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1、2022-8-11多目标优化方法及实例解析多目标优化方法及实例多目标优化方法及实例解析解析多目标优化方法及实例解析多目标规划是数学规划的一个分支。多目标规划是数学规划的一个分支。研究研究多于一个的目标函数多于一个的目标函数在在给定区域给定区域上的最优化。又称多上的最优化。又称多目标最优化。通常记为目标最优化。通常记为MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个

2、目标来比较，而这些目标有时不甚协判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国年法国经济学家经济学家V.帕雷托最早研究帕雷托最早研究不可比较目标的不可比较目标的优化问题，之后，优化问题，之后，J.冯冯诺伊曼、诺伊曼、H.W.库恩、库恩、A.W.塔克、塔克、A.M.日夫里翁等日夫里翁等数学家做了深入的探讨数学家做了深入的探讨，但是，但是尚未有一个尚未有一个完全令人满意的定义完全令人满意的定义。多目标优化方法及实例解析求解多目标规划的方法大体上有以下几种：求解多目标规划的方法大

3、体上有以下几种：一种是一种是化多为少的方法化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；法等；另一种叫另一种叫分层序列法分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形修正单纯形法法来求解；还有一种称为来求解；还有一种

4、称为层次分析法层次分析法，是由美国运筹学家，是由美国运筹学家沙旦于沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。的情况更为实用。多目标优化方法及实例解析 多目标规划模型多目标规划模型（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1 1）两个以上的目标函数；）两个以上的目标函数；（2 2）若干个约束条件。）若干个约束条件。（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地（二）对于多目

5、标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：描写为如下形式：一一 多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解 式中：为决策变量向量。多目标优化方法及实例解析缩写形式：缩写形式：有有n个决策变量，个决策变量，k个目标函数，个目标函数，m个约束方程，个约束方程，则：则：Z=F(X)是是k维函数向量，维函数向量，(X)是是m维函数向量；维函数向量；G是是m维常数向量；维常数向量；（1）（2）多目标优化方法及实例解析 对于线性多目标规划线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：式中：式中：X X 为为n n 维决策变量向量；维决策变量向量；C C 为为k kn n 矩阵，即目标函数系数矩阵；矩阵，

6、即目标函数系数矩阵；B B 为为m mn n 矩阵，即约束方程系数矩阵；矩阵，即约束方程系数矩阵；b b 为为m m 维的向量，即约束向量。维的向量，即约束向量。多目标优化方法及实例解析多目标规划的非劣解多目标规划的非劣解 多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标优化方法及实例解析 在图在图1中，中，max(f1,f2).就方案就方案和和来说，来说，的的f2目标值比目标值比大，大，但其目标

7、值但其目标值f1比比小，小，因此无法确定这两个方因此无法确定这两个方案的优与劣。案的优与劣。在各个方案之间，在各个方案之间，显然：显然：比比好，好，比比好好,比比好好,比比好好。非劣解非劣解可以用图1说明。图图1 多目标规划的劣解与非劣解多目标规划的劣解与非劣解多目标优化方法及实例解析 而对于方案而对于方案、之间则无法确之间则无法确定优劣，而且又没有定优劣，而且又没有比它们更好的其他方比它们更好的其他方案，所以它们就被称案，所以它们就被称为多目标规划问题的为多目标规划问题的非劣解非劣解或或有效解有效解，其余方案都称为其余方案都称为劣解劣解。所有非劣解构成的集所有非劣解构成的集合称为合称为非劣解

8、集非劣解集。当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解非支配解或帕累托解）。）。多目标优化方法及实例解析 效用最优化模型效用最优化模型 罚款模型罚款模型 约束模型约束模型 目标达到法目标达到法 目标规划模型目标规划模型二二 多目标规划求解技术简介多目标规划求解技术简介 为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题多目标规划问题转化为

9、单目标规划问题去处理。实现去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。这种转化，有如下几种建模方法。多目标优化方法及实例解析 是与各目标函数相关的是与各目标函数相关的效用函数的效用函数的和函数和函数。方法一方法一效用最优化模型效用最优化模型（线性加权法线性加权法）（1 1）（2 2）思想思想：规划问题的各个目标函数可以通过：规划问题的各个目标函数可以通过一定一定的的方式方式进行进行求和求和运算。这种方法将一系列的运算。这种方法将一系列的目标函数目标函数与与效用函数效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：调

