1、不同函数增长的差异不同函数增长的差异2020.11新课程标准新课程标准核心素养核心素养1.1.通过作图通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性数的增长特性；数据分析数据分析直观想象直观想象2.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异,并能解并能解决相关问题决相关问题；逻辑推理逻辑推理3.能正确地选择函数模型解决实际问题能正确地选择函数模型解决实际问题.数学建模 一家世界一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题强公司曾经出过类似这样的一道面试题:现在有一套房子
2、现在有一套房子,价格价格200万元万元,假设房价每年上涨假设房价每年上涨10%,某人某人每年固定能一共攒下每年固定能一共攒下40万元万元,如果他想买这套房子如果他想买这套房子,在不贷款在不贷款,收入不增加的前提下收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子房子?A.5年年B.7年年C.8年年D.9年年E.永远买不起永远买不起房子的价格逐年构成什么样的函数房子的价格逐年构成什么样的函数?这个人的逐年收入构成这个人的逐年收入构成什么函数什么函数?你能给出这道题的答案吗你能给出这道题的答案吗?为什么为什么?在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函
3、数、在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？0f xkx k 1xg xaa log1ah xx ay x3yxyx 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k0，指数函数 g(x)=ax(a1)，对数函数 在定义域内增长方式的差异.log 1ah xx a 我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的
4、研究方法我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386.观察两个函数图象及其增长方式：观察两个函数图象及其增长方式：结论一：函数结论一：函数y=2x与与y=2x有有两个交点两个交点(1,2)和和(2,4)结论三：在区间结论三：在区间(1,2)上，上，函数函数y=2x的图象位于的图象位于y=2x之下之下结论二：在区间结论二：在区间(0,1)，(2,3)上上函数函数y=2x的图象位于的图象位于y=2x之上之上xyo12综上：虽然函数综上
5、：虽然函数y=2x与与y=2x都是增函数，但是都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度的增长速度不变，但是不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快的增长速度改变，先慢后快.总结一：总结一：函数函数y=2x与与y=2x在在0,+)上增长快慢的不同如下：上增长快慢的不同如下：虽然函数虽然函数y=2x与与y=2x在在0,+)上都是单调递增，但它们的上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个增长速度不同，而且不在一个“档次档次”.随着随着x的增大，的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速
6、度的增长速度.尽管在尽管在x的一定范围内，的一定范围内，2xx0时，恒有时，恒有2x2x.总结二：总结二：一般地指数函数y=ax(a1)与一次函数y=kx(k0)的增长都与上述类似即使即使k值远远大于值远远大于a值，指数函数值，指数函数y=ax(a1)虽然有一段区间虽然有一段区间会小于会小于y=kx(k0)，但总会存在一个，但总会存在一个x0，当，当xx0时，时，y=ax(a1)的增长速度会大大超过的增长速度会大大超过y=kx(k0)的增长速度的增长速度.以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.110yxxy=lgx0不存在不存在01011201.3012301.4773
7、401.6024501.6995601.7786110yxy=lgx 总结一：虽然函数y=lgx与 在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.110yx 在(0,+)上增长速度不变，y=lgx在(0,+)上的增长速度在变化.110yx110yx 随着x的增大，的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.110yx总结二：一般地，虽然对数函数 与一次函数y=kx(k0)在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.log 1ayx a 随着随着x的增大，一次函数的增大，一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度，而对数函保持固定的增长速度，而对
8、数函数数 的增长速度越来越慢的增长速度越来越慢.log1ayx a不论不论a值比值比k值大多少，在一定范围内，值大多少，在一定范围内，logax 可能会大于可能会大于kx，但由于，但由于 的增长会慢于的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0时，恒有时，恒有 logax0，指数函数g(x)=ax(a1)，对数函数yloga x(a1)在定义域上的不同增长方式.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数
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