电路分析基础第5章-正弦稳态电路分析课件.ppt

1、第5章正弦稳态电路分析 第5章正弦稳态电路分析 5.1正弦信号的基本概念正弦信号的基本概念 5.2正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示 5.3三种基本电路元件三种基本电路元件VAR的相量形式的相量形式 5.4基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型 5.5阻抗与导纳阻抗与导纳 5.6正弦稳态电路的相量法分析正弦稳态电路的相量法分析 5.7正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率*5.8三相电路三相电路 习题习题5 第5章正弦稳态电路分析 5.1正弦信号的基本概念正弦信号的基本概念5.1.1正弦信号的三要素正弦信号的三要素正弦信号是指随时间按正弦规律变化的电压或电

2、流，它是周期信号。所谓周期信号，是指每隔一定的时间间隔T重复变化且无始无终的信号。图5.1-1给出了几种常见的周期信号的波形。第5章正弦稳态电路分析 图5.1-1几种周期信号的波形第5章正弦稳态电路分析 周期信号的数学表达式为f(t)=f(t+kT)k=0，1，2，(5.1-1)我们把周期信号在单位时间内重复变化的次数称为频率，用f表示，单位为赫兹(Hz)。根据上述周期和频率的定义，有正弦信号通常有两种表述方法:一种是三角函数表达式，另一种是波形图。以电流为例，正弦信号的三角函数表达式为i(t)=Im cos(wt+y)(5.1-3)其波形如图5.1-2所示。1fT(5.1-2)第5章正弦稳态

3、电路分析 图5.1-2正弦电流信号波形图第5章正弦稳态电路分析 式(5.1-3)中，Im称为正弦信号i(t)的振幅值或最大值，它表示正弦信号i(t)所能达到的最大值；wt+y称为正弦信号i(t)的相位角，简称相位，单位为弧度或度，它反映了正弦信号每一瞬间的状态。相位每增加2 p弧度，正弦信号经历一个周期，即 w(t+T)+y(wt+y)=2p解上式得(5.1-4)22fTw第5章正弦稳态电路分析【例【例5.1-1】试绘出正弦信号 的波形图。解解由题目告知的i(t)表达式可得：振幅Im=50 mA，角频率w=100p rad/s，初相。画i(t)波形时，取纵坐标为i(t)，横坐标为wt。由三角函

4、数的性质可知,正振幅Im出现在，即时，正振幅出现点确定以后，根据正弦信号的波形特征，便可画出i(t)的波形，如图5.1-3所示。50cos 100 mA3i t3y 10003t 3tw 第5章正弦稳态电路分析 图5.1-3例5.1-1用图第5章正弦稳态电路分析【例【例5.1-2】已知电压波形如图5.1-4所示。(1)试求振幅、周期和角频率。(2)写出u(t)的表达式。图5.1-4例5.1-2用图第5章正弦稳态电路分析 解解(1)由波形图可知：振幅为 Um=100 V周期为T=22.5-2.5=20 ms(两峰值之间的时间间隔)由式(5.1-4)得角频率为322100 rad/s20 10Tw

5、第5章正弦稳态电路分析(2)要写出正弦信号u(t)的表达式，必须知道其三要素：振幅、角频率和初相。由波形图可知，从坐标原点(即时间起点)到第一个正最大值所需时间为2.5 ms，则初相的绝对值为301002.5 10 rad/s4tyw第5章正弦稳态电路分析 5.1.2相位差相位差设两个同频率正弦信号为u1(t)=U1m cos(wt+y1)u2(t)=U2m cos(wt+y2)它们的相位分别为wt+y1和wt+y2，它们的相位之差为j12=(wt+y1)(wt+y2)=y1y2 (5.1-5)如果相位差j12=y1j20，则表示u1(t)超前于u2(t)，或u2(t)滞后于u1(t)，如图5

6、.1-5(a)所示。如果相位差j12=y1y20，则表示u1(t)滞后于u2(t)，或u2(t)超前于u1(t)，如图5.1-5(b)所示。第5章正弦稳态电路分析 图5.1-5两同频率正弦信号超前或滞后示意图第5章正弦稳态电路分析 在对同频率正弦信号相位差的计算中，有时会遇到下列三种特殊情况，如图5.1-6所示。图5.1-6同频正弦信号同相、正交和反相示意图第5章正弦稳态电路分析【例【例5.1-3】已知两同频正弦电压分别为试求它们的相位差，并指出其超前、滞后相位关系。解解u1(t)是cos函数，u2(t)是sin函数，计算相位差时应将它们化为同名函数。将u2(t)化为cos函数形式 110co