10、，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：多目标优化方法及实例解析在在用效用函数作为规划目标用效用函数作为规划目标时，需要确定一组时，需要确定一组权值权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，i 应满足：向量形式：多目标优化方法及实例解析方法二方法二罚款模型罚款模型（理想点法）（理想点法）思想思想:规划决策者对每一个目标函数都能提出所规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值期望的值（或称（或称满意值满意值）；）；通过比较实际值通过比较实际值fi与期望值与期望值fi*之间的偏差来选择问题的之间的偏差来选择问题的解，其数学

11、表达式如下：解，其数学表达式如下：或写成矩阵形式：式中，式中，是与第是与第i个目标函数相关的个目标函数相关的权重权重；A是由是由(i=1,2,k)组成的组成的mm对角矩阵。对角矩阵。多目标优化方法及实例解析理论依据理论依据 ：若规划问题的：若规划问题的某一目标某一目标可以给出一个可供可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以选择的范围，则该目标就可以作为约束条件作为约束条件而被排除出目而被排除出目标组，进入约束条件组中。标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标供选择的范

12、围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：规划问题：方法三方法三 约束模型约束模型（极大极小法极大极小法）多目标优化方法及实例解析方法四方法四 目标达到法目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：首先将多目标规划模型化为如下标准形式：多目标优化方法及实例解析在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标化的期望目标fi*(i=1,2,k),每一个目标对应的权重系数为每一个目标对应的权重系数为 i*(i=1,2,k)，再设再设 为一松弛因子。为一松弛因子。那么，多目标规划问题就转化为：那么，多目标规划问题就转化为：多目

13、标优化方法及实例解析方法五方法五 目标规划模型（目标规划法）目标规划模型（目标规划法）需要预先确定各个目标的期望值需要预先确定各个目标的期望值fi*，同时给每一，同时给每一个目标赋予一个个目标赋予一个优先因子优先因子和和权系数权系数，假定有，假定有K个目标，个目标，L个优先级个优先级(LK)，目标规划模型的数学形式为：，目标规划模型的数学形式为：多目标优化方法及实例解析式中：式中：di+和和di分别表示与分别表示与fi相应的、与相应的、与fi*相比的目相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；标超过值和不足值，即正、负偏差变量；pl表示第表示第l个优先级；个优先级；lk+、lk-表示在同一优

14、先级表示在同一优先级pl 中，不同目标的正、中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。负偏差变量的权系数。多目标优化方法及实例解析三三 目标规划方法目标规划方法 通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。是解决多目标规划问题的重要技术之一。这一方法是美国学者查恩斯（这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯）和库伯（W.W.Cooper）于）于1961年在线性规划的基础上提出来年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李）和李（Sang.Lee）等

15、人，进一步给出了求解目标规划问题）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法的一般性方法单纯形方法。单纯形方法。目标规划模型目标规划模型目标规划的图解法目标规划的图解法求解目标规划的单纯形方法求解目标规划的单纯形方法多目标优化方法及实例解析 目标规划模型目标规划模型 给定若干目标以及实现这些目标的优先顺给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。标值的偏差最小。1.1.基本思想基本思想：2.2.目标规划的有关概念目标规划的有关概念例例1 1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、：某一个企业利用某种原材料

16、和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8 8万元万元和和1010万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为分别为2 2个单位和个单位和1 1个单位，需要占用的设备分别为个单位，需要占用的设备分别为1 1单位单位台时和台时和2 2单位台时；原材料拥有量为单位台时；原材料拥有量为1111个单位；可利用的个单位；可利用的设备总台时为设备总台时为1010单位台时。试问：如何确定其生产方案单位台时。试问：如何确定其生产方案使得企业获利最大？使得企业获利最大？多目标优化方法及实例解析

17、由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求x1，x2，使，使将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为方案为:（万元）。（万元）。甲甲乙乙拥有量拥有量原材料原材料2111设备设备(台时台时)1210单件利润单件利润810生产甲、乙两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？多目标优化方法及实例解析 但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市

18、场等一系列其它条件，如：等一系列其它条件，如：超过计划供应的超过计划供应的原材料原材料，需用高价采购，这就会使生产，需用高价采购，这就会使生产 成本增加。成本增加。应尽可能地应尽可能地充分利用设备的有效台时充分利用设备的有效台时，但，但不希望加班不希望加班。应尽可能应尽可能达到并超过计划产值指标达到并超过计划产值指标5656万元万元。这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，根据市场信息，甲种产品的需求量有下降

