2.2 基本不等式 ppt课件（含3课时）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.zip

1、(1)学会推导并掌握基本不等式学会推导并掌握基本不等式;(2)理解基本不等式的几何意义理解基本不等式的几何意义;(3)掌握定理中的不等号掌握定理中的不等号“”取等取等号的条件是：当且仅当这两个数相号的条件是：当且仅当这两个数相等。等。赵爽赵爽:弦图弦图左图是北京召开的左图是北京召开的第第24届国际数学家届国际数学家大会的会标，会标大会的会标，会标是根据中国古代数是根据中国古代数学家赵爽的弦图设学家赵爽的弦图设计的。计的。ab问问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是是全等三角形，全等三角形，它们的面积是它们的面积是S=。问问1：在正方形在正方形ABCD中中,设设AF=a,BF=b

2、,则正方则正方形的面积为形的面积为S=。问问3：S与与S有什么样的关系？有什么样的关系？问题问题1：那么它们有相等那么它们有相等的情况吗？何时相等？的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为变为等腰直角等腰直角三角形，三角形，即即a=b时，正方形时，正方形EFGH缩为一个点，这时有缩为一个点，这时有 a=bu形的角度：形的角度：u数的角度：数的角度：当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，有，有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式问题问题2：当当a

3、,b为任意实数时，上式还成立吗？为任意实数时，上式还成立吗？(特别的特别的)如果如果 a0,b0,当且仅当当且仅当a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式aboABPQ对基本不等式的对基本不等式的几何意义几何意义作进一步探究作进一步探究:AB是圆是圆O的直径，的直径，Q是是AB上任一点，上任一点，AQ=a,BQ=b,过点过点Q作垂直于作垂直于AB的弦的弦PQ，连，连AP,BP,则则PQ=_,半径半径AO=_几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长。圆的半径不小于圆内半弦长。注意注意:(1)两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于不小于它们的它们的几何

4、几何平均数平均数。(2)两个正数的两个正数的等差中项等差中项不小于不小于它们的它们的等比中项等比中项。已知已知 都是正数，都是正数，求证：求证：.例例1:证明：证明：例例2:已知已知 都是正数，都是正数，求证：求证：.证明：证明：能否证明不等式：能否证明不等式：思考：思考：调和平均数调和平均数平方平均数平方平均数证明证明:平方平方平均数平均数算术算术平均数平均数几何几何平均数平均数调和调和平均数平均数练习练习:证明证明:证明证明:练习练习:证明证明:思考：思考：【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】两个重要的不等式：两个重要的不等式：(1)(2)(当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)(1

5、)进一步掌握基本不等式；进一步掌握基本不等式；(2)会会利用基本不等式利用基本不等式求某些函数求某些函数的最值的最值，注意等号成立的条件，注意等号成立的条件;(3)能够解决一些简单的实际问题能够解决一些简单的实际问题。基本不等式：基本不等式：基本不等式链：基本不等式链：例例1:(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)

6、m.当且仅当当且仅当x=y=10时时,等号成立等号成立.结论结论1：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。例例1:(2)用一段长为用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，当且仅当当且仅当x=y=9时时,等号成立等号成立.则则2(x+y)=36,x+y=18菜园的面积为菜园的面积为xy m2结论结论

7、2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。一、最值定理一、最值定理:若若x、y为正数，则为正数，则(1)当当x+y的值是常数的值是常数S时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，xy有有最大值最大值_；(2)当当xy的值是常数的值是常数P时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，x+y有有最小值最小值_。各项皆为各项皆为正数正数；和为和为定值定值或积为或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件。成立的条件。一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”和和定定积积最最大大，积积定定和和最最小小用最值定理求最值的三个用最值定理求最

8、值的三个条件条件:例例2:解解:设矩形长为设矩形长为x m，宽为，宽为y m总造价为总造价为W 元元练习练习1:x0，y0，xy=16，求，求 x+2y 的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x，y的值。的值。练习练习2:x0，y0，2x+3y=2，求，求 xy 的最大值，的最大值，并说明此时并说明此时x，y的值。的值。一正一正 二定二定 三相等三相等 练习练习1:x0，y0，xy=16，求，求 x+2y 的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x，y的值。的值。一正一正 二定二定 三相等三相等 练习练习2:x0，y0，2x+3y=2，求，求 xy 的最大值，的最大值，并说明此时并说明此时x

9、，y的值。的值。【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】1、两个重要的不等式：、两个重要的不等式：(1)(2)(当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)2、不等式的简单应用：主要在于求最值、不等式的简单应用：主要在于求最值把握把握“七字方针七字方针”即即“一正，二定，三等一正，二定，三等”。(1)进一步掌握基本不等式；进一步掌握基本不等式；(2)会会利用基本不等式利用基本不等式求某些函数求某些函数的最值的最值，注意等号成立的条件。，注意等号成立的条件。基本不等式：基本不等式：基本不等式链：基本不等式链：一、最值定理一、最值定理:若若x、y皆为正数，则皆为正数，则(1)当当x+y的值是常数的值是

10、常数S时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，xy有有最大值最大值_；(2)当当xy的值是常数的值是常数P时，当且仅当时，当且仅当x=y时，时，x+y有有最小值最小值_。各项皆为各项皆为正数正数；和为定值或积为和为定值或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件。成立的条件。一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”和和定定积积最最大大，积积定定和和最最小小用最值定理求最值的三个用最值定理求最值的三个条件条件:例例1：变式变式1：变式变式2：例例2：变式变式1：变式变式2：例例3：例例4：练习练习1:练习练习2:练习练习1:练习练习2:【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】1、两个重要的不等式：、两个重要的不等式：(1)(2)(当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)2、不等式的简单应用：主要在于求最值、不等式的简单应用：主要在于求最值把握把握“七字方针七字方针”即即“一正，二定，三等一正，二定，三等”。