1、第十讲 函数图像第十讲 函数图像一、知识点详解一、知识点详解知识点1 函数作图1、列表,描点法-其基本步骤是列表、描点、连线首先:确定函数定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性等);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);最后:描点,连线2、利用图像平移变换作图 (1)平移变化水平平移:)0)(aaxfy的图象,由)(xfy 的图象向左或向右平移a个单位得到上下平移)0()(bbxfy的图象,由)(xfy 的图象向上或向下平移b个单位得到(2)对称变换)(xfy与)(xfy 的图象关于y轴对称)(xfy与)(xfy 的图象关于x轴对称)(xfy与
2、)(xfy 的图象关于原点对称要得到|)(|xfy 的图象,将)(xfy 的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变要得到|)(|xfy 的图象,可将)(xfy,0 x的部分作出,再利用偶函数的图象关于y轴的对称性,作出0 x时的图象(3)伸缩变换)0)(AxAfy的图象,可将)(xfy 图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到)0)(aaxfy的图象,可将)(xfy 图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍,纵坐标不变而得到知识点2 利用函数图像解决函数问题1、利用函数图像,观察函数单调性与函数最值2、利用函数图像,观察函数是否奇偶性3、利用函数图像,转化交点问
3、题4、利用函数图像,实现数形结合思想二、例题解析二、例题解析例例 1:列表描点作图:列表描点作图(1)函数|1yx的图象大致是()ABCD【答案】C【解析】解:对于函数|1yx,满足()|1|1()fxxxf x ,故函数为偶函数,函数|1yx的图象关于y轴对称,排除A,函数|yx的图象为:又因为函数|1yx的图象是由函数|yx的图象上移 1 个单位C的图象符合,(2)函数1yxx的图象是()ABCD【答案】A【解析】解:函数1yxx是由函数yx和1yx的和函数,故函数函数1yxx在区间(,0)和(0,)上都单调递增;分析四个答案中的图象易得只有A中的图象符合要求;(3)当1a 时,在同一坐标
4、系中,函数xya与logayx的图象()ABCD【答案】A【解析】解:函数xya可化为函数1()xya,其底数小于 1,是减函数,又logayx,当1a 时是增函数,两个函数是一增一减,前减后增(4)已知函数2,1()3,1xx xf xxx(1)在下面的坐标系中,作出函数()f x的图象并写出单调区间;(2)若)(af2,求实数a的值【解析】解:(1)做出()f x的函数图象如图所示:由图象得()f x的增区间为1(2,1,(1,),减区间为(,12(2)f2)(af,212aaa或132aa解得1a 或5a(5)画出下列函数图像作出下列函数的图象:(1)12xxy;(2)1)21(xy;(
5、3)1log2xy;(4))1.(2xxy【答案】略【解析】(1)易知函数的定义域为1xRx;13112xxxy,因此由xy3的图象向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度即可得到函数12xxy的图象,如图所示(2)先作出,0,21xyx的图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移 1 个单位长度,即得到1)21(xy的图象,如图所示(3)先作出xy2log的图象,再将图象向下平移 1 个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方来,即得到1log2xy的图象,如图所示(4)当2x,49)21(2)1)(2(22xxxxxy当2x时,49)21(2)1
6、)(2(22xxxxxy这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)例 2:利用平移变换作图(1)若函数()yf x的图象如图所示,则函数(1)yfx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解:因为从函数()yf x到函数(1)yfx的平移变换规律是:先关于y轴对称得到()yfx,再整体向右平移 1 个单位即可得到即图象变换规律是:(2)函数()|1|f xlg x的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】解:函数(1),1(|1|)(1),1lg xxylgxlgxx ,当1x 时,(1)ylg x的图象,是函数ylgx的图象向左平移 1 个单位得到的;当1x 时,(1)yl
