1、4.5.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解函数函数 y=f(x)有零点有零点函数函数 y=f(x)的图象与的图象与 x 轴有公共点轴有公共点1、函数的零点与方程的解的关系：、函数的零点与方程的解的关系：方程方程 f(x)=0 有实数解有实数解2、判断在某个区间是否存在零点的方法、判断在某个区间是否存在零点的方法 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，的一条曲线，且有且有 f(a)f(b)0，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即内有零点，即存存在在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c
2、也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解。函数零点存在定理函数零点存在定理复习引入复习引入 我们已经知道我们已经知道，函数函数y=lnx+2x-6在在区间区间(2,3)内存在一个零点进内存在一个零点进一步的问题是，如何求出这个零点呢一步的问题是，如何求出这个零点呢?xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972问题问题探究探究问题问题探究探究1 2 3 4 5 一一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的那么在
3、一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点零点的的近似值为了方便，可以通过取区间中点的方法，近似值为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小逐步缩小零点所在的范围零点所在的范围f(x)=lnx+2x-6f(2)0 x0(2，3)f(2.5)0 x0(2.5，3)f(2.5)0 x0(2.5，2.75)f(2.5)0 x0(2.5，2.625)f(2.5)0 x0(2.5，2.5625)f(2.53125)0 x0(2.53125，2.5625)问题问题探究探究 由于由于(2，3)(2.5，3)(2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小所以零点所在的范围变小了了如果重复上述如果重复上述步骤
4、步骤，那么零点所在的范围会越来越，那么零点所在的范围会越来越小，这样小，这样，我们就可以通过我们就可以通过有限次有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定足一定精确度精确度的区间，区间内的的区间，区间内的任意一点任意一点都可以都可以作为函数零点的近作为函数零点的近似值为了方便，我们把区间的似值为了方便，我们把区间的一个端点一个端点作为零点的近似值作为零点的近似值问题问题探究探究零点所在区间零点所在区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.
5、5，2.625)2.562 50.066(2.5，2.5625)2.531 25-0.009(2.53125，2.5625)2.546 8750.029(2.53125，2.546875)2.539 062 50.010(2.53125，2.5390625)2.535 156 250.001 例如，当精确度为例如，当精确度为0.01时，因为时，因为|2.5390625-2.53125|=0.007812 50.01，所以，所以区间区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x=2.53125作为函数作为函数f(x
6、)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解的近似解.问题问题探究探究二分法二分法 对于在区间对于在区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不，通过不断地把函数断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法.提示提示二分法只适用于函数的变号零点二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反即函数在零点两侧符号相反)，因此函，因此函数在零点两侧同号的
7、零点不能用二分法求解，如数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2的零点就不能用的零点就不能用二分法求解二分法求解概念解析概念解析用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤 思考思考1：求函数求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么的零点近似值第一步应做什么?思考思考2：为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么?确定区间确定区间a,b，使，使 f(a)f(b)0求区间的中点求区间的中点c，并计算，并计算f(c)的值的值 概念解析概念解析思考思考3：若若f(c)=0说明什么？说明什么？若若f(a)f(c)0或或f(c
8、)f(b)0，则分别说明什么？，则分别说明什么？若若f(c)=0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；若若f(a)f(c)0，则零点，则零点x0(a,c)；若若f(c)f(b)0，则零点，则零点x0(c,b).概念解析概念解析思考思考4：若给定精确度若给定精确度，如何选取近似值？，如何选取近似值？当当|mn|时，区间时，区间m，n内的任意一个值都是函数零内的任意一个值都是函数零点的近似值点的近似值.思考思考5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？数零点的近似值？为什么？xyoxyo概念解析概念解析二分法求函数二分法求函数y=f(x
