浙江省高二上学期数学期中联考试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD2已知 是虚数单位，若，则（）ABCD3若经过，两点的直线的倾斜角为 45，则等于（）A2B1C-1D-24已知 ，是两条不同的直线，为两个不同平面，则下面四个命题中，正确的命题是（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 5“直线与直线垂直”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知函数，为了得到函数的图象只需将的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位7已知在正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成角

2、为，二面角的平面角为，则下列说法正确的是（）ABCD8在坐标平面上有一运动着的梯形，该梯形在运动过程中始终满足，则原点到直线的最短距离为（）ABCD二、多选题二、多选题9已知向量，下列结论正确的是（）ABC与的夹角为 45D在上的投影向量10甲袋中有 5 个红球 15 个白球，乙袋中有 5 个红球 5 个白球，从两袋中各摸出一个球.下列结论正确的是（）A2 个球都是红球的概率为B2 个球不都是红球的概率为C至少有 1 个红球的概率为D2 个球中恰有 1 个红球的概率为11下列四个选项中的多边形均为正多边形，为椭圆的两个焦点，椭圆与正多边形的交点为正多边形各边中点.则离心率大于 0.7 的椭圆有

3、（）ABCD12如图，在菱形中，为的中点，将沿翻折成，接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）AB与的夹角为定值C三棱锥体积最大值为D线段的轨迹是圆锥的侧面三、填空题三、填空题13已知双曲线：，则双曲线的离心率为 .14已知函数为偶函数，则的值为 .15已知抛物线：，为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆始终与直线相切，则圆过定点 .16已知椭圆的方程为，椭圆上存在一点使得，则实数的最大值为 .四、解答题四、解答题17在中，角，所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.18已知圆的圆心坐标为，且点在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆相交于两点，当变化时，线段的

4、最小值为 6，求的值.19新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为 100 分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有 2200 人.（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；（2）从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数中位数和平均数（精确到 0.1）.20如图，在三棱柱中，点在平面内的射影为线段的中点，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面的所成角的正弦值.21已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.（1）求抛物线的方程；（2）求的值；（3）如图，过点的直线交抛物线于，两点（点

5、，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，求的取值范围.22已知函数（1）求函数的值域与单调区间（不需要证明）；（2）存在正实数，满足且，求的取值范围；（3）若，函数，求的最小值.答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】由已知，又则.故答案为：B【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出 x 的取值范围，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。2【答案】C【解析】【解答】因为，所以，故答案为：C【分析】根据复数的乘除运算法则进行计算，可得答案.3【答案】D【解析】【解答】因为经过，两点的直线的倾斜角为，所以，解得.故答案为：D.【分析】由两点的坐标得到直线 AB

6、 的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得 m 的值.4【答案】D【解析】【解答】解：若 ，则 或 ，A 错误；若 ，则或 l 在平面 外，B 错误；若 ，则/或 与 相交，C 错误；若，由垂直与平行的性质可知 ，D 正确.故答案为：D【分析】根据直线、平面之间的位置关系逐项判断.5【答案】B【解析】【解答】解：直线与直线垂直，解得或，经检验或时，直线与直线垂直，根据充分、必要条件的定义可得，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件故答案为：B.【分析】由两直线垂直的充要条件可得或，根据充分、必要条件的定义可得答案.6【答案】A【解析】【解答】解：因为所以，只需将 f(x)的图象向左平移个单位，

7、故答案为：A.【分析】先根据诱导公式将函数 化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案.7【答案】C【解析】【解答】如图所示连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO，取 BC 的中点 M 连接 PM，OM，过点 C 作于 N，连接 AN.PO底面 ABCD，侧棱与底面所成的角，即为，在中 PA=3，AO=，则.OMBC，PMBC，侧面与底面所成的角 即为，在中，.，CNPD，ANPD，相邻两侧面的二面角即为，在中，则，则，A，B 不符合题意，又，C 符合题意，D 不符合题意，故答案为：C.【分析】连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO，取 BC 的中点 M 连接 PM，OM，过