7、s V6u ttw 2sin V6uttw 22()sincoscos V6623utu ttttwww 第5章正弦稳态电路分析 由u1(t)和u2(t)函数的表达式知初相则相位差1263yy，1212636jyy 第5章正弦稳态电路分析【例【例5.1-4】已知同频正弦电流分别为试画出它们的波形图，并计算相位差。11m3cos A4i tItw 22mcos A2itItw第5章正弦稳态电路分析 解解由i1(t)和i2(t)的函数表达式可画出其波形图如图5.1-7所示。由i1(t)和i2(t)的表达式可知初相则相位差12342yy，121235424jyy 第5章正弦稳态电路分析 图5.1-7

8、例5.1-4用图第5章正弦稳态电路分析 5.1.3周期信号的有效值周期信号的有效值周期信号的有效值是这样定义的：设有两个阻值相等的电阻R，分别通以周期电流i(t)和直流电流I(见图5.1-8)，如果在相同时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称直流电流I为周期电流i(t)的有效值。图5.1-8有效值定义用图第5章正弦稳态电路分析 由图(a)可知，电阻R在时间T内消耗的能量为由图(b)可知，电阻R在时间T内消耗的能量为若两能量相等 22000dddTTTWp ttRittRitt 2200ddTTWp ttRItRI T 220dTRittRI T第5章正弦稳态电路分析 则有类似地，同样可给出周期

9、性电压u(t)的有效值为正弦信号是周期信号，将正弦电流信号i(t)=Im cos(wt+y)代入式(5.1-6)中，可得正弦电流信号的有效值为 201dTIittT 201dTUuttT22m01cosdTIIttTwy2m011 cos2d2TIttTwymm0.7072II(5.1-7)(5.1-6)第5章正弦稳态电路分析 即同理可得正弦电压信号的有效值(5.1-8)mm0.7072IIImm0.7072UUU(5.1-9)第5章正弦稳态电路分析 5.2正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示5.2.1复数的相关知识复数的相关知识设A为一复数，a和b分别为其实部和虚部，则复数A可表示为A=a+

10、jb (5.2-1)复数A在复平面上可用一带箭头的线段表示，如图5.2-1所示。第5章正弦稳态电路分析 图5.2-1复数A在复平面上的表示第5章正弦稳态电路分析 由图5.2-1可得复数A的另一表示形式A=|A|cosq+j|A|sinq (5.2-2)式(5.2-2)称为复数A的三角形式表示。根据欧拉公式ejq=cosq+j sinq式(5.2-2)可写为A=|A|ejq (5.2-3)式(5.2-3)称为复数A的指数形式表示。在工程上常把式(5.2-3)简写为A=|A|q (5.2-4)第5章正弦稳态电路分析【例【例5.2-1】将复数A=3+j4化为指数表示形式。解解复数A的指数表示形式为A

11、=|A|q=553.122345A 4arctan53.13q第5章正弦稳态电路分析【例【例5.2-2】将复数A=1030化为直角坐标形式。解解 103010cos30jsin3031 10j105 3j532A 第5章正弦稳态电路分析 5.2.2用相量表示正弦信号用相量表示正弦信号 设正弦电压为u(t)=Um cos(wt+uu)显然可把它看做一个复数的实部，写为式中 jjjmmjmReeReee Reeuutttu tUUUwyywwjmmmuuUU eUyy(5.2-5)(5.2-6)(电压振幅相量)第5章正弦稳态电路分析 相量是一个复数，在复平面上可用一条带箭头的线段表示，如图5.2-

12、2所示。相量在复平面上的图示称为相量图。图5.2-2相量图第5章正弦稳态电路分析 式(5.2-5)中，ejwt称为旋转因子，相量 与ejwt的乘积是时间t的复函数，在复平面上可用一个以恒定角速度w逆时针方向旋转的相量表示，如图5.2-3所示。mUjjmmeeuttUUwyw第5章正弦稳态电路分析 图5.2-3旋转相量及其在实轴上的投影第5章正弦稳态电路分析 同样地，正弦电流可表示为式中 jmmjjjmmcosRee ReeeReeiititti tItIIIwyywwwymmmijiII eIyy(5.2-7)(电流振幅相量)第5章正弦稳态电路分析【例【例5.2-3】已知正弦电流i1(t)和i

