1、2.2 基本不等式初识第二章 一元二次函数、方程和不等式 目录 CONTENT（一（一）复习回顾，复习回顾，创设创设情景，揭示课题情景，揭示课题 目录 CONTENT 目录 CONTENT（二）阅读精要，研讨新知（二）阅读精要，研讨新知 目录 CONTENT（二）阅读精要，研讨新知（二）阅读精要，研讨新知 目录 CONTENT【结论】矩形面积小于或等于两个三角形面积之和，当两个三角形面积相等时取等号.目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT【问题】获得基本不等式有多少途径？目录 CONTENT【问题】获得基本不等式有多少途径？目录 CONTENT【问题】获得基本不等式有
2、多少途径？目录 CONTENT【问题】获得基本不等式有多少途径？目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（五）（五）作业布置，精炼双基作业布置，精炼双基A good beginning is half done良好的开端是成功的一半2.2 基本不等式再
3、认知第二章 一元二次函数、方程和不等式 目录 CONTENT（一（一）复习回顾，复习回顾，创设创设情景，揭示课题情景，揭示课题 目录 CONTENT（二）阅读精要，研讨新知（二）阅读精要，研讨新知【问题探究】基本不等式还有其它的变形吗？目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（五）（五）作业布置，精炼双基作业布置，精
4、炼双基A good beginning is half done良好的开端是成功的一半第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第一课时一、教学目标1、多角度认知、理解基本不等式，体会数形结合的思想；2、了解掌握基本不等式的证明，提高逻辑论证能力；3、会用基本不等式解决简单的最值问题.二、教学重点、难点重点：从结构、形式上认知基本不等式；难点：从代数、几何方面获得基本不等式的过程，利用基本不等式解决简单的最值问题.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回
5、顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【回顾】一般地，,a bR，有222abab，当且仅当ab时，等号成立.【代数证明】,a bR，2222()0ababab，当且仅当ab时，等号成立.所以222abab，当且仅当ab时，等号成立.【几何关系】在正方形ABCD中，设直角三角形的两条直角边的长为,()a b ab，那么正方形的边长为22ab，于是 4 个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为22ab，可得不等式：222ababab当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab于是就有222abab.（二）阅读精要，研讨新知（二）阅
6、读精要，研讨新知【数学手工游戏】步骤 1.与同桌准备两张大小不同的正方形的纸，记大的正方形的面积为a，小的正方形的面积为b；步骤 2.将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形；步骤 3.将两个等腰直角三角形斜边相对进行组合拼接、折叠，构造一个分别以,ab为长和宽的矩形；【问题】1.矩形的面积是什么？（abab），两个等腰直角三角形的面积是什么？（1111,2222aaabbb）2.把两个等腰直角三角形的面积相加所得到的值与矩形的面积比较，你的发现是什么？3.若换成两张大小相同的纸，你的发现又是什么？【结论】矩形面积小于或等于两个三角形面积之和，当两个三角形面积相等时取等号.对应的不
7、等关系的数学表达式对应的不等关系的数学表达式：,a bR，2abab （1）当且仅当ba 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式基本不等式(basic inequality),其中2ab叫做正数,a b的算术平均数，ab叫做正数,a b的几何平均数.另一个名称：均值不等式均值不等式.【说法】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【问题】获得基本不等式有多少途径？途径一：途径一：以上通过数学手工游戏观察获得；途径二：途径二：根据结论,a bR，有222abab，当且仅当ab时，等号成立可得222ababab当0,0ab时，用,ab替换,a b
8、可得；途径三：途径三：因为Rba,，所以22()0222abaabbabab2abab；途径四：途径四：因为Rba,，所以2()020abaabb2abab；途径五：途径五：在图 2.2-1 中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，,ACa BCb.过点C作垂直于AB的弦DE，连接,AD BD.可证ACDBCD（因为DACBDC）所以CDBCACCD，即2CDAC BC，所以CDab由CD小于或等于圆的半径，所以2abab.【变形认知】基本不等式的变形：,a bR，2abab，当且仅当ba 时，等号成立.【例题研讨】阅读领悟课本45P例 1、例 2（用时约为 3 分钟，教师逐一作出准确的评析.）
9、例 1 已知0,x 求1xx的最小值.证明：因为0,x 所以1122xxxx 当且仅当1xx，即21,1xx时，等号成立，因此所求的最小值为 2.【思考与发现】如果0,x 那么1xx还会有最小值吗？若没有，会怎样？【探究】因为0,x 所以0 x，11()2()2()()xxxx，有12xx 当且仅当1xx，即21,1xx 时，等号成立，因此1xx的最大值为2【结论】使用基本不等式求最值的口诀：一正二常三相等一正二常三相等例 2 已知,x y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2 P；（2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值214S.证明：因为