8、点 C 作于 N，连接 AN，则 PO底面 ABCD，侧棱与底面所成的角，即为，侧面与底面所成的角 即为，相邻两侧面的二面角即为，利用余弦定理比较大小，可得答案.8【答案】B【解析】【解答】以 AB 所在的直线为轴，垂直平分线段 AB 为轴，建立如下图所示的平面直角坐标系.可知椭圆方程为，直线所在的直线方程为.设椭圆上的点，则此点到直线直线的距离：，当时距离最小，所以点到直线的最短距离为.故答案为：B.【分析】根据运动的相对性，不妨设原点 O 在运动，梯形静止，则可知原点 O 运动轨迹是椭圆，通过建立平面直角坐标系，再用点到直线的距离即可求解出原点到直线的最短距离.9【答案】A,B,D【解析】

9、【解答】，对于 A：，A 符合题意；对于 B：，B 符合题意；对于 C：，所以，C 不符合题意；对于 D：在上的投影向量，D 符合题意；故答案为：ABD【分析】根据已知条件，由模长公式判断 A；由数量积公式判断 B；由夹角公式判断 C；由投影向量判断D.10【答案】A,C【解析】【解答】令从甲袋中、乙袋中摸出一个红球的事件分别为 A，B，事件相互 A，B 独立，则，对于 A，2 个球都是红球的事件为 AB，则，A 符合题意；对于 B，2 个球不都是红球的事件的对立事件为 AB，则概率为，B 不正确；对于 C，至少有 1 个红球的事件的对立事件为，则概率为，C 符合题意；对于 D，2 个球中恰有

10、 1 个红球的事件为，则概率为，D不正确.故答案为：AC【分析】分别求出从甲袋中、乙袋中摸出一个红球的概率，再根据相互独立事件及对立事件的概率公式，逐项进行判断，可得答案.11【答案】A,C,D【解析】【解答】设，对于 A，又，离心率，A 对，对于 B，又，离心率，B 不符合题意，对于 C，又，离心率，C 对，对于 D，设坐标原点为 O，则，又，又，离心率，又D 对，故答案为：ACD.【分析】设，由已知条件计算出，根据椭圆定义求出 2a，由此可求出椭圆的离心率，逐项进行判断，可得答案.12【答案】A,B,D【解析】【解答】如图，对于 A，因为在菱形中，所以是等边三角形，又因为为的中点，所以，故

11、.又因为平面，所以平面，因为平面，所以，A 符合题意；对于 B，取中点，由三角形中位线定理知，所以与的夹角即为与的夹角，在菱形中，因为和的两边方向相同，则由等角定理知，在中由余弦定理得，得，因为，所以，由于空间中两直线夹角范围为，所以与的夹角为，即与的夹角为，B 符合题意；对于 C，由题意可知当平面平面时三棱锥的体积最大，由 A 选项已证知此时平面，所以棱锥体积最大时高为，底面积，所以三棱锥最大体积为，C 不符合题意；对于 D，取的中点，连接，由 B 可知，在翻折中，都为为定值，故线段的轨迹是以为高，为底面圆半径的圆锥的侧面，D 符合题意.【分析】利用平面几何知识结合直线与平面垂直的判定定理和

12、性质定理，判断 A；由三角形中位线定理结合余弦定理判断 B；由题意可知当平面平面时三棱锥的体积最大，再利用三棱锥的体积公式判断 C；取的中点，连接，得线段的轨迹是以为高，为底面圆半径的圆锥的侧面判断 D.13【答案】2【解析】【解答】由双曲线：可得，则，所以离心率.故答案为：2.【分析】求出双曲线的 a，b，c，由离心率公式，计算即可求得双曲线的离心率.14【答案】-1【解析】【解答】因为为偶函数，故.化简得.故.故答案为：-1.【分析】根据偶函数的定义进行求解，即可求出 的值.15【答案】（1，0）【解析】【解答】抛物线的准线为，焦点为 F（1，0），又为抛物线上的任意一点，P 到直线的距离