13、2(t)分别为i1(t)=5 cos(314t+60)Ai2(t)=10 sin(314t+120)A试写出i1(t)和i2(t)对应的振幅相量和有效值相量，并作相量图。解解用相量表示正弦信号时，该正弦信号必须是cos函数形式。将i2(t)化为cos函数形式i2(t)=10 sin(314t+120)=10 cos(314t+210)=10 cos(314t150)A 第5章正弦稳态电路分析 于是振幅相量有效值相量振幅相量图如图5.2-4所示。11m5 60 Ai tI 22m10150 AitI1560 A2I 210150 A2I 第5章正弦稳态电路分析 图5.2-4例5.2-3用图第5章

14、正弦稳态电路分析【例【例5.2-4】试计算4 cos2t+3 sin2t。解解先将同频正弦信号用相应的相量表示，用相量进行运算(即复数运算)，最后再将相量的运算结果还原为正弦信号，这样就避开了繁琐的三角函数运算，使运算过程得以大大简化。将正弦信号化为统一的cos函数形式：4 cos2t+3 sin2t=4 cos2t+3 cos(2t90)写出对应相量，作相量运算:40+390=4 cos0+j4 sin0+3 cos(90)+j3 sin(90)=4j3=536.9于是，得4 cos2t+3 sin2t=5 cos(2t36.9)第5章正弦稳态电路分析 5.3三种基本电路元件三种基本电路元件

15、VAR的相量形式的相量形式1.电阻元件电阻元件图5.3-1(a)所示为电阻元件的时域模型，uR和iR取关联参考方向。设通过电阻的正弦电流iR(t)=Im cos(wt+yi)根据欧姆定律，电阻两端的电压uR(t)=RiR(t)=RIm cos(wt+yi)=Um cos(wt+yu)上式表明：电阻上的电压uR与电流iR是同频率、同相位的正弦信号。它们的振幅值和相位具有如下关系第5章正弦稳态电路分析 又因所以由式(5.3-2)可画出电阻元件的相量模型如图5.3-1(b)所示。电阻元件的电压相量与电流相量的相位关系如图5.3-1(c)所示。mmuiURIyymmmmuiUURIRIyymmURIU

16、RI或(5.3-2)(5.3-1)第5章正弦稳态电路分析 图5.3-1电阻元件的时域模型、相量模型及电压和电流的相量图第5章正弦稳态电路分析 2.电感元件电感元件图5.3-2(a)所示为电感元件的时域模型，uL和iL取关联参考方向，有由上式可见，在正弦稳态电路中，电感元件的电压uL(t)与电流iL(t)是同频率的正弦信号，且电压超前于电流90，它们的振幅与相位关系是(5.3-3)d()dLLiutLtmm2uiULIwyy(5.3-4)第5章正弦稳态电路分析 又因所以由式(5.3-5)可画出电感元件的相量模型如图5.3-2(b)所示。电感电压和电流的相量图如图5.3-2(c)所示。(5.3-5

17、)mmmmmjj2uiiUULILILIywqwqwmmjjULIULIww或第5章正弦稳态电路分析 图5.3-2电感元件的时域模型、相量模型及电压和电流的相量图第5章正弦稳态电路分析 3.电容元件电容元件图5.3-3(a)所示为电容元件的时域模型，uC和iC取关联参考方向，有由上式可见：在正弦稳态电路中，电容元件的电流iC(t)与电压uC(t)是同频率的正弦信号，且电流超前于电压90，或电压滞后于电流90。它们的振幅与相位关系是(5.3-7)d()dCCuitCtm2miuICUwyy(5.3-6)第5章正弦稳态电路分析 一般将上式写为由式(5.3-8)可画出电容元件的相量模型如图5.3-3

18、(b)所示。电容电压和电流的相量图如图5.3-3(c)所示。(5.3-8)mm11jjUIUICCww或第5章正弦稳态电路分析 图5.3-3电容元件的时域模型、相量模型及电压和电流的相量图第5章正弦稳态电路分析 5.4基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型和电路的相量模型5.4.1基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律指出：对于集总参数电路中的任一节点，在任意时刻，流出或流入该节点的所有支路电流的代数和恒等于零。KCL的时域表达式为i(t)=0 在正弦稳态电路中，所有的激励和响应都是同一频率的正弦信号，设i(t)=Im cos(wt+y)则第5章正弦稳态

