4.4.3 不同函数增长的差异教学ppt课件- -2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.ppt

1、4.4 对数函数4.4.3 不同函数增长的差异 复习引入 思考：在前面，我们学习过的一次函数、指数函数、对数函数，这些函数在情况下的是增函数？ykxb (0)k xya(1)a logayx(1)a 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.如果我们知道不同函数增长方式的差异，就可以根据现实问题中的增长情况，选择合适的函数模型来刻画其变化规律。下面就来研究一次函数，指数函数 ，对数函数内增长方式的差异.知识探究 问题1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间0,+)上增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特点吗？以函数和 为例22xy

2、yx 列表xy=2xy=2x00.511.522.53.11.41422.82845.65780123456.描点，连线得图象1 2 3 xo987654321y2xy 2yx 1.作出函数和 的图象22xyyx 2.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(1)两函数图象的交点是什么？(2)两图像的关系是什么？(3)总结两图像增长变化情况？(1,2)(2,4)函数y=2x与y=2x有两个交点：(1,2)，(2,4)；在区间0,1)上，y=2x的图象位于y=2x上方；在区间(1,2)上，y=2x的图象位于y=2x下方；在区间(1,2)上，y=2x的图象位于y=2x下方。y=2x与y=2x都

3、是增函数，但是它们的增长速度不同。函数y=2x的增长速度不变，y=2x的增长速度是变化的。(4)当自变量x值越来越大时，两个函数图象的关系会怎样？2.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(4)当自变量x值越来越大时，两个函数图象的关系会怎样？随着自变量x的取值越来越大，y=2x的图象几乎会与x轴垂直，函值快速增长，而y=2x的图象仍是匀速向上延伸，函数增长速度不变，这与y=2x的增长速度相比几乎微不足道.2.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(5)考查2x 与 2x的大小，你认为是否存在一个x0，当，当xx0时，恒有2x 2x?(6)类比上述能否推广到一般情况？尽管在 x 的

4、一定范围内,2x x0时,恒有2x 2x.一般地,指数函数与一次函数 的增长差异都与上述情况类。似(1)(0)xyaaykx k (1)(0)xkayaaykx k 即使 的值远远大于的值，的增长速度最终 都会大大超过的增长速度。函数 y=2x与 y=2x在0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”.随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.(1)xyaa 的这种增长指数方式爆通常称为炸增长。结 论 一结 论 二 问题2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间0,+)上增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特点吗？以函数和 为例

5、1lg10yxyx 列表/1.3041.4771.6021.6991.77810123456.描点，连线得图象lgyx 110yx 1.作出函数和 的图象1lg10yxyx 654321y10 20 30 40 50 60 xo2.观察两个函数图象及其增长方式,回答下面问题：(1)根据图象分析两函数增长快慢？函数与在上都单调递增 但增长速度存在着明显的差异.1lg(0,)10,yxyx 的增长保持不变.110yx 的增长速度在不断变化。lgyx 随着的增长，函数的图象离轴越来越远110.xyxx 随着 的增长，的图象越来越平缓，就像与 轴平行一样.lgxyxx (2)你能根据解析式进行分析吗？

6、对于有lg xlg10=1,lg100=2,lg1000=3，lg10000=4,.对于有110 x11110=1100=101000=100101010 ，.函 数的 增 长 比慢 得 多1lg10yxyx 如果将放大倍，再对函数与的增长情况进行比较，那么还有上述的规律吗？1lg10001000lg10 xyxyx (2)1000lgyx 110yx 考查和的大小，你认为是否存在一个当时，恒有001lg,101lg?10 xxxxxxx (3)在一定范围内，大于但随着的增长的增长速度将慢于且越来越慢。因此总存在一个当时 恒有。001lg,101,lg,10,1,lg10 xxxyxyxxxx

7、xx (3)类比上述能否推广到一般情况？log(1)(0)(0)ayx aykx k 一般地，对数函数与一次函数在区间，上单调递增，但是它们增 长速 度不同。随着 的增大，一次函数保持固定的增长速度对数函数 的增长速度越来越慢。(0),log(1)axykx kya 不论 的值比 的值大多少，在一定范围内，可能大于但由于的增长速度慢于的增长，因此总存在一个,当时，恒有 00log,loglog.aaaakxkxyxykxxxxxkx 结 论 三log(1)ayx a 的这种增长方式通常称为对数增长(蜗牛式增。长)(0)ykx k 的这种增长方式通常称为线性增长(直线上升。)问题3：(1)画出一

8、次函数y=2x，对数函数y=lgx和指数函数y=2x的图象，并比较它们的增长差异？(1,2)(2,4)(1,0)lgyx 函数y=2x，y=lgx与y=2x在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.y=2x在(0,+)上增长速度不变，函数y=lgx与y=2x在(0,+)上的增长速度在变化.函数y=2x的增长速度越来越快，图象越来越陡，就像与 x 轴垂直一样；函数y=lgx的增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.xyo2yx lgyx 2xy (2)概括一次函数y=kx(k0),对数函数y=logax(a1)和指数函数y=bx(b1)的增长差异.xyoykx lo

