1、 左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?4个全等的直角三角形面积和为2ab 正方形ABCD的面积为 图中的相等与不等关系有：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形 四个全等的直角三角形的面积的和小于正方形ABCD的面积 设直角三角形的两条直角边的长为a，b（ab），那么正方形的边长为 .22ba 22ba abba22222ba abba 一般地，对于任意实数a，b，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.abba22222ba ababba22
2、222ba ab重要不等式例题1 判断下列不等式是否成立：22144xyxy 220,4yyxxy 40,0,2aba bab 222232baab0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？一般地，对于任意实数a,b0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.abba2)0,0(2baabba基本不等式：a,b的算术平均数a,b的几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.证明：要证 只要证 要证，只要证 要证，只要证 显然是成立的.当且仅当a=b时，中的等号成立.abba2abba202abba0)(2 ba证明一：分析法 一般地，对于任意实数a,b0，我们有 ，当且
3、仅当a=b时，等号成立.abba2证明二：图象法 AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？2baabCDbaCDabCD 2baR2baab2baab半径不小于半弦ab适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,bRa0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式abba222abba2思考：思考：22222a bab试比较，的大小22222=ababab结论：（当且仅当时取“”号）重要不等式与基本不等式的变形abba
4、222baab重要不等式：),(222Rbaabba，当且仅当a=b时，等号成立.基本不等式：)0,0(2baabba，当且仅当a=b时，等号成立.变形：222baab变形：重要不等式：),(222Rbaabba，当且仅当a=b时，等号成立.基本不等式：)0,0(2baabba，当且仅当a=b时，等号成立.例题1 若若x,y0，且，且x+y=1,求求xy的最大值的最大值.变式 若若x,y0，且，且2x+y=1,求求xy的最大值的最大值.例题2 若若x,y0，且，且xy=1,求求x+y的最小值的最小值.变式 若若x,y0，且，且xy=1,求求2x+y的最小值的最小值.例题3积定和最小，和定积最大
5、。应用基本不等式求最值的条件：一正一正a a与与b b为正实数为正实数二定二定积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大三相等三相等若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能够相等必须能够相等解：例题4 已知已知x0，求，求 的最小值的最小值.xx1.2.111212102因此最小值为时，等号成立，即当且仅当xxxxxxxxx变式1 已知已知x0，求，求 的最小值的最小值.xx123 变式2 已知已知x2，能求，能求 的最小值吗？的最小值吗？xx1（1 1）求函数）求函数 的最小值的最小值)2(21xxxy（2 2）已知）已知0 x0，且，且x+y=1,求求 的最小值的最小值.yx11变式1 若若x,y0，且，且x+y=2,求求 的最小值的最小值.yx11变式2 若若x,y0，且，且 ,求求x+y的最小值的最小值.111yx例题7 已知已知 且满足且满足8yxxy,0,0yx（1 1）求）求 的取值范围；的取值范围；xy（2 2）求）求 的取值范围。的取值范围。yx