9、)零点的步骤：零点的步骤：(1)确定区间确定区间a,b，验证，验证f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度；(2)求区间求区间(a,b)的中点的中点c；(3)计算计算f(c)；若若f(c)=0，则，则c就是函数的零点就是函数的零点c；若若f(a)f(c)0，则令，则令b=c(此时零点此时零点x0(a,c)；若若f(b)f(c)0，则令，则令a=c(此时零点此时零点x0(c,b)；(4)判断是否达到精度判断是否达到精度，若，若|a-b|，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(或或b)，否则重复否则重复(2)(3)(4)；由由|a-b|可知，区间可知，区间a,b中任意一个值都是零点中任意一个值都
10、是零点x0的满足精确度的满足精确度的的近似值，为了方便，我们统一区间端点值近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或或b).概念解析概念解析1、思考辨析思考辨析(1)二分法所求出的方程的解都是近似解二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函函数数f(x)=|x|可以用二分法求零点可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()概念概念辨析辨析2、用二分法求函数用二分法求函数f(x)在在(a，b)内的唯一零点时，精确度为内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是则结束
11、计算的条件是()A.|ab|0.1B.|ab|0.001 D.|ab|0.001B据二分法的步骤知当区间长度据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度小于精确度时，时，便可结束计算便可结束计算概念概念辨析辨析概念概念辨析辨析3、已知函数已知函数yf(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是点是_x3x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解4、用二分法研究函数用二分法研究函数f(x)=x33x1的零点时，第一次经过计算得的零点时，第一次经过计算得f(0)0，可得其中一个零点，可得其中一个零点x0_，
12、第二次应计算，第二次应计算_.概念概念辨析辨析(0，0.5)f(0)0，x0(0，0.5)，故第二次应计算，故第二次应计算f(0.25)f(0.25)例例1、借助信息技术，用二分法求方程、借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解函数的近似解(精确精确度为度为0.1)解：解：原方程即原方程即2x+3x-7=0，令，令f(x)=2x+3x-7，用信息技术画出函数，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表的图象，并列出它的对应值表.x012345678y-6-2310 21 40 75 142 273观察函数图象和上表，可知观察函数图象和上表，可知f(1)f(2)0.
13、典例解析典例解析例例1、借助信息技术，用二分法求方程、借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解函数的近似解(精确精确度为度为0.1)典例解析典例解析区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(1,2)1.50.33(1,1.5)1.25-0.87(1.25,1.5)1.375-0.28(1.375,1.5)1.43750.02(1.375,1.4375)由于由于|1.375-1.4375|=0.06250.1此时区间此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精的两个端点精确到确到0.1的近似值都是的近似值都是1.4，所以原方程精确到，所以原方程精确到0.1的近似解
14、为的近似解为1.4。1、通过下列函数的图象通过下列函数的图象,判断不能用判断不能用“二分法二分法”求其零点的是求其零点的是()A.B.C.D.C解析解析:能用二分法求零点的函数必须在给定区间能用二分法求零点的函数必须在给定区间a,b上连续不断上连续不断,并并且有且有f(a)f(b)0,由图象可得由图象可得,只有能满足此条件只有能满足此条件,故不能用故不能用“二分法二分法”求其零点的是求其零点的是,故选故选C.当堂达标当堂达标2、若二次函数若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点存在零点,且能够利用二分法求得此零且能够利用二分法求得此零点点,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是.当堂达标当
15、堂达标解析解析:由题意知由题意知,3、若函数若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算算,参考数据如下参考数据如下:f(2)-0.369 1f(2.5)0.334 0f(2.25)-0.011 9f(2.375)0.162 4f(2.312 5)0.075 6f(2.281 25)0.031 9则方程则方程x-3+log3x=0的一个近似解的一个近似解(精确度精确度0.1)为为()A.2.1 B.2.2C.2.3 D.2.4当堂达标当堂达标解析解析:由参考数据可知由参考数据可知f(2.25)f(2.3125)0,且且|2.312
16、 5-2.25|=0.062 50.1,所以当精确度为所以当精确度为0.1时时,可以将可以将x=2.3作为函数作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值零点的近似值,也即也即为方程为方程x-3+log3x=0的近似根的近似根.C4、用二分法求函数用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是的零点可以取的初始区间是()A2,1B1,0 C0,1 D1,2当堂达标当堂达标A解析：解析：f(-2)=-30，f(-2)f(1)0，故可取，故可取-2,1作为初始作为初始区间，用二分法逐次计算区间，用二分法逐次计算用二分法求解方程的近似解：用二分法求解方程的近似解：1、确定区间、确定区间a,b，验证，验证f(a)f(b)0,f(b)0)(1)若若f(x1)=0,则则x1就是函数的零点就是函数的零点(2)若若f(x1)0,则令则令a=x1(此时零点此时零点x0(x1,b)4、判断是否达到精确度、判断是否达到精确度，即若，即若|a-b|,则得到零点的近似值则得到零点的近似值a(或或b)；否则得；否则得反复反复24课堂小结课堂小结
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