1、画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1).从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 _?(2).在区间在区间_上上,随着随着x的增大的增大,f(x)的值随着的值随着 _ f(x)=x(-,+)增大增大上升上升f(x)=x2(1).在区间在区间 _ _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _(2).在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _(-,0(0,+)增大增大减小减小图图1图图2图图1中中图图2中中一、单调性定义一、单调性定义 1.增函数增函数2.减函数减函数 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域
2、为I：如果对于定义域：如果对于定义域I内的内的某个区间某个区间D中的中的任意两个任意两个自变量的值自变量的值x1，x2.（1 1）当）当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数（2 2）当）当x1f(x2),那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数 注意：注意：1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质局部性质.2.2.定义中定义中x x1 1，x x2 2是是f f(x x)定义域某一个子区间定义域某一个子区间M M上的任意两个变量，上的任
3、意两个变量，不能利用特殊值代替不能利用特殊值代替.3.2.1-1 3.2.1-1 函数的单调性函数的单调性 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.二二.单调区间单调区间yoxoyxyoxyoxyox在在 是增函数是增函数在在 是减函数是减函数-2ba，,2ba在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox在在 是减函数是减函数在
4、在 是增函数是增函数-2ba，,2ba例1.下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？单调增区间为单调增区间为 2 2，1,31,3，55 5 5，-2),1-2),1，3)3)例例2.物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一告诉我们，对于一定量的气体，当其体积定量的气体，当其体积V减小时，压强减小时，压强p将增大。试用函数的单将增大。试用函数的单调性证明之。调性证明之。()kpkV0证明：设V1，V2(0，+)，且V1V2，21121212()()VVkkp Vp VkVVVV则由V1，V2(0，+)且
5、V10,V2-V1 0又k0,于是0)()(21VpVp12 ()()p Vp V即 函数 是减函数.,0kpkV取值定号变形作差定论定论也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.1.取值取值：任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2.作差作差：f(x1)f(x2)；3.变形变形：将：将f(x1)f(x2)进行变形进行变形（通常是（通常是因式分解和配方因式分解和配方）；）；4.定号定号：即判断差：即判断差f(x1)f(x2)的正负；的正负；5.定论定论：即指出函数：即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性上的单调性证明函数证明函数f(x)在区间在区间D上的单调性的步骤：上的单调性的
6、步骤：增增1x变式变式1 1：（2）证明：函数）证明：函数f(x)x22x在在1,+）上是增函数上是增函数证明：证明：设设x1，x2 1,+），且，且x1 x x1 1 1 1，x x2 2x x1 100，x x1 1x x2 2-20-20，f f(x x2 2)f f(x x1 1)0)0，f f(x x)在在1,+）上是增函数上是增函数222211(2)(2)xxxx222112()(22)xxxxA函数函数f(x)先增后减先增后减 B函数函数f(x)先减后增先减后增C函数函数f(x)是是R上的增函数上的增函数 D函数函数f(x)是是R上的减函数上的减函数C C【思路探究】本题由二次函
7、数的单调性求参问题二次函数在某一区间本题由二次函数的单调性求参问题二次函数在某一区间上的单调性取决于对称轴，所以需先确定函数图象的对称轴上的单调性取决于对称轴，所以需先确定函数图象的对称轴解解：函数函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴的图象开口向上，对称轴为直线为直线xa，画出草图如图所示，画出草图如图所示由图象可知函数在由图象可知函数在a，)单调递增，因此要使函数单调递增，因此要使函数f(x)在区间在区间1，)上单调递增，上单调递增，只需只需a1实数实数a的取值范围的取值范围a1例例3.3.已知函数已知函数f(x)f(x)x x2 22ax2ax3 3在区间在区间11，）上单调递增
8、，）上单调递增，求实数求实数a a的取值范围的取值范围1 1已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：视参数为已知数，依据函数在图象视参数为已知数，依据函数在图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参2 2依据常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解依据常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解若一函数在区间若一函数在区间 a a，b b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的归纳归纳:(2)若函数f
9、(x)x22(a1)x4在区间(，4单调递减，则实数a的取值范围是_变式变式2 2：(1)若一次函数若一次函数f(x)(m2)x1在区间在区间(，+)单调递减，单调递减，则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_(3)若函数f(x)x22(a1)x4的单调递减区间是(，4，则实数a的值是_a3m 2【解析解析】因为函数的单调递减区间为因为函数的单调递减区间为(，4，且函数图象的对称轴为直线且函数图象的对称轴为直线x1a，所以有所以有1a4，即，即a3.【答案答案】a3取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 定定论论 1证明函数的单调性时要注意以下2点：(1)用定义证明函数单调性时，易
10、忽视x1，x2的任意性(2)函数单调性的证明现在只能用定义证明2判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法3已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题二是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)f(x2)x1x2.1.P39 习题习题13（A组）组）第第2(2)题题五、作业五、作业1()f xxx2.证明证明 在在（1，）是增函数3.P44 第第9题题归纳归纳:单调性的定义的单调性的定义的“双向性双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围
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