2.2 基本不等式ppt课件(001)-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.ppt

1、2.2 2.2 基本不等式基本不等式:2ababICM2002会标会标 2002 2002年年第第2424届届国际数学大会国际数学大会（ICM-2002ICM-2002）在北京召开，此届）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的央正是经过艺术处理的“弦图弦图”。它标志着中国古代的数学成它标志着中国古代的数学成就又像一只转动着的风车，欢迎就又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。来自世界各地的数学家。探究：探究：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？2abab证明：要证证明：要证 只

2、要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法2abab)0,0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab重要不等式：重要不等式：(当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)基本不等式：基本不等式：(0,0)2ababab222(,)abab aR bR(当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)注意：注意：(1)两个不等式的两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而等号成立的条件相同而等号成立的条件相同.(2)称为正数称为正数a、b的几何平均数的几何平均数

3、,称为它们的算术平均数称为它们的算术平均数.ab2ab基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释：半弦半弦CD不大于半径不大于半径OF(OA).ABDCababO2abFE如图如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C C是是ABAB上任一点，上任一点，AC=AC=a,CBa,CB=b,=b,过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DEDE，连接，连接AD,BD,AD,BD,则则CD=CD=,半径为半径为.例例2.2.判断以下解题过程的正误：判断以下解题过程的正误：.2原式有最小值原式有最小值12xxx,21:解解=x;,0)1(的最值的最值求求已知已知 1 xxx不满足不满足“一正一正

4、”1.yxx=求的值域不满足不满足“二定二定”21(2),1;2xx已知求的最小值222:1212,=1,1,.xxxxx =解当且仅当即时 等号成立2122.xx=有最小值为4(3)3,.xxx已知求的最小值不满足不满足“三相等三相等”44:24,4.4,2,.xxxxxxx=解原式有最小值当且仅当即时 等号成立小结：利用小结：利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabba(1)一正一正：各项均为正数：各项均为正数(2)二定二定：两个正数积为定值，和有最小值：两个正数积为定值，和有最小值.两个正数和为定值，积有最大值两个正数和为定值，积有最大值.(3)三相等三

5、相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”,否则会出现错误否则会出现错误.“一正，二定，三等一正，二定，三等”练习：练习：例3.求函数 的最小值)3(31=xxxy练习：练习：23.1,1yxxx=求，的最小值.练习：练习：2211221122111.1yxxxxxx=3.解：max21.221121xxyx =当且仅当即时 等,号成立.于是练习：练习：23.1,1yxxx=求，的最小值.1.1.两个不等式两个不等式不等式不等式内容内容等号成立条件等号成立条件重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式22ab2ab(a,bR)“a=b”“a=b”时取时取“=”=

6、”abab(a0,b0)2“a=b”“a=b”时取时取“=”=”2.利用利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabba 一 正正 （条件条件）二 定定 （前提前提）三 相等相等（保证保证）小结小结:作业：作业：P48习题习题2.2：3，1,5 1.1.两个不等式两个不等式不等式不等式内容内容等号成立条件等号成立条件重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式22ab2ab(a,bR)“a=b”“a=b”时取时取“=”=”abab(a0,b0)2“a=b”“a=b”时取时取“=”=”2.2 2.2 基本不等式的应用基本不等式的应用（第二课时）（第二课时）练习：练习：B

7、 1、利用利用常用方法：常用方法：2(0,0)a bab ab 变式变式1.133xyxx=当当时时，则则的的最最小小值值是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.变式变式2.10 xyxx=当当时时，则则的的最最大大值值是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.变式变式3.122xyxx=当当时时，则则的的取取值值范范围围是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.例例1.122xyxx=当当时时，则则的的最最小小值值是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.5 4-2 1(,)22.利用利用()8204.f xxxx=求函数的最大值例例2.2()(0,0)2a babab变式变式1.