19、电路分析 要使上式对任意时间t都成立(等于零)，必有同理可得，基尔霍夫电压定律KVL的相量形式为j()mmjm()cos()Re Re0eetti tItIIwywwym00II或m00UU或(5.4-2)(5.4-1)第5章正弦稳态电路分析 5.4.2电路的相量模型电路的相量模型前面我们讨论了正弦信号的相量表示，三种基本电路元件R、L、C的电压相量与电流相量的关系，以及基尔霍夫定律的相量形式，它们是建立电路相量模型和列写电路相量方程的基本依据。下面以一个简单例子来说明电路相量模型的建立。图5.4-1(a)所示为一正弦稳态电路。第5章正弦稳态电路分析 图5.4-1电路的时域模型和相量模型第5章

20、正弦稳态电路分析【例【例5.4-1】已知正弦稳态电路的时域模型如图5.4-2(a)所示，试画出其相量模型。解解将时域模型中的正弦量is(t)、i1(t)、uC(t)用它们对应的相量表示，基本电路元件R、L、C用它们的相量模型代替，得图5.4-2(b)所示的电路的相量模型。s1CIIU、第5章正弦稳态电路分析 图5.4-2例5.4-1用图第5章正弦稳态电路分析 5.5阻阻 抗抗 与与 导导 纳纳5.5.1阻抗阻抗图5.5-1(a)所示为无源二端正弦稳态电路。在正弦稳态时，定义无源二端电路端口的电压相量与电流相量的比值为该无源二端电路的阻抗，记为Z，即其等效电路模型如图5.5-1(b)所示。阻抗的

21、单位为欧姆()。式(5.5-1)亦可写为mmUUZZII或mmUZIUZI或(5.5-2)(5.5-1)第5章正弦稳态电路分析 图5.5-1无源二端正弦稳态电路及其阻抗第5章正弦稳态电路分析 阻抗是一个复数，将代入式(5.5-1)，有在5.4节中我们讨论了三个基本电路元件VAR的相量形式，在关联参考方向下，它们是(5.5-3)uiUUIIyy，()juuiziUUUZZRXIIIyyyjy第5章正弦稳态电路分析 将其与阻抗定义式(5.5-2)对照，可得电阻、电感、电容的阻抗分别为(5.5-4)RRURIjLLULIw1jCCUICwjj1jjRLLCCZRZLXZXCww 第5章正弦稳态电路分

22、析 5.5.2导纳导纳仍以图5.5-1(a)所示的无源二端正弦稳态电路为例。在正弦稳态时，定义无源二端电路端口的电流相量与电压相量的比值为该无源二端电路的导纳，记为Y，即显然，导纳等于阻抗的倒数，导纳的单位为西门子(S)。式(5.5-5)也可写为(5.5-6)mmIIYYUU或mmIYUIYU或(5.5-5)第5章正弦稳态电路分析 导纳也是一个复数，将代入式(5.5-5)，有由三个基本电路元件电阻、电感和电容的VAR的相量形式，可得它们的导纳分别为(5.5-7)uiUUIIyy，()jiiuYuIIIYYGBUUUyyyjy111jjjjjRLLCCYGRYBLLYCBwww (5.5-8)第

23、5章正弦稳态电路分析 5.5.3无源单口正弦稳态电路的等效阻抗与导纳计算无源单口正弦稳态电路的等效阻抗与导纳计算1.阻抗串联阻抗串联设有n个阻抗串联，如图5.5-2(a)所示，它可等效为图5.5-2(b)，其等效阻抗为式(5.5-9)表明,阻抗串联的等效阻抗等于各串联阻抗之和。因此，凡是串联的元件，用阻抗来表征较为方便。分压公式为(5.5-9)eq121nnkkZZZZZeqkkZUUZ(5.5-10)第5章正弦稳态电路分析 图5.5-2阻抗的串联及等效第5章正弦稳态电路分析 2.导纳并联导纳并联设有n个导纳并联，如图5.5-3(a)所示，它可等效为图(b)，其等效导纳为式(5.5-11)表明