7、gx 的图象,与函数(1)ylg x的图象关于直线1x 对称,函数(|1|)ylgx的大致图象是A(3)函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx图象关于下列哪条直线对称()A3x B1x C1x D3x 【答案】A【解析】解:函数()yf xa的图象与函数()yf bx的图象关于直线2abx对称,故函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx的图象关于直线4232x对称,例例 3:利用图形解决函数问题:利用图形解决函数问题【题干】【题干】(1)若方程()20f x 在(,0)内有解,则()yf x的图象是()ABCD【答案】D【解析】解:A:与直线2y 的交点是(0,2),不符合题意,故不正确
8、;B:与直线2y 的无交点,不符合题意,故不正确;C:与直线2y 的在区间(0,)上有交点,不符合题意,故不正确;D:与直线2y 在(,0)上有交点,故正确故选:D(2)已知函数()yf x的图象与函数11yx的图象关于原点对称,则()A1()1f xxB1()1f xxC1()1f xx D1()1f xx【答案】B【解析】解:设点(,)P x y是函数()yf x的图象,与P关于原点对应的点为(,)xy在函数11yx的图象上所以代入得11yx,即11yx,(3)已知定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称,且当0 x时,()f x单调递减,若0.5(log3)af,1.3(0.5
9、)bf,6(0.7)cf,则a,b,c的大小关系是()AcabBbacCacbDcba【答案】A【解析】解:定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称,函数()f x的图象关于y轴对称,函数()f x为偶函数,0.52log3log 3,0.52(log3)(log 3)ff,21log 32,1.31.30.522,600.71,又当0 x时,()f x单调递减,bac,例例 4:利用函数性质判断函数图像:利用函数性质判断函数图像函数241xyx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解:函数241xyx的定义域为实数集R,关于原点对称,函数24()1xyf xx,则24()()1
10、xfxf xx ,函数()yf x为奇函数,故排除C,D,当0 x是,()0yf x,故排除B,例例 5:数形结合:数形结合(1)函数244,1()43,1xxf xxxx图象和函数2()logg xx的图象交点个数是()A4B3C2D1【答案】B【解析】解:在同一坐标系中画出函数244,1()43,1xxf xxxx的图象和函数2()logg xx的图象下图所示:由函数图象得,两个函数图象共有 3 个交点(2)设()2|3|f xxx(1)求函数()yf x的最小值;(2)求不等式()7f x 的解集S【答案】见解析【解析】解:(1)3,3()33,303,0 xxf xxxxx ,易知当0
11、 x时,()f x的最小值为3(2)函数()f x的图象如图所示:函数()yf x的图象与直线7y 相交于横坐标为14x ,210 x 的两点,由此得:4S ,10三、课堂练习三、课堂练习A 级级1已知函数221,1()2,1xxf xxx x()求(3)f f 和 f f(3)的值;()画出函数的图象;()若()1f x,求x的值2.函数|1|yx的图象是()ABCD3.定义在区间0,2上的函数()yf x的图象如图所示,则(2)yfx的图象为()ABC DB 级级1将函数1()f xx的图象上的所有点向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数()g x的图象,则函数()g x
12、2.要得到函数13(2)4yfx的图象,只须将函数3(2)yfx的图象向移动个单位3.函数|(1)yxx的单调递增区间为4.在同一平面直角坐标系中,函数()yf x的图象与1()2xy 的图形关于直线yx对称,而函 数()yg x的 图 象 与()yf x的 图 象 关 于y轴 对 称,若2)(ag,则a的 值为5函数()(33)|xxf xlg x的图象大致为()ABCDC 级级1实数a和b,定义运算“”:,1,1a ababb ab设函数22()(2)()f xxxx,xR,若函数()yf xc的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()A(,32(1,)2B(,32(1,)4 C
13、(1,11)(44,)D31(1,)44,)2设0a,则函数|()yxxa的图象大致形状是()ABCD四、课后作业四、课后作业A 级级1函数1|yx 的图象大致是()ABCD2.函数|xyxx的图象是()ABCD3函数221xyx的大致图象是()ABCDB 级级1.函数()f x的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与12logyx的图象重合,则()f x是()A2xyB42logyxC2log(1)yxD142xy 2函数|1|lnxyex的图象大致是()ABCD3设奇函数()f x的定义域为 5,5,若当0 x,5时,()f x的图象如图,则不等式()0f x 的解集是4.函数
