直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(1).学生版.doc

1、板块一.直线与椭圆(1)1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程：，焦点是，且，焦点是，且3椭圆的几何性质（用标准方程研究）：范围：，；对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆4直线：与圆锥

2、曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：若，相交；相离；相切若，得到一个一次方程：为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；为抛物线，则与抛物线的对称轴平行因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的

3、距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题典例分析【例1】 直线与椭圆交于不同两点和，且（其中为坐标原点），求的值【例2】 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和求的取值范围；设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否

4、存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由【例3】 已知，直线，椭圆， 分别为椭圆的左、右焦点当直线过右焦点时，求直线的方程；设直线与椭圆交于，两点，的重心分别为，若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围【例4】 已知椭圆短轴的一个端点，离心率过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点求椭圆的方程；求的值【例5】 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且离心率满足：成等比数列求椭圆方程；是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分，若存在，求出的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由【例6】 直线与椭圆交于、两点，记的面积

5、为，求在的条件下，的最大值；当，时，求直线的方程【例7】 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且求椭圆的方程；若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程【例8】 如图，点是椭圆短轴的下端点过作斜率为的直线交椭圆于，点在轴上，且轴，若点坐标为，求椭圆方程；若点坐标为，求的取值范围【例9】 已知椭圆的焦点是，点在椭圆上且满足 求椭圆的标准方程； 设直线与椭圆的交点为，）求使的面积为的点的个数；）设为椭圆上任一点，为坐标原点，求的值【例10】 已知椭圆的离心率为若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点 i）当

6、，求的值； ii）对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式【例11】 已知椭圆的左右焦点分别为在椭圆中有一内接三角形，其顶点的坐标，所在直线的斜率为 求椭圆的方程；当的面积最大时，求直线的方程【例12】 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上求椭圆的方程；过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程【例13】 已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上求椭圆的方程；过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程【例14】 椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为求椭圆的方程；

7、设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率【例15】 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点求椭圆的方程；是否存直线，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【例16】 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为求椭圆的标准方程；（准线方程）过点的直线与该椭圆交于，两点，且，求直线的方程【例17】 设椭圆 的左、右焦点分别为、，离心率， 、是直线：上的两个动点，且若，求、的值证明：当取最小值时，与共线【例18】 已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、若与轴相交于点，且是的中点，求直线的方程；设为椭圆上

8、一点，且（为坐标原点），求当时，实数的取值范围【例19】 已知、分别是椭圆的左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为，若求此椭圆的方程；点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于、两点（在第一象限内），又、是此椭圆上两点，并且满足，求证：向量与共线【例20】 一束光线从点出发，经直线：上一点反射后，恰好穿过点，求点关于直线的对称点的坐标；求以、为焦点且过点的椭圆的方程；设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，且不为、，求点到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标【例21】 已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点椭圆的右顶点为点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点求椭圆的方程；求线段的长度的最小值当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数；若不存在，说明理由8智康高中数学.板块一.直线与椭圆.题库