24、，导纳并联的等效导纳等于各并联导纳之和。因此，凡是并联的元件，用导纳来表征较为方便。分流公式为(5.5-12)eq121nnkkYYYYYeqkkYIIY(5.5-11)第5章正弦稳态电路分析 图5.5-3导纳的并联及等效第5章正弦稳态电路分析 在两个元件并联时，如图5.5-4所示，由式(5.5-11)和式(5.5-12)不难得出端口的等效阻抗为分流公式为(5.5-14)12eq12Z ZZZZ21121212ZIZZZIZZ(5.5-13)第5章正弦稳态电路分析 图5.5-4两个阻抗并联第5章正弦稳态电路分析 3.无源单口正弦稳态混联电路的等效化简无源单口正弦稳态混联电路的等效化简【例【例5

25、.5-1】正弦稳态电路如图5.5-5(a)所示，已知w=3 rad/s，求ab端口的输入阻抗，并指出电压与电流的相位关系。图5.5-5例5.5-1用图第5章正弦稳态电路分析 解解首先作出其相量模型，如图5.5-5(b)所示。仿照电阻混联电路的处理方法，可得ab端口的输入阻抗为1.5j1/(1j2)j1(1j2)2j11.51.5j1 1j21j1(2j1)(1j1)1j31.51.5(1j1)(1j1)22j1.52.5 36.9 abZ =第5章正弦稳态电路分析【例【例5.5-2】正弦稳态电路的相量模型如图5.5-6所示，求ab端的输入阻抗。图5.5-6例5.5-2用图第5章正弦稳态电路分析

26、 解解这是一个含受控源的无源单口电路。根据电阻电路部分的处理方法，用外加激励法求该单口电路的输入阻抗。在端口施加一源电压，求该端口电流，找出端口的VAR式。沿端口所在回路列KVL方程结合式(1)、(2)，有111()2UIII 1j1UI1111j1 1j1IIIIIUI(1)(2)第5章正弦稳态电路分析 将上式代入式(2)中，得于是ab端口的输入阻抗111j1(j)1j122UII 11j0.5 2135 22abUZI 第5章正弦稳态电路分析 5.6正弦稳态电路的相量法分析正弦稳态电路的相量法分析 5.6.1相量分析法的一般步骤相量分析法的一般步骤用相量分析法分析正弦稳态电路的步骤可归纳如

27、下：(1)由电路的时域模型画出对应的相量模型。(2)仿照电阻电路的分析方法建立相量形式的电路方程，求出响应相量。(3)将求得的响应相量变换成对应的时域瞬时值表达式。下面举例说明相量分析法的应用。【例【例5.6-1】正弦稳态电路如图5.6-1(a)所示，已知激励，求电流i(t)。s()10 2cos2 Vu tt第5章正弦稳态电路分析 图5.6-1例5.6-1用图第5章正弦稳态电路分析 解解(1)由电路的时域模型画出电路的相量模型，如图5.6-1(b)所示。图(b)中：(2)仿照电阻电路的分析方法建立相量形式的电路方程并求解。由图(b)可知s10 0 Vjj 2 2j4 11j2 jj 2 0.

28、25ULCww s10 02.5 245 Aj42j22j2UI第5章正弦稳态电路分析(3)写出电流相量对应的时域瞬时值表达式：【例【例5.6-2】已知正弦稳态电路的相量模型如图5.6-2所示，求支路电流。图5.6-2例5.6-2用图I()2.5 22 cos(245)5cos(245)Ai ttts3045 VI 12II和第5章正弦稳态电路分析 解解由阻抗分流公式(5.5-14)，得或由KCL相量形式，可求得为1sj4j430 451245 3j4j43II2s343j430 455 53.110 4550 98.1 A3j4j43jII 2I2s13045124550 98.1 III第

29、5章正弦稳态电路分析 5.6.2电路的基本分析法和电路定理在正弦稳态电路中的电路的基本分析法和电路定理在正弦稳态电路中的应用应用1.节点分析法和回路分析法用于正弦稳态电路的分析节点分析法和回路分析法用于正弦稳态电路的分析对于具有3个独立节点和3个独立回路(网孔)的正弦稳态相量模型电路，可得到相量形式的节点方程和回路方程为111122133s11211222233s22311322333s33Y UY UY UUY UY UY UUY UY UY UU(5.6-1)第5章正弦稳态电路分析【例【例5.6-3】正弦稳态电路如图5.6-3(a)所示，已知，试用节点分析法求电流i(t)。(5.6-2)1