14、2()|1|xxf xe的图象大致为()ABCDC 级级1若()f x是R上的奇函数,在0,)上图象如图所示,则满足()0 xf x 的解集合是2已知函数()yf x的定义域为|x xR,且0 x,满足()()0f xfx,当0 x时,()11f xnxx,则函数()yf x的大致图象为()ABCD3已知函数2|1|1xyx的图象与函数2ykx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 第十讲 函数图像第十讲 函数图像一、知识点详解一、知识点详解知识点1 函数作图1、列表,描点法-其基本步骤是列表、描点、连线首先:确定函数定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性等);其次:列表(尤
15、其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);最后:描点,连线2、利用图像平移变换作图 (1)平移变化水平平移:)0)(aaxfy的图象,由)(xfy 的图象向左或向右平移a个单位得到上下平移)0()(bbxfy的图象,由)(xfy 的图象向上或向下平移b个单位得到(2)对称变换)(xfy与)(xfy 的图象关于y轴对称)(xfy与)(xfy 的图象关于x轴对称)(xfy与)(xfy 的图象关于原点对称要得到|)(|xfy 的图象,将)(xfy 的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变要得到|)(|xfy 的图象,可将)(xfy,0 x的部分作出,再利用偶函
16、数的图象关于y轴的对称性,作出0 x时的图象(3)伸缩变换)0)(AxAfy的图象,可将)(xfy 图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到)0)(aaxfy的图象,可将)(xfy 图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍,纵坐标不变而得到知识点2 利用函数图像解决函数问题1、利用函数图像,观察函数单调性与函数最值2、利用函数图像,观察函数是否奇偶性3、利用函数图像,转化交点问题4、利用函数图像,实现数形结合思想二、例题解析二、例题解析例例 1:列表描点作图:列表描点作图(1)函数|1yx的图象大致是()ABCD【答案】C【解析】解:对于函数|1yx,满足()|1|1()fxxxf x
17、 ,故函数为偶函数,函数|1yx的图象关于y轴对称,排除A,函数|yx的图象为:又因为函数|1yx的图象是由函数|yx的图象上移 1 个单位C的图象符合,(2)函数1yxx的图象是()ABCD【答案】A【解析】解:函数1yxx是由函数yx和1yx的和函数,故函数函数1yxx在区间(,0)和(0,)上都单调递增;分析四个答案中的图象易得只有A中的图象符合要求;(3)当1a 时,在同一坐标系中,函数xya与logayx的图象()ABCD【答案】A【解析】解:函数xya可化为函数1()xya,其底数小于 1,是减函数,又logayx,当1a 时是增函数,两个函数是一增一减,前减后增(4)已知函数2,
18、1()3,1xx xf xxx(1)在下面的坐标系中,作出函数()f x的图象并写出单调区间;(2)若)(af2,求实数a的值【解析】解:(1)做出()f x的函数图象如图所示:由图象得()f x的增区间为1(2,1,(1,),减区间为(,12(2)f2)(af,212aaa或132aa解得1a 或5a(5)画出下列函数图像作出下列函数的图象:(1)12xxy;(2)1)21(xy;(3)1log2xy;(4))1.(2xxy【答案】略【解析】(1)易知函数的定义域为1xRx;13112xxxy,因此由xy3的图象向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度即可得到函数12xxy的图象
19、,如图所示(2)先作出,0,21xyx的图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移 1 个单位长度,即得到1)21(xy的图象,如图所示(3)先作出xy2log的图象,再将图象向下平移 1 个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方来,即得到1log2xy的图象,如图所示(4)当2x,49)21(2)1)(2(22xxxxxy当2x时,49)21(2)1)(2(22xxxxxy这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)例 2:利用平移变换作图(1)若函数()yf x的图象如图所示,则函数(1)yfx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解:因
20、为从函数()yf x到函数(1)yfx的平移变换规律是:先关于y轴对称得到()yfx,再整体向右平移 1 个单位即可得到即图象变换规律是:(2)函数()|1|f xlg x的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】解:函数(1),1(|1|)(1),1lg xxylgxlgxx ,当1x 时,(1)ylg x的图象,是函数ylgx的图象向左平移 1 个单位得到的;当1x 时,(1)ylgx 的图象,与函数(1)ylg x的图象关于直线1x 对称,函数(|1|)ylgx的大致图象是A(3)函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx图象关于下列哪条直线对称()A3x B1x C1x D3x 【答案