19、的趋势，因因 此此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。多目标优化方法及实例解析假定有假定有L个目标，个目标，K个优先级个优先级(KL)，n个变量。在同一个变量。在同一优先级优先级pk中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为为 kl+、kl-，则多目标规划问题可以表示为：，则多目标规划问题可以表示为：n目标规划模型的一般形式目标规划模型的一般形式目标函数目标约束绝对约束非负约束多目标优化方法及实例解析在以上各式中，在以上各式中，kl+、kl-、分别为赋予、分别为赋予pl优先因子的第优先因子的第k个目标的正、个目标的正、负

20、偏差变量的权系数，负偏差变量的权系数，gk为第为第k个目标的预期值，个目标的预期值，xj为决策变量，为决策变量，dk+、dk-、分别为第、分别为第k 个目标的正、负偏差变量，个目标的正、负偏差变量，目标函数目标函数目标约束目标约束绝对约束绝对约束非负约束非负约束多目标优化方法及实例解析目标规划数学模型中的有关概念。目标规划数学模型中的有关概念。(1)偏差变量偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、正、负偏差变量负偏差变量d+、d-。其中，正偏差变量表示决策值超过目。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达

21、到目标值的部分。标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有故有d+d-=0成立。成立。(2)绝对约束和目标约束绝对约束和目标约束 绝对约束绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束硬约束。多目标优化方法及实例解析 目标约束目标约束，目标规划所特有的，可以将

22、约束方程右端项看目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差的偏差 ，可加入正负偏差变量，是，可加入正负偏差变量，是软约束软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。要将绝对约束转化为目标约束。(3)优先因子（优先等级）与权系数优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个

23、目标常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子因子p1，次位的目标赋予优先因子，次位的目标赋予优先因子p2，并规定，并规定plpl+1(l=1,2,.)表示表示pl比比pl+1有更大的优先权。有更大的优先权。即即:首先保证首先保证p1级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而而p2级目标是在实现级目标是在实现p1级目标的基础上考虑的；依此类推。级目标的基础上考虑的；依此类推。多目标优化方法及实例解析 若要区别具有相同优先因子若要区别具有相同优先因子pl的目标

24、的差别，就可以分的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数别赋予它们不同的权系数 i*(i=1,2,k)。这些优先因子和。这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。权系数都由决策者按照具体情况而定。(3)优先因子（优先等级）与权系数优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子先因子p1，次位的目标赋予优先因子，次位的目标赋予优先因子p2，并规定，并规定plpl+1(l=1,2,.)表示表示pl比比pl

25、+1有更大的优先权。有更大的优先权。即即:首先保证首先保证p1级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而而p2级目标是在实现级目标是在实现p1级目标的基础上考虑的；依此类推。级目标的基础上考虑的；依此类推。多目标优化方法及实例解析(4)(4)目标函数目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函

26、数只能是：规划的目标函数只能是：a)a)要求要求恰好达到目标值恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽，就是正、负偏差变量都要尽可能小可能小,即即 b)b)要求不超过目标值，即允许要求不超过目标值，即允许达不到目标值达不到目标值，就是正，就是正偏差变量要尽可能小，即偏差变量要尽可能小，即 c)c)要求要求超过目标值超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即量要尽可能小，即 基本形式有三种：基本形式有三种：多目标优化方法及实例解析例例2：在例在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的

27、产量不超过乙种产品的产量；础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于小于56万元。并分别赋予这三个目标优先因子万元。并分别赋予这三个目标优先因子p1,p2,p3。试。试建立该问题的目标规划模型。建立该问题的目标规划模型。分析分析:题目有三个目标层次，包含三个目标值。题目有三个目标层次，包含三个目标值。第一目标：第一目标：p1d1+;即产品甲的产量即产品甲的产量不大于不大于乙的产量。乙的产量。第二目标：第二目标：p2(d2+d);即即充分利用设备的有限台时，不加充分利用设备的有限台时

