4.7 解三角形的综合应用.docx

1、1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)【知识拓展】1三角形的面积公式：S (p)，Srp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p)2坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，()(3)方

2、位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，)()1(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由正弦定理得，又B30，AB50(m)2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10答案B解析如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，9

3、0453015，点A在点B的北偏西15.3(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析如图，在ABC中，AB10，A60，B75，BC5.4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_.答案a解析由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，ADa，又在RtADB中，ABADa.5在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水

4、中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案6020解析如图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060.题型一求距离、高度问题例1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m(2)(2016三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯

5、角分别为30，60，则塔高是_ m.答案(1)C(2)解析(1)如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1) (m)(2)如图，设塔AB高为h，在RtCDB中，CD200 m，BCD906030，BC(m)在ABC中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC中，由正弦定理得，AB(m)思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念(2)选定或确定要创建的三角形，要首

6、先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.答案(1)30(2)3030解析(1)如图，由题意，BAC30，ACB105，B45，AC60 km，由正弦定理，BC30 k

7、m.(2)在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，树的高度为PBsin 4530()(3030)(m)题型二求角度问题例2如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得s

8、inACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.思维升华解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m

9、，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是_(仰角为直线AP与平面ABC所成角)答案解析如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx m，则OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m.所以cosBCA.所以AO(m)所以tan .当，即x时，tan 取得最大值为.题型三三角形与三角函数的综合问题例3(2016长春质检)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a7，若锐角A满足f()，且sin Bsin C，求bc的值解(1)

10、f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin(2x)，因此f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k(kZ)得kxk，kZ，即f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)(2)由f()2sin2()2sin A，又A为锐角，则A，由正弦定理可得2R，sin Bsin C，则bc13，由余弦定理可知，cos A，可求得bc40.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分

11、别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.10函数思想在解三角形中的应用典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距2

12、0海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则1分S .3分故当t时，Smin10，v30.即小艇

13、以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6分(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，8分故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.11分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时12分1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里

14、B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10.2在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A. km B. kmC. km D2 km答案A解析如图，在ABC中，由已知可得ACB45，AC2.3一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5 海里C10海里 D10 海里答案C解析如图所示，依题意有BAC60，BA

15、D75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45C60 D75答案B解析依题意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB

16、等于()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.故选D.6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m答案A解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，在RtBCD中，CBD30，BCh.在ABC中，A60，ACh，AB100，根据余弦定理得，(h)2h210022h100co

17、s 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.7江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案10解析如图，OMAOtan 4530 (m)，ONAOtan 303010 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN10 (m)8.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/

18、h.答案32解析设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得，v32.9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米答案50解析如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC50.*10.在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足abcx，则实数x的取

19、值范围是_答案(1，解析xsin Acos Asin.又A，sin sinsin ，即x(1，11要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.12(2015天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc

20、2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由cos A，可得sin A.由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2Acos sin 2Asin(2cos2A1)2sin Acos A.*13.在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解如图，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206，解得BC.又，sinABC，ABC45，故B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t，解得t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