21、】A【解析】解:函数()yf xa的图象与函数()yf bx的图象关于直线2abx对称,故函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx的图象关于直线4232x对称,例例 3:利用图形解决函数问题:利用图形解决函数问题【题干】【题干】(1)若方程()20f x 在(,0)内有解,则()yf x的图象是()ABCD【答案】D【解析】解:A:与直线2y 的交点是(0,2),不符合题意,故不正确;B:与直线2y 的无交点,不符合题意,故不正确;C:与直线2y 的在区间(0,)上有交点,不符合题意,故不正确;D:与直线2y 在(,0)上有交点,故正确故选:D(2)已知函数()yf x的图象与函数11yx的
22、图象关于原点对称,则()A1()1f xxB1()1f xxC1()1f xx D1()1f xx【答案】B【解析】解:设点(,)P x y是函数()yf x的图象,与P关于原点对应的点为(,)xy在函数11yx的图象上所以代入得11yx,即11yx,(3)已知定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称,且当0 x时,()f x单调递减,若0.5(log3)af,1.3(0.5)bf,6(0.7)cf,则a,b,c的大小关系是()AcabBbacCacbDcba【答案】A【解析】解:定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称,函数()f x的图象关于y轴对称,函数()f x为偶
23、函数,0.52log3log 3,0.52(log3)(log 3)ff,21log 32,1.31.30.522,600.71,又当0 x时,()f x单调递减,bac,例例 4:利用函数性质判断函数图像:利用函数性质判断函数图像函数241xyx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解:函数241xyx的定义域为实数集R,关于原点对称,函数24()1xyf xx,则24()()1xfxf xx ,函数()yf x为奇函数,故排除C,D,当0 x是,()0yf x,故排除B,例例 5:数形结合:数形结合(1)函数244,1()43,1xxf xxxx图象和函数2()logg xx的图象交点
24、个数是()A4B3C2D1【答案】B【解析】解:在同一坐标系中画出函数244,1()43,1xxf xxxx的图象和函数2()logg xx的图象下图所示:由函数图象得,两个函数图象共有 3 个交点(2)设()2|3|f xxx(1)求函数()yf x的最小值;(2)求不等式()7f x 的解集S【答案】见解析【解析】解:(1)3,3()33,303,0 xxf xxxxx ,易知当0 x时,()f x的最小值为3(2)函数()f x的图象如图所示:函数()yf x的图象与直线7y 相交于横坐标为14x ,210 x 的两点,由此得:4S ,10三、课堂练习三、课堂练习A 级级1已知函数221
25、,1()2,1xxf xxx x()求(3)f f 和 f f(3)的值;()画出函数的图象;()若()1f x,求x的值【解析】()31,(3)2(3)17f ,又71(3)f ff(7)272735,31,f(3)23233,f f(3)f(3)3()图象如图所示,()当(,1)x 时,有()211f xx ,解得0 x;当1x,)时,有2()21f xxx,解得12x 或12x ,但121x ,),故舍去所以x的值为 0 或122.函数|1|yx的图象是()ABCD【答案】A【解析】解:函数1,111,1xxyxxx 当时当时,画出图象应为A如图所示的图象3.定义在区间0,2上的函数()
26、yf x的图象如图所示,则(2)yfx的图象为()ABCD【答案】A【解析】解:由(0,2)上的函数()yf x的图象可知,01()1,12xxf xx当021x即12x时,(2)2fxx 当1 22x即01x 时,(2)1fx1,01(2)2,12xyfxxx,根据一次函数的性质,结合选项可知,选项A正确B 级级1将函数1()f xx的图象上的所有点向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数()g x的图象,则函数()g x【答案】23xx【解析】解:1133f xyxx 向右平移 个单位 121133xg xxx 向上平移 个单位2.要得到函数13(2)4yfx的图象,只须将函
27、数3(2)yfx的图象向移动个单位【答案】故答案为:左;18【解析】解:113(2)3 2()48yfxfx,只须将函数3(2)yfx的图象向左平移18个单位即可得到函数13(2)4yfx的图象3.函数|(1)yxx的单调递增区间为【答案】1(0,)2【解析】解:(1)0|(1)(1)0 xxxyxxxxx再结合二次函数图象:可知函数的单调递增区间是1(0,)24.在同一平面直角坐标系中,函数()yf x的图象与1()2xy 的图形关于直线yx对称,而函 数()yg x的 图 象 与()yf x的 图 象 关 于y轴 对 称,若2)(ag,则a的 值为【答案】4【解析】函数()yf x与1()