30、11213s11212223s22313233s33ABCABCABCZ IZ IZ IIZ IZ IZ IIZ IZ IZ IIs()10 2cos2 i tts()20 2cos2 Vu tt 第5章正弦稳态电路分析 图5.6-3例5.6-3用图第5章正弦稳态电路分析【例【例5.6-4】图5.6-4(a)所示的正弦稳态电路中，已知，求电流i(t)。图5.6-4例5.6-4用图3s1()10 2cos(10)Vutt3s2()10 2sin(10)VUtt第5章正弦稳态电路分析 2.电路定理用于正弦稳态电路的分析电路定理用于正弦稳态电路的分析在电阻电路部分曾讲过，一个线性含源单口电路N，就其

31、端口来看，可等效为一个理想电压源串联电阻支路(或理想电流源并联电阻组合)，即戴维南等效电路(或诺顿等效电路)。类似地，在正弦稳态电路中，也可将一个线性含源单口电路N的相量模型等效为戴维南等效电路(或诺顿等效电路)相量模型，如图5.6-5所示。第5章正弦稳态电路分析 图5.6-5线性含源单口电路等效相量模型第5章正弦稳态电路分析【例【例5.6-5】已知正弦稳态电路如图5.6-6所示，求电流。图5.6-6例5.6-5用图(一)I第5章正弦稳态电路分析 解解将待求电流支路移去，求余下含源单口电路的戴维南等效电路。(1)求端口开路电压。作对应电路如图5.6-7(a)所示。图5.6-7例5.6-5用图(

32、二)ocU第5章正弦稳态电路分析【例【例5.6-6】正弦稳态电路如图5.6-8所示，已知，求电流iR(t)。图5.6-8例5.6-6用图(一)s()5 2cos5 A i tts()5 2cos10 Vu tt第5章正弦稳态电路分析 解解本题为多频激励源作用下求取正弦稳态响应。可应用叠加原理，按同一频率激励源分别单独作用于电路，求出各分响应瞬时值，再将分响应瞬时值叠加即为各激励源共同作用所产生的响应。(1)电流源单独作用(w=5 rad/s)，对应电路相量模型如图5.6-9(a)所示，此时us(t)=0，视作短路。s()5 2cos5 Ai tt第5章正弦稳态电路分析 图5.6-9例5.6-6

33、用图(二)第5章正弦稳态电路分析 5.6.3正弦稳态电路的相量图分析正弦稳态电路的相量图分析【例【例5.6-7】RC并联正弦稳态电路如图5.6-10(a)所示，已知I=2.5 A，I2=2 A。(1)求电流I1；(2)若电压u(t)=20 cos105t V，求电容C的值。第5章正弦稳态电路分析 图5.6-10例5.6-7用图第5章正弦稳态电路分析【例【例5.6-8】正弦稳态电路相量模型如图5.6-11(a)所示，是一个测量电感线圈电感和电阻的电路。已知R1=50，用电压表测得电压U=110 V，U1=60 V，U2=70 V，电路的工作频率f=50 Hz，求电感线圈的电感Lx和电阻Rx。图5

34、.6-11例5.6-8用图第5章正弦稳态电路分析 5.7正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率 5.7.1单口网络的功率单口网络的功率正弦稳态单口网络N如图5.7-1所示，设端口电压u(t)和端口电流i(t)取关联参考方向，其表达式分别为u(t)=Um cos(wt+yu)i(t)=Im cos(wt+yi)1.单口网络单口网络N的瞬时功率的瞬时功率 p(t)=u(t)i(t)=UmIm cos(wt+yu)cos(wt+yi)根据三角公式1coscoscos()cos()2第5章正弦稳态电路分析 图5.7-1单口网络第5章正弦稳态电路分析 p(t)可写为式中，j=yuyi。电压u(t)、电流i

35、(t)和瞬时功率p(t)的波形如图5.7-2所示。mm()cos()cos(2)2uiuiU Ip ttyywyycoscos(2)uiUIUItjwyy(5.7-1)第5章正弦稳态电路分析 图5.7-2单口网络的瞬时功率波形第5章正弦稳态电路分析 2.单口网络单口网络N的平均功率的平均功率 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，记为P，其计算式为 将式(5.7-1)代入上式，得(5.7-2)01()dTPp ttT01coscos(2)dTuiPUIUIttTjwyycosUIj第5章正弦稳态电路分析 如果单口网络N内不含独立源(无源单口网络)，则可以等效为一个阻抗Z，此时式(5.7-2

