1、5.2.1 5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念教学目标01020304学科素养数学抽象数学建模逻辑推理数学运算01Retrospective Knowledge我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.角的扩充：角的扩充：一条射线绕其端点按方向旋转形成的角叫做；一条射线绕其端点按方向旋转形成的角叫做；如果一条射线做任何旋转，就称它形成了一个所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合,360|ZkkSo把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角第几象限的角.如果角的终边落在坐标轴
2、上,这个角称轴线角轴线角.锐角的正弦、余弦和正切叫做角的锐角三角函数，分别记作sin，cos，tan.对边斜边si nB CA Ba=邻边斜边cos=A CA Ba=对边邻边tanB CA Ca=A AB BC C02New Knowledge explore 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，即研究单位圆上点的运动 如图，单位圆O上的点P，以A为起点做逆时针方向旋转，我们将如何建立一个数学模型，刻画单位圆上点P位置变化情况 根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个问题 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线O
3、A为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)，射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP)0,1(Ax),(yxPy当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？6232)1,0(利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).6)21,23(232)23,21(【结论结论】一般地，任意给定一个角R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐
4、标x和纵坐标y都是角的函数下面给出这些函数的定义 设设是一个任意角，是一个任意角，R，它的终边与单位圆相交于点，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)(1)把点P的纵坐标 叫做的，记作sin，即(2)把点P的横坐标 叫做的，记作cos，即(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的 ,记作 ,即 (x0).xytanxytan正切设是一个任意角，R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，).0(tancossinxxyxy，那么 可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时P点的横坐标x等于0，所以 无意义.除此之外，正切tan与实数是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，称为正切函数正切函数Zkk
5、,2tanxy 角确定角的终边唯一确定角的终边与单位圆的交点确定角的三角函数值（正弦值、余弦值、正切值）确定，所以角的三角函数值是关于角的函数，通常我们把自变量角记为x，对应的函数值记为y 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常把它们记为：正弦函数：y=sinx，xR；余弦函数：y=cosx，xR；正切函数：y=tanx，Zkkx,2OxyP(x，y)1McosOMOP;1xxsinMPOP;1yytanMPOMxy利用锐角三角函数概念可得：与按本节三角函数定义求得的结论是相同的在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设 ，把按锐角三角函数
6、的定义求得的锐角x的正弦值记为z1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦值记为y1，那么z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？)2,0(【例1】求 的正弦、余弦和正切值53Oxy5313(,)22P-1M【解析】在坐标系中作出AOB=，易知:AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，所以53)23,21(,2335sin,2135cos.335tan 借助解直角三角形求得【例2】如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r求证：xyrxrytancossin，【解析】设的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)，分别过点P，P0作x轴的
7、垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则:|P0M0|y0|，|PM|y|，|OM0|x0|，|OM|x|，OMPOM0P0yxP,0MOyxM000,yxP，即所以ryyrPMMP0001，同号，所以与因为ryyyy00.0ryysin所以.tancosxyrx，同理可得：根据例2，若已知点P（x，y）为角终边上异于原点的任意一点，那么的各个三角函数值是否可以确定？022又根据勾股定理可得，yxryxP,Oyx)0(tancossin:2xxyrxry，可知由例故只要知道角终边上任意一点，那么就可以求得角的各个三角函数值，显然任意角的三角函数值仅与有关，而与点P在角的终边上的位置无关.r【
8、练习】已知点P（3，4）在角终边上，求sin，cos，tan的值不存在常见角的三角函数值三角函数sincostan定义域象限角三角函数值 符号根据任意角的三角函数的定义，确定正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域，再确定这三种三角函数的值在各个象限的符号RR Zkkxx,2 【例3】求证：角为第三象限角的充要条件为【证明证明】因为sin0成立，所以角的终边位于第三或者第四象限，也可能和y轴的负半轴重合；又因为tan0成立，所以角的终边位于第一或者第三象限；综合可知：为第三象限角 因为是第三象限角，根据定义有sin0，cos0，所以必要性成立，即充要性成立 由三角函数的定义，我们知道：终边相同的
9、角的对应三角函数相同终边相同的角的对应三角函数相同.由此得到一组公式：cos(+2k)=cos tan(+2k)=tansin(+2k)=sin其中其中kZ 公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系：即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0，2的角的三角函数值【例4】确定下列三角函数值的符号：3tan)4()672tan()3()4sin()2(250cos)1(；【例5】求下列三角函数值：)611tan()3(49cos)2(1140sin)1(；【练习】填表：03Ex
10、pansion And Promotion04Sum Up1.三角函数的第一定义和第二定义：2.三角函数值在各个象限和轴线上的符号：3.终边相同的角的统一三角函数值相等cos(+2k)=costan(+2k)=tansin(+2k)=sin若点P（x，y）为角终边上异于原点的任意一点，则)0(tancossinxxyrxry，05Homework After Class1.已知角的始边在x轴的非负半轴上，终边过点P（12，5），求sin，cos，tan的值2.已知角、的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边关于y轴对称，若角的终边上有一点的坐标为 ，则tan的值是多少？)53,54(3.求下列三角函数值：.)311tan()3(450cos)2()431sin()1(；
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