13、等于 P 到焦点 F 的距离，以为圆心的圆与直线相切，点 P 到直线的距离等于圆的半径，P 到焦点 F 的距离等于圆的半径，圆过定点（1，0），故答案为：（1，0）.【分析】先根据抛物线的标准方程表示出其准线方程，然后根据已知条件和抛物线的定义即可求解出 圆过定点的坐标.16【答案】2【解析】【解答】设，即点 P 的轨迹为以原点为圆心，2 为半径的圆，又点 P 在椭圆 C 上，圆与椭圆 C 有交点，实数的最大值为 2.故答案为：2【分析】由 求出点 P 的轨迹方程，由点 P 在椭圆 C 上，可得 b 的范围，由此求出实数的最大值.17【答案】（1）解：由正弦定理可得：，又（2）解：由得，且，.

14、所以的取值范围是【解析】【分析】（1）由正弦定理将角化边，再根据余弦定理求解可得出角的大小；（2）由（1）可知，且，则，根据正弦型三角函数的性质，求解可得 的取值范围.18【答案】（1）解：由题意得圆的标准方程为.（2）解：若，可知圆心到直线的距离为 4，而圆心到直线的距离，当时，线段的最小值为 6，此时，或.【解析】【分析】(1)由两点间的距离公式求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；(2)根据线段 AB 的最小值为 6，可知圆心到直线的距离为 4，利用点到直线的距离公式求解出 的值.19【答案】（1）解：有频率分布直方图知即，解得设总共调查了人，则，解得，即调查的总人数为 4000 人；（2

15、）解：最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，中位数位于区间，设中位数为，则，解得：，所以中位数为 82.9，所以估计本次考试成绩的中位数为 82.9.由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.020.040.140.200.350.25，所以，设平均数为，则【解析】【分析】(1)利用距形面积之和为 1 计算 a 的值，设出总人数，利用在 的居民有 2200 人，列出方程，求出所调查的总人数；(2)最高小恒形底边中点模坐标为众数，利用小距形面积之和为 0.5 求中位数，中间值作代表求解平均数.20【答案】（1）证明：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

16、.由题设可知与轴平行，轴在平面内.则，由，即，即又，平面，平面平面（2）解：设平面的法向量，则，即则，.，即令，则，即又设直线与平面所成角为则即直线与平面所成角的正弦值为【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积得出线线垂直关系，再由线面垂直的判定定理证得 平面；(2)求出平面的法向量，进而利用空间向量中的线面夹角公式进行计算，即可求出直线与平面的所成角的正弦值.21【答案】（1）解：因为抛物线：，焦点，所以，解得，所以抛物线：.（2）解：设直线的方程为，与抛物线联立得：，由韦达定理得，所以，所以（3）解：设，因为，所以直线：，即。同理：直线：。联立，解得。设直线的方程为：

17、，联立。因为，解得，因为，所以，化简得：。所以。因为，所以【解析】【分析】（1）根据题意得到，求出 p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线的方程为，与抛物线联立得：，再利用韦达定理求解可得 的值；（3）设，再利用韦达定理和，求解可得 的取值范围.22【答案】（1）解：作图函数的图象，如图所示：由图象可知的值域为单调增区间为，单调减区间为.（2）解：且，即，即（3）解：即与的图像分别是以和为顶点的开口向上的型线，且两条射线的斜率为.当时，此时，当时，此时，若，即时，；若，即时，；若，即时，；所以【解析】【分析】（1）作图函数的图象，观察图像可得函数的值域与单调区间；（2）由且 得 ，再利用基本不等式即可求出 的取值范围；（3）由题意，分类讨论即可求出 的最小值.