28、，不加班班；第三目标：第三目标：p3d3-;即产值即产值不小于不小于56万元；万元；多目标优化方法及实例解析例例2：在例：在例1中，如果中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于小于56万元。并分别赋予这三个目标优先因子万元。并分别赋予这三个目标优先因子p1,p2,p3。试。试建立该问题的目标规划模型。建立该问题的目标规划模型。解：解：根据题意，这一决策问题的

29、目标规划模型是根据题意，这一决策问题的目标规划模型是多目标优化方法及实例解析例3、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。已知资料如表所示。(1)(1)试制定生产计划，使获得的利润最试制定生产计划，使获得的利润最大？大？12070单件利润单件利润3000103设备台时设备台时200054煤炭煤炭360049钢材钢材资源限制资源限制乙乙甲甲单位单位产品产品资源资源消耗消耗解:设生产甲产品设生产甲产品:x1，乙产品，乙产品:x2,(1)多目标优化方法及实例解析 若在例若在例3中提出下列要求：中提出下列要求：1、完成或超额完成利润

30、指标、完成或超额完成利润指标50000元；元；2、产品甲不超过、产品甲不超过200件，产品乙不低于件，产品乙不低于250件；件；3、现有钢材、现有钢材3600吨必须用完。吨必须用完。试建立目标规划模型。试建立目标规划模型。分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。题目有三个目标层次，包含四个目标值。第一目标：第一目标：p1d1-第二目标：有两个要求即甲第二目标：有两个要求即甲d2+，乙，乙d3-，但两个具，但两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即润比作为权系数即70:120，化简为，化简为7:12。第三目标

31、：第三目标：多目标优化方法及实例解析所以目标规划模型为：所以目标规划模型为：多目标优化方法及实例解析 图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。原理和过程。图解法解题步骤如下图解法解题步骤如下：1 1、确定确定各约束条件的各约束条件的可行域可行域。即将所有约束条件（包括。即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量暂不考虑正负偏差变量）在坐标平面上）在坐标平面上表示出来；表示出来；2

32、2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏标出正、负偏差变量值增大的方向差变量值增大的方向；n 目标规划的图解法目标规划的图解法 3 3、求满足、求满足最高优先等级目标的解最高优先等级目标的解；4 4、转到、转到下一个优先等级下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解目标的解；5 5、重复、重复4 4，直到所有优先等级的目标都已，直到所有优先等级的目标都已审查完毕审查完毕为止；为止；6 6、确定、确定最优解最优解和和满意解满意解。多目标优化方法及实例解

33、析例4、用图解法求解目标规划问题012345678123456 Ax2 x1BC由于由于d2-取最小，所以，取最小，所以，（2）线可向上移动，故）线可向上移动，故B，C线段上的点是该问线段上的点是该问题的最优解。题的最优解。多目标优化方法及实例解析 例例5 5、已知一个生产已知一个生产计划的线性规划模型为计划的线性规划模型为 其中目标函数为总利润，其中目标函数为总利润，x1,x2为产品为产品A、B产量。产量。现有下列目标：现有下列目标：1、要求总利润必须、要求总利润必须超过超过2500元；元；2、考虑产品受市场影响，为避免积压，、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过的生产量不超

34、过60件和件和100件件；3、由于甲资源供应比较紧张，不要、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。试建立目标规划模型，并用图解法求解。多目标优化方法及实例解析解：以产品以产品A、B的单件利润比的单件利润比2.5:1为权系数，模型如下：为权系数，模型如下：多目标优化方法及实例解析0 x2 0 x11401201008060402020 40 60 80 100ABCD 结论：C(60,58.3)为所求的满意解。多目标优化方法及实例解析 检验：将上述结果带入模型，因检验：将上述结果带入模型，因d1+d1-0；d3+d3-0；d2-=0，d2+存

35、在；存在；d4+0，d4-存在。所以，有存在。所以，有下式：下式：minZ=将将x160，x258.3带入约束条件，得带入约束条件，得30601258.32499.62500；260+58.3=178.3140；16060158.358.3100 由上可知：若由上可知：若A、B的计划产量为的计划产量为60件和件和58.3件时，所需甲件时，所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低为此，企业必须采取措施降低A、B产品对甲资源的消耗量，产品对甲资源的消耗量，由原来的由原来的100降至降至78.5（14