9、gayx xyb 一般地，一次函数y=kx(k0),对数函数y=logax(a1)和指数函数y=bx(b1)在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度，而指数函数y=bx(b1)的增长速度越来越快；对数函数y=logax(a1的增长速度越来越慢.不论b值比k值小多少，在一定范围内，bx可能会小于kx ，但由于y=bx的增长会快于y=kx的增长，因此总存在一个x0，当 xx0时，恒有bxkx.；不论a值比k值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于y=logax的增长会慢于y=kx的增长，因此总存在一个x0，当xx0时

10、，恒有kxlogax.(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义 (1)直线上升:y=kx(k0)的增长方式 增长速度不变，是一个固定的值；(2)对数增长：y=logax(a1)的增长方式 增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x 轴平行一样；(3)指数爆炸：y=ax(a1)的增长方式 增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与 x轴垂直一样.例1.(1)随着x的不断增加，下列函数中增长速度最快的是()A.y=2 021x ；B.y=x2 021;C.y=log2 021x;D.y=2 021 x例析A(2)当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液

11、注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_；B对应_；C对应_；D对应_.(4)(1)(3)(2)例2.已知函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象如图,设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和 B(x2,y2),且x1x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)若x1a,a+1,x2b,b+1,且a,b1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,指出a,b 的值,并说明理由.(1)由指数函数与幂函数的增长速度知 C1 对应函数 g(x)=x3,C2 对应函数 f(x)=2x.(2)

12、由图象得 f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2)当 xx3,即 f(x)g(x);当 x1xx2时,f(x)x2时,f(x)g(x).f(1)=2,g(1)=1,f(2)=4,g(2)=8由f(1)g(1),f(2)g(2)得 x11,2,即a=1.又f(9)=29=512,g(9)=93=729 f(10)=1024,g(10)=1000由 f(9)g(10)得 x29,10,即b=9.综上可知,a=1,b=9.解：例3.某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模

13、拟月产量y与月序数x之间的关系.根据以往的经验，可选用二次函数模型y=f(x)(xN*)或指数函数模型y=g(x)(xN*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为136 t,则试问选用哪一个作为模拟函数较好?设 f(x)=ax2+bx+c(a0)，则由题意得 同理,可设 g(x)=max+n(a0且a1)f(x)=-5x2+35x+70.1,80,140.2amn 1()80()140.2xg x 当x=4 时,f(4)=-542+354+70=130g(4)=-800.54+140=135 由g(1)=100,g(2)=120,g(3)=130得 即 g(4)在数值上更为接近第四个月的

14、实际月产量.选用指数函数模型较好.解：1.三个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:则关于x呈指数型函数变化的变量是_练习x051015202530y15130 5051130200531304505y2590 1620 29160 524880 9447840 170061120y35305580105130155y22.(1)(2)(3)分别是y=3x与y=5x在不同范围内的图象，估算出使3x 5x的x的取值范围(参考数据：30.27=1.35,32.17=10.85).(0.27,1.35)(0.27,1.35)(2.17,10.85)(2.17,10.85)(,0.27)

15、(2.17,)(教材P39练习第1,2,3,4题)4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（）-1()1-,(0,);33()-(),(0,);22()ln;()1,(0,).xA yxxB yxC yxD yxx C3.如图，对数函数y=lgx与一次函数y=f(x)的图象有A，B两个 公共点,求一次函数的解析式。简析：()f xkxb设一次函数由函数图象得(1,0)A，(2,lg2)B(1)0,(2)lg2ff 02lg2kbkb 即lg2,lg2kb 解得()(lg2)lg2f xx课堂小结 1.在探究不同函数的增长方式的过程中主要的数学思想方法有哪些？一般与特殊的思想方法

16、；数形结合的思想方法2.说说一次函数，指数函数，对数函数增长方式的差异？y=ax(a1)y=logbx(b1)y=kx(k0)在(0,+)上的单调性单调递增增长速度越来越快越来越慢固定不变图象的变化 随x的增大逐渐变陡，几乎与x轴垂直 随x的增大逐渐变平，几乎与x轴平行 图象几乎呈 一条直线匀 速上升形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长结果 总存在一个x0,当xx0时,有axkxlogbx4.对于幂函数y=x(0)的增长方式，你有什么看法？(1)幂函数y=x(0)增长快慢与的大小有关;(2)幂函数y=x(0)的增长速度介于指数函数和对数函数之间.(1)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上；(2)y=ax的增长速度越来越快，y=logbx越来越慢，最后，y=ax的增长速度会远远大于y=kx的增长速度y=logbx的增长速度会远远小于y=kx的增长速度。这样一直下去，总会在某个x取某个值(x0)以后，会出现axkxlogbx.3.怎样理解当a1,b1,k0时“总存在一个x0,当xx0时,axkxlogbx”？作 业教材P140习题4.4第6，10，11题