由A、E、F三点确定

45、的圆的周长为l. (1)若ABE的面积为30,直接写出S的值; (2)求证:AE平分DAF; (3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求l的值.,解析 (1)60. (3分) (2)证明:延长AE,与BC的延长线交于点H. 四边形ABCD是平行四边形, ADBC. ADE=HCE,DAE=CHE. (4分) 点E为CD的中点, ED=EC. ADEHCE. AD=HC,AE=HE. AD+FC=HC+FC. 由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH. FAE=CHE. (6分) 又DAE=CHE,DAE=FAE, AE平分DAF. (7分) (3)连接EF. AE=BE,AE=HE, AE=BE=HE. BAE=ABE,HBE=BHE. 由(2)知DAE=CHE, BAE+DAE=ABE+HBE,即DAB=CBA. 由四边形ABCD是平行四边形得DAB+CBA=180,