3.1 导数的概念及应用.docx

1、1导数与导函数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作，即f(x0) .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x

2、)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)【知识拓展】1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2(f(x)0)3af(x)bg(x)af(x)bg(x)4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线

3、在这点处的切线越“陡”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)若f(x)xex，则f(1)等于()A0 Be C2e De2答案C解析f(x)exxex，f(1)2e.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知yf(x)

4、在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3(2016襄阳模拟)函数f(x)excos x的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A0 B. C1 D.答案B解析由f(x)excos x，得f(x)excos xexsin x.所以f(0)e0cos 0e0sin 01，即倾斜角满足tan 1.根据0，)，得.4设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1) .答案2解析f(ex)xex，令

5、tex，则xln t(t0)，f(t)ln tt(t0)，得f(x)ln xx(x0)则f(x)1(x0)，故f(1)2.5曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程是 答案5xy20解析因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.题型一导数的计算例1求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y.解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x)(ln x)().(3)y().思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，

6、减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0等于()Ae2 B1 Cln 2 De(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2016全国丙卷)已知f(x

7、)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是 (2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)2xy10(2)B解析(1)设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10

8、.故选B.命题点2求参数的值例3(1)(2016泉州模拟)函数yex的切线方程为ymx，则m .(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于()A1 B3 C4 D2答案(1)e(2)D解析(1)设切点坐标为P(x0，y0)，由yex，得从而切线方程为又切线过定点(0,0)，从而解得x01，则me.(2)f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.

9、故选D.命题点3导数与函数图象的关系例4如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的()答案D解析函数的定义域为0，)，当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜

10、率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢(1)(2017郑州月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2 C1 D.(2)(201

11、6昆明模拟)设曲线y在点(，1)处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B. C2 D2答案(1)A(2)A解析(1)设切点的横坐标为x0，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)y，y|x1.由条件知1，a1.3求曲线的切线方程典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值错解展示现场纠错解易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上(1)当O(0,0)是切点时，由y3x26x2，得y|x02，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.由得x22xa0，依题意44a0，得a1

12、.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，则y0x3x2x0，3x6x02，又kx3x02，联立，得x0(x00舍去)，所以k，故直线l的方程为yx.由得x2xa0，依题意，4a0，得a.综上，a1或a.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况1若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()A2 B0 C2 D4答案D解析f(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.2(2016长沙模拟)若曲线f(x)x4x在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为()A

13、(1,2) B(1，3) C(1,0) D(1,5)答案C解析设点P的坐标为(x0，y0)，因为f(x)4x31，所以f(x0)4x13，即x01.把x01代入函数f(x)x4x，得y00，所以点P的坐标为(1,0)3若直线yx是曲线yx33x2px的切线，则实数p的值为()A1 B2 C. D1或答案D解析y3x26xp，设切点为P(x0，y0)，解得或4.(2017郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于()A1 B0 C2 D4答案B解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率

14、等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)13()0.5已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()Ae Be C. D答案C解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.6已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为()A. B. C1 D4答案A解析由题意可知g(x)，由f()g()，得，可得a，经检验，a满足题意

15、7已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2.那么f(x)的解析式为 答案f(x)exxx2解析由已知得f(x)f(1)ex1f(0)x，所以f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)f(1)e1，所以f(1)e.从而f(x)exxx2.8(2016邯郸模拟)曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 答案解析y，k，切线方程为y(x1)三角形面积S1.9若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 答案2，)解析f(x)x2axln x，定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点

16、，即xa0有解，ax2.*10.(2016哈122中学期末)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 答案，)解析y，y1(当且仅当ex，即x0时取等号)，1tan 0.又0，0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值并判断两条切线是否为同一条直线解根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，又f(1)1，得y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，

17、又g(1)6，得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以两条切线不是同一条直线*13.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.