28、2xy 互为反函数 则12()logf xx,又由()yf x的图象与()yg x的图象关于y轴对称 12()log()g xx,又g)(a2 12log()2a,可得4a 5函数()(33)|xxf xlg x的图象大致为()ABCD【答案】D【解析】解:函数的定义域为|0 x x,()(33)|()xxfxlg xf x,则函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,排除B,当1x 时,()0f x,排除A 当01x时,()0f x,排除C,故选:DC 级级1实数a和b,定义运算“”:,1,1a ababb ab设函数22()(2)()f xxxx,xR,若函数()yf xc的图象与x轴恰有
29、两个公共点,则实数c的取值范围是()A(,32(1,)2B(,32(1,)4 C(1,11)(44,)D31(1,)44,)【解析】解:若222()1xxx,则223 0 xx,解得312x ,若222()1xxx,则2230 xx,则1x 或32x,2232,123,12xxf xxxxx或,作出()f x的函数图象如图所示:()yf xc有两个零点 ()f xc有两解,2c或314c 故选:B2设0a,则函数|()yxxa的图象大致形状是()ABCD【答案】B【解析】解:函数(),0|()(),0 x xa xyxxax xa x 0a,当0 x,()yx xa的图象为开口向上的抛物线的一
30、部分,与x轴的交点坐标为(0,0),(,0)a当0 x时,图象为()yx xa 的图象为开口先向下的抛物线的一部分故选:B四、课后作业四、课后作业A 级级1函数1|yx 的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】解:由于函数为偶函数,图象关于y轴对称,且当0 x时,函数y取得最大值为1,结合会所给的选项,只有A满足条件,2.函数|xyxx的图象是()ABCD【答案】D【解析】解:函数|xyxx可化为:当0 x时,1yx;它的图象是一条过点(0,1)的射线;当0 x时,1yx 它的图象是一条过点(0,1)的射线,对照选项,3函数221xyx的大致图象是()ABCD【答案】A【解析】解:令()0f
31、 x,得到0 x,故函数只有一个零点,故排除B、C、D,B 级级1.函数()f x的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与12logyx的图象重合,则()f x是()A2xyB42logyxC2log(1)yxD142xy【答案】D【解析】解:A、易知:1log2yx与2xy互为反函数,则图象关于yx对称,两者图象翻折得到 B、logy 21log2xx,而422loglogyxx 关于x轴对称,两者图象翻折得到 C、2log(1)yx与2logyx图象向左平移一个单位得到D、两个函数的底不同不会由变换得到2函数|1|lnxyex的图象大致是()ABCD【答案】D【解析】解:由|1
32、|lnxyex可知:函数过点(1,1),当01x时,111lnxyexxx 为减函数;若当1x 时,11lnxyex,故选:A3设奇函数()f x的定义域为 5,5,若当0 x,5时,()f x的图象如图,则不等式()0f x 的解集是【答案】故答案为|20 xx 或25x【解析】解:由奇函数图象的特征可得()f x在 5,5上的图象由图象可解出结果4.函数2()|1|xxf xe的图象大致为()ABCD【答案】B【解析】解:函数()f x为非奇非偶函数,图象不对称,排除C,当x ,()0f x ,排除 D ()0f x 恒成立,排除A,C 级级1若()f x是R上的奇函数,在0,)上图象如图
33、所示,则满足()0 xf x 的解集合是【答案】故答案为|1x x ,或1x【解析】()f x是R上的奇函数,函数图象关于原点对称 函数()f x在R上的图象如图0()0()0 xxf xf x或0()0 xf x1x或1x ()0 x f x的解集为|1x x ,或1x 2已知函数()yf x的定义域为|x xR,且0 x,满足()()0f xfx,当0 x时,()11f xnxx,则函数()yf x的大致图象为()ABCD【答案】D【解析】解:由()()0f xfx得()()fxf x,即函数是奇函数,图象关于原点对称,排除C,D,当0 x时,()11f xnxx,则f(1)1 1 10ln ,f(e)1110lneeee ,排除B,故选:D3已知函数2|1|1xyx的图象与函数2ykx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是【答案】故答案为:(0,1)(1,4)【解析】解:211,111,111xxxxyxxx 或,作出函数2|1|1xyx与2ykx的图象如图所示:函数2|1|1xyx的图象与函数2ykx的图象恰有两个交点,01k 或14k
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