36、0178.30.785），才能使），才能使生产方案（生产方案（60，58.3）成为可行方案。）成为可行方案。多目标优化方法及实例解析n求解目标规则的单纯形方法求解目标规则的单纯形方法 目标规划模型仍可以用单纯形方法求解目标规划模型仍可以用单纯形方法求解，在求解时作以，在求解时作以下规定：下规定：因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，所以检验数的正、负首先决定于所以检验数的正、负首先决定于P1的系数的系数 1j的正负，的正负，若若 1j=0，则

37、检验数的正、负就决定于，则检验数的正、负就决定于p2的系数的系数 2j的正负，的正负，多目标优化方法及实例解析所以检验数的正、负首先决定于所以检验数的正、负首先决定于p1的系数的系数 1j的正、负，的正、负，若若 1j=0，则检验数的正、负就决定于，则检验数的正、负就决定于p2的系数的系数 2j的正、的正、负，下面可依此类推。负，下面可依此类推。据此，我们可以总结出求解目标规划问题的单纯形方法据此，我们可以总结出求解目标规划问题的单纯形方法的计算步骤如下：的计算步骤如下：建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别排成分别排成L行，置行，

38、置l=1。检查该行中是否存在负数，且对应的前检查该行中是否存在负数，且对应的前L-1行的系数是行的系数是零。若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转零。若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转。若无负数，则转若无负数，则转。多目标优化方法及实例解析建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别排成分别排成L行，置行，置l=1。检查该行中是否存在负数，且对应的前检查该行中是否存在负数，且对应的前L-1行的系数是零。行的系数是零。若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转。若无。若无负数，则转负数，

39、则转。按最小比值规则（按最小比值规则（规则）确定换出变量，当存在两个规则）确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。变量为换出变量。按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回。当当l=L时，计算结束，表中的解即为满意解。否则置时，计算结束，表中的解即为满意解。否则置l=l+1，返回，返回。多目标优化方法及实例解析例例4：试用试用单纯形法单纯形法求解例求解例2所描述的目标规划问题所描述的目标规划问题.解解：首先将这一问题化为如下：首先将这一问题化为如

40、下标准形式标准形式：多目标优化方法及实例解析取取 为初始基变量，列出初始单纯形表。为初始基变量，列出初始单纯形表。取取l=1，检查检验数的，检查检验数的p1行，因该行无负检验数，故转行，因该行无负检验数，故转。因为因为l=1L=3，置，置l=l+1=2，返回，返回。检查发现检验数检查发现检验数p2行中有行中有-1，-2，因为有，因为有min-1,-2=-2，所，所以以x2为换入变量，转入为换入变量，转入。多目标优化方法及实例解析 按按 规则计算：规则计算：，所以，所以d2-为换出为换出变量，转入变量，转入。进行换基运算，得表进行换基运算，得表3。以此类推，直至得到最终单纯。以此类推，直至得到最

41、终单纯形表形表4为止。为止。多目标优化方法及实例解析表表2多目标优化方法及实例解析表表3由表由表3可知，可知，x1*=2，x2*=4，为满意解。检查检验数行，为满意解。检查检验数行，发现发现非基变量非基变量d3+的检验数为的检验数为0，这表明该问题存在多重解。，这表明该问题存在多重解。多目标优化方法及实例解析表表4 4 在表在表3中，以非基变量中，以非基变量d3+为换入变量，为换入变量，d1-为换出变量，为换出变量，经迭代得到表经迭代得到表4。从表从表4可以看出，可以看出，x1*=10/3，x2*=10/3也是该问题的满也是该问题的满意解。意解。多目标优化方法及实例解析 用目标达到法求解多目标

42、规划的计算过程，可以通用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用过调用Matlab软件系统优化工具箱中的软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实函数实现。该函数的使用方法，如下现。该函数的使用方法，如下:多目标规划的多目标规划的Matlab求解求解X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT=FGOALATTAIN(FUN,X0,.)多目标优化方法及实例解析在在MATLAB中，多目标问

43、题中，多目标问题的标准形式为的标准形式为:其中：其中：x、b、beq、lb、ub是向量；是向量；A、Aeq为矩阵；为矩阵；C(x)、Ceq(x)和和F(x)是返回向量的函数；是返回向量的函数；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数；可以是非线性函数；weight为权值系数向量，用于控制对应的目标函数与用户为权值系数向量，用于控制对应的目标函数与用户定义的目标函数值的接近程度；定义的目标函数值的接近程度；goal为用户设计的与目标函数相应的目标函数值向量；为用户设计的与目标函数相应的目标函数值向量；为一个松弛因子标量；为一个松弛因子标量；F(x)为多目标规划中的目标函为多目标规划中的目