8、10()1 2.2xf xxx=已知，则的最大值是_188 变式变式3.2011.xyxx=已知，则的最大值是_222abab12变式变式2.0,0,+=1.xyx yxy已知且2，则的最大值是_183.2710(1).1xxyxx=求的最小值9例例3.变式变式1.2221.1xxxyx=当时，则的最小值是_2D 变式变式3.211.22xxaaxx对，有恒成立，则 的取值范围是_1,)24.211.xyxyRxy=已知2，且，求的最小值例例4.9变式变式1.变式变式3.32 24 C 变式变式2.5.若若正实数正实数x，y满足满足xy3xy，则，则xy的最小值是的最小值是_变式变式1.变式变

9、式2.9若若正实数正实数x，y满足满足x2y2xy8,则则x+2y的最小值是的最小值是_4答案：（1）4；（2）4归纳：归纳：1.1.应用基本不等式求最值应用基本不等式求最值,必须按照必须按照“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的条件的条件进行进行。2.2.当不能直接使用基本不等式求最值时当不能直接使用基本不等式求最值时,需要先对函数进行适当的变需要先对函数进行适当的变形形。3.3.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形拆项、添项、配凑、变形”等方

10、法创设应用等方法创设应用基本不等式的条件基本不等式的条件。具体可归纳为三句话具体可归纳为三句话:若不正若不正,用其相反数用其相反数,改变不等号方向改变不等号方向;若不定若不定,应凑出定和或定积应凑出定和或定积;若不等若不等,一般用单调性一般用单调性.例例6.6.已知已知a、b、c都是正数，都是正数，求证：求证：(ab)(bc)(ca)8abc.变式变式1.已知已知a、b、c都是正数，都是正数，a+b+c=1,求证：求证：(1 a)(1 b)(1 c)8abc.221abba变式变式2.已知已知a、b都是正数都是正数,且且a+b=1,求证：求证：归纳归纳:1策略：策略：以以“已知已知”看看“可知

11、可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”2方法：方法：累加法累加法是不等式证明中的一种常用方法是不等式证明中的一种常用方法.RbababaabbaRcbacbaabcabccbaRcbacbaabcabccbaRbabaababbaRbabaababba,.22112,.33,.33,.22,.22.2;.1223333333322222注意使用条件熟练掌握几种变式例例.如图如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原一面可利用原有的墙有的墙,其他各面用钢筋网围成其他各面用钢筋网围成.现有现有36 m长的钢筋网材料长的钢筋网材料,每间虎每间虎笼的长

12、、宽分别设计为多少时笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大可使每间虎笼面积最大?分析:设每间虎笼长设每间虎笼长x m,宽宽y m,则问题转化为在则问题转化为在4x+6y=36的前提下求的前提下求xy的最大值的最大值.归纳：求实际问题中最值的一般思路求实际问题中最值的一般思路(1)(1)先读懂题意先读懂题意,设出变量设出变量,理清思路理清思路,列出函数关系式列出函数关系式.(2)(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)(3)在定义域内在定义域内,求函数的最大值或最小值时求函数的最大值或最小值时,一般先考虑基本不等式一般先考虑基本不等

13、式,当基本不等式求最值的条件不具备时当基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性再考虑函数的单调性.(4)(4)正确写出答案正确写出答案.1.如图如图,有一张单栏的竖向张贴的海报有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为它的印刷面积为72 dm2(图中阴影图中阴影部分部分),上下空白各宽上下空白各宽2 dm,左右空白各宽左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最则四周空白部分面积的最小值是小值是_dm2.练习：练习：56(1)(1)将将20192019年该产品的利润年该产品的利润y(y(万元万元)表示为年促销费用表示为年促销费用m(m(万元万元)的函数的函数;(2)(2)该厂家该厂家

14、20192019年的促销费用投入多少万元时年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大厂家的利润最大,并求并求出最大利润出最大利润.练习：练习：(1)(1)将将20192019年该产品的利润年该产品的利润y(y(万元万元)表示为年促销费用表示为年促销费用m(m(万元万元)的函数的函数;练习：练习：1.1.两个不等式两个不等式不等式不等式内容内容等号成立条件等号成立条件重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式22ab2ab(a,bR)“a=b”“a=b”时取时取“=”=”abab(a0,b0)2“a=b”“a=b”时取时取“=”=”2.利用利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabba 一 正正 （条件条件）二 定定 （前提前提）三 相等相等（保证保证）小结小结 已已知正数知正数 a、b 满足满足 ab1，求证：，求证：11(2)4;ab正本作业：