4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数.docx

1、1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1

2、 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线.【知识拓展】1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正

3、切、四余弦2任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若(0，)，则tan sin .()(6)若为第一象限角，则sin cos 1.()1角870的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由8701 080210，知870角和210角

4、终边相同，在第三象限2(教材改编)已知角的终边与单位圆的交点为M(，y)，则sin 等于()A. BC. D答案B解析由题意知|r|2()2y21，所以y.由三角函数定义知sin y.3(2016潍坊二模)集合|kk，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.4已知在半径为120 mm的圆上，有一段弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_rad.答案1.2解析由题意知1.2 rad.5函数y的定义域为_答案(kZ)解析2cos x10，cos

5、 x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)题型一角及其表示例1(1)若k18045(kZ)，则在()A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限(2)已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_答案(1)A(2)(2k，2k)(kZ)解析(1)当k2n(nZ)时，2n18045n36045，为第一象限角；当k2n1 (nZ)时，(2n1)18045n360225，为第三象限角所以为第一或第三象限角故选A.(2)在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为(kZ)思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求

6、适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限(1)终边在直线yx上的角的集合是_(2)(2017广州调研)若角的终边与角的终边相同，则在0,2内终边与角的终边相同的角的个数为_答案(1)|k，kZ(2)3解析(1)在(0，)内终边在直线yx上的角为，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(2)2k(kZ)，(kZ)，依题意02，kZ，k，k0,1,2，即在0,2内与角的终边相同的角为，共三个题型二

7、弧度制例2(1)(2016成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_答案解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.(2)已知扇形的圆心角是，半径是r，弧长为l.若100，r2，求扇形的面积；若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数解Slrr24.由题意知l2r20，即l202r，Slr(202r)r(r5)225，当r5时，S的最大值为25.当r5时，l202510，2(rad)即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式

8、解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ()A. B.C D(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A. B.C3 D.答案(1)C(2)D解析(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.(2)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB，作OMAB，垂足为

9、M，在RtAOM中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧长公式得.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例3(1)(2016广州模拟)若角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，则cos 的值为_(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ()A. B.C. D.答案(1)(2)A解析(1)由题意知r，sin m，m0，m，r2，cos .(2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin.Q点的坐标为(，)命题点2三角函数线例4函数ylg(2sin x1)的定义域为_答案2k，2k)(kZ)解析要使原函数有意义，必须有即

10、如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2k，2k) (kZ)思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围(1)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0.则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3(2)满足cos 的角的集合为_答案(1)A(2)|2k2k，kZ解析(1)cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连

11、接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ6数形结合思想在三角函数中的应用典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为_(2)(2017合肥调研)函数ylg(34sin2x)的定义域为_思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集解析(1)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为

12、2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以PBsin(2)cos 2，CBcos(2)sin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)(2)34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)答案(1)(2sin 2,1cos 2)(2)(kZ)1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确2若是第三象限角，则

13、下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0答案B解析是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除A、C、D，故选B.3(2016广州一模)已知是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，)，且cos x，则tan 等于()A. B.C D答案D解析P(x，)，y.又cos x，r2，x2()2(2)2，解得x.由是第二象限的角，得x，tan .4(2017九江质检)若390角的终边上有一点P(a,3)，则a的值是()A. B3C D3答案B解析tan 390，又tan 390tan(36030)tan 30，a3.5已

14、知点P(sin cos ，2)在第二象限，则的一个变化区间是()A. B.C. D.答案C解析P(sin cos ，2)在第二象限，sin cos ，的一个变化区间是.6已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1C3 D3答案B解析由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan cos x成立的x的取值范围为_答案(，)解析如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sin cos ，sin cos .根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x(，)11一个扇形OAB的面积是1 cm

15、2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2(rad)如图，过O作OHAB于H，则AOH1 rad.AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)圆心角的弧度数为2 rad，弦长AB为2sin 1 cm.12已知角终边上一点P，P到x轴的距离与到y轴的距离之比为34，且sin 0，求cos 2tan 的值解设P(x，y)，则根据题意，可得.又sin 0)，则r5k，从而cos ，tan ，cos 2tan .若点P位于第四象限，可设P(4k，3k)(k0)，则r5k，从而cos ，tan ，cos 2tan .综上所述，若点P位于第三象限，则cos 2tan ；若点P位于第四象限，则cos 2tan .*13.已知sin 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号解(1)由sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为|2k2k，kZ(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan 0，cos 0，所以tan sin cos 取正号；当在第四象限时，tan 0，sin 0，所以tan sin cos 也取正号因此，tan sin cos 取正号