10、,x y都是正数，所以22,()2xyxyxy xy（1）当xyP时，2xyP，当xy时，等号成立，和xy有最小值2 P（2）当xyS时，214xyS，当xy时，等号成立，积xy有最小值214S【问题】你能发现例 2 结论的简要描述吗？（积定和小，和定积大积定和小，和定积大）【小组互动】完成课本46P练习 3，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟1.若0 x，则29xx有（）A最小值 6 B最小值 8 C最大值 4 D最大值 3解：由29xx9228xx（当且仅当xx9，即3x 时，取等号），故选 B.2.已知310 x，则(1 3)xx的
11、最大值为_解：因为103x，所以1 30 x 所以21131 31(1 3)3(1 3)()33212xxxxxx 当且仅当xx313，即61x时取等号所以(1 3)xx的最大值为1123.已知1x，则11xx的最小值为_解：因为1x，所以10 x，11112(1)()1311xxxx 当且仅当2x 时取等号，故所求最小值为 3.4.已知,a b均为正实数，则14()()abba的最小值为（）A B C D解：1444()()5529abababbaabab，当且仅当4abab，即2ab 时等号成立，所求最小值为 9，故选 D.（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点基本不等式基本不等
12、式(basic inequality)（均值不等式）原形原形变形变形0,0ab，2abab0,0ab，2abab2ab算术平均数，ab几何平均数.当且仅当ba 时，等号成立.,a bR，222abab当且仅当ba 时，等号成立.（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基1.完成课本46P练习 1、2、4、5，完成习题 2.2 1、22.研读课本46P例 3五、教学反思：（课后补充，教学相长）第二章 一元二次函数、方程和不等式37892.2 基本不等式第二课时一、教学目标1、掌握基本不等式；2、会用基本不等式证明不等式；3、会用基本不等式解决简单的恒成立及实际问题.二、教学重点、难点重点：
13、会用基本不等式证明不等式；难点：会用基本不等式解决简单的恒成立及实际问题.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【回顾】基本不等式基本不等式(basic inequality)（均值不等式）原形原形变形变形0,0ab，2abab0,0ab，2abab2ab算术平均数，ab几何平均数.当且仅当ba 时，等号成立.,a bR，222abab当且仅当ba 时，等号成立.（二）阅读精要，研讨新知（二）阅读精要，研讨
14、新知【问题探究】基本不等式还有其它的变形吗？变形 1：0,0ab，2()2abab，当且仅当ba 时，等号成立变形 2：Rba,，222abab，当且仅当ba 时，等号成立变形 3：Rba,，222()22abab，当且仅当ba 时，等号成立【例题研讨】阅读领悟课本47P例 4（用时约为 2 分钟，教师逐一作出准确的评析.）例 4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 48003m，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？解：设底面的长为mx，宽为my，水池总造价为z元.根据题意，有4800150
15、120(2 32 3)240000720()3zxyxy.因为水池的容积为34800m，所以34800 xy，即1600 xy.所以 240000720()240000720 2297600zxyxy.当且仅当40 xy时等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为m40的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.例 5 已知0a，0b，且1ab，则11ab的最小值为（）A8 B4 C1 D2解：因为1ab，所以1111()()2ababababba224a bb a当且仅当ab时，等号成立，即最小值为 4故选 B（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟1 已知0,0,0ab
16、c，求证：()()()8ab bc caabc.证明：已知0,0,0abc，所以()()()2228ab bc caabbccaabc.当且仅当abc时，等号成立因此()()()8ab bc caabc.2 已知0,0,0abc，且1abc.求证：1119abc.证明：因为0,0,0abc，且1abc，所以111abcabcabcabcabc3()()()32229bacacbabacbc，当且仅当13abc时，上式等号成立.因此1119abc.3.已知0,0 xy，且131yx，则34xy的最小值为_.解：因为0,0 xy，且131yx，所以1331231234(34)()1313225xy
17、xyxyxyyxyxyx.当且仅当312xyyx，即55,2xy时等号成立.因此34xy的最小值为 25.4.若对任意0 x，231xaxx 恒成立，则实数a的取值范围是（）A.15a B.15a C.110a D.110a解：因为0 x，所以12xx（当且仅当1x 时等号成立），所以21111312353xxxxx=，即231xxx的最大值为15，故15a.故选 B5.已知正数,x y满足1222yx，则21yx的最大值为（）A.3 2 B.3 24 C.3 D.3解：由已知2222xy 所以2222211(1)2(1)2xyxyxy 222213 2()224xy，故选 B（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点基本不等式基本不等式(basic inequality)（均值不等式）原形原形变形变形0,0ab，2abab0,0ab，2abab2ab算术平均数，ab几何平均数.,a bR，222abab0,0ab，2()2abab当且仅当ba 时，等号成立.（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基1.完成课本48P习题 2.2 3、4、5、6五、教学反思：（课后补充，教学相长）
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