44、标函数向量。数向量。多目标优化方法及实例解析例例：某工厂因生产需要，欲采购一种原料，市场上这种：某工厂因生产需要，欲采购一种原料，市场上这种原材料有两个等级，甲级单价原材料有两个等级，甲级单价2元元/kg,乙级单价乙级单价1元元/kg，现要求总费用不超过现要求总费用不超过200元，购得原料总量不少于元，购得原料总量不少于100kg,其中甲级原料不少于其中甲级原料不少于50kg，问如何确定最好的采购方案。，问如何确定最好的采购方案。分析分析:列出方程列出方程x150;2x1+x2200;x1+x2100;x1,x20化为标准形化为标准形minf1=2x1+x2minf2=x1 x2minf3=x

45、1s.t:2x1+x2200 x1 x2 100 x1 50 x1,x20多目标优化方法及实例解析matlab程序程序fun=2*x(1)+x(2),-x(1)-x(2),-x(1);a=21;-1-1;-10;b=200-100-20;goal=200,-100,-50;weight=goal;x0=55,55;lb=0,0;X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,lb,)化为标准形化为标准形minf1=2x1+x2minf2=x1 x2minf3=x1s.t:2x1+x220

46、0 x1 x2 100 x1 50 x1,x20多目标优化方法及实例解析Optimizationterminated:Searchdirectionlessthan2*options.TolXandmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-006):lowerupperineqlinineqnonlin223x=50.000050.0000fval=150.0000-100.0000-50.0000attainfactor=-1.4476e-02

47、4exitflag=4多目标优化方法及实例解析一、土地利用问题一、土地利用问题 二、生产计划问题二、生产计划问题 三、投资问题三、投资问题 四四 多目标规划应用实例多目标规划应用实例 多目标优化方法及实例解析大豆大豆一、土地利用问题一、土地利用问题例例:某农场某农场I、II、III等耕地的面积分别为等耕地的面积分别为100hm2、300hm2和和200hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如下表所示。若三种等耕地种植

48、三种作物的单产如下表所示。若三种作物的售价分别为水稻作物的售价分别为水稻1.20元元/kg，大豆，大豆1.50元元/kg，玉米，玉米0.80元元/kg。那么，（。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量）如何制订种植计划，才能使总产量最大和总产值最大？最大和总产值最大？I I等等耕耕地地IIII等等耕耕地地IIIIII等等耕耕地地水稻水稻11000110009500950090009000大豆大豆800080006800680060006000玉米玉米140001400012000120001000010000多目标优化方法及实例解析 取取xij决策变量，它表示在第决策变量，它表示在第j 等

49、级的耕地上种植第等级的耕地上种植第i种作物的面积。如果追求总产量最大和总产值最大双重种作物的面积。如果追求总产量最大和总产值最大双重目标，那么，目标函数包括：目标，那么，目标函数包括：追求总产值最大追求总产值最大追求总产量最大追求总产量最大多目标优化方法及实例解析根据题意，约束方程包括：根据题意，约束方程包括：v 非负约束非负约束 对上述多目标规划问题，我们可以采用如下方法，求对上述多目标规划问题，我们可以采用如下方法，求其非劣解。其非劣解。v 耕地面积约束耕地面积约束v 最低收获量约束最低收获量约束多目标优化方法及实例解析1.1.用线性加权方法用线性加权方法 取取 1 1=2 2=0.5=0

50、.5,重新构造目标函数：重新构造目标函数：这样，就将多目标规划转化为单目标线性规划。这样，就将多目标规划转化为单目标线性规划。用单纯形方法对该问题求解，可以得到一个满意解（非劣解）用单纯形方法对该问题求解，可以得到一个满意解（非劣解）方案，结果见表方案，结果见表多目标优化方法及实例解析 此方案是：此方案是：III等耕地全部种植水稻，等耕地全部种植水稻，I等耕地全等耕地全部种植玉米，部种植玉米，II等耕地种植大豆等耕地种植大豆19.1176公顷、种植公顷、种植玉米玉米280.8824公顷。在此方案下，线性加权目标函公顷。在此方案下，线性加权目标函数的最大取值为数的最大取值为6445600。用单纯