36、)可写为P=UI cosjZ (5.7-3)设无源单口网络的等效阻抗为即将上式代入式(5.7-3)，有P=I2R (5.7-4)cosjsinjZZZUUUUZRXIIIIjjjcos cosZZURURIIjj第5章正弦稳态电路分析 同理，由无源单口网络的等效导纳表达式可导出P=U2G (5.7-5)由平均功率计算式(5.7-3)、式(5.7-4)、式(5.7-5)可见，无源单口网络的平均功率只与电阻有关，与电抗无关。也就是说，一个无源单口网络N的平均功率实质上就是该网络中各电阻所消耗的平均功率之和，即P=PR (5.7-6)第5章正弦稳态电路分析 3.单口网络单口网络N的视在功率和功率因数

37、的视在功率和功率因数 单口网络N端口的电压有效值与电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，即S=UI (5.7-7)视在功率的单位为伏安(VA)，以区别于平均功率。由平均功率表达式(5.7-2)与视在功率表达式(5.7-7)可看出，平均功率是在视在功率上打了一个折扣，这个折扣就是cosj，称为功率因数，用l表示，即=cosPSlj(5.7-8)第5章正弦稳态电路分析 4.单口网络单口网络N的无功功率的无功功率式(5.7-1)可写为 上式表明，瞬时功率是由两个分量组成的，这两个分量的波形分别如图5.7-3所示。()coscos(2)coscoscos2sinsin2 cos1 cos2sinsi

38、n2 RXp tUIUItUIUItUItUItUItppjwjjjwjwjwjw第5章正弦稳态电路分析 图5.7-3瞬时功率的两个分量第5章正弦稳态电路分析 第二个分量pX是以角频率2w在横轴上下波动的交变分量，其正、负半周与横轴之间构成的面积分别代表等量的吸收能量和释放能量，其平均值为零，是一个在平均意义上不能作功的无功分量。这个分量反映了网络与外部电路之间能量往返交换的速率，我们把它的最大值定义为无功功率，用Q表示，即Q=UI sinj (5.7-9)如果单口网络N内不含独立源，则式(5.7-9)可写为Q=UI sinjZ(5.7-10)第5章正弦稳态电路分析 类似于平均功率计算式(5.

39、7-4)和式(5.7-5)的推导，同样可根据阻抗和导纳定义式导出无源单口网络无功功率的另外两个计算式：Q=I2X=U2B(5.7-11)由以上分析可见，无源单口网络的无功功率只与电抗有关，与电阻无关。也就是说，一个无源单口网络的无功功率等于网络中各电抗的无功功率之和，即Q=Qk(5.7-12)第5章正弦稳态电路分析 5.单口网络单口网络N的复功率的复功率 视在功率、有功功率、无功功率和功率因数角可以用一个复数来统一表达，这个复数称为复功率。设单口网络端口的电压相量和电流相量为且电流相量的共轭 则定义端口的电压相量与电流相量的共轭的乘积为复功率，用表示，即,uiUUIIyy iIIy U*I*(

40、)uiSUIUIUISyyjj(5.7-13)第5章正弦稳态电路分析 将式(5.7-13)写成复数的直角坐标形式，有由式(5.7-13)和式(5.7-14)可见，复功率的模就是视在功率，复功率的辐角就是功率因数角，故复功率的单位与视在功率的单位相同，都是伏安(VA)，复功率的实部为有功功率P，虚部为无功功率Q，从而可将它们之间的关系用图5.7-4所示的功率三角形表示。由功率三角形可得以下关系式：(5.7-15)cosjsinjSUIUIPQjj22costanSPQPQQPjj(5.7-14)第5章正弦稳态电路分析 图5.7-4功率三角形第5章正弦稳态电路分析 前面讨论有功功率和无功功率时，导

41、出式(5.7-6)和式(5.7-12)，现结合式(5.7-14)有但【例【例5.7-1】电路如图5.7-5所示，输入端电压相量，求该无源二端网络的平均功率P、无功功率Q、视在功率S和功率因数l。111jjnnnkkkkkkSPQPQS1nkkSS(5.7-16)100 0 VU第5章正弦稳态电路分析 图5.7-5例5.7-1用图第5章正弦稳态电路分析【例【例5.7-2】电路如图5.7-6所示，已知，求网络N吸收的平均功率PN。图5.7-6例5.7-2用图10j5 VU 2j1 AI 第5章正弦稳态电路分析 6.功率因数的提高功率因数的提高可以从两个方面来提高负载的功率因数：一方面是改进用电设备

42、的功率因数；另一方面，由于工农业生产和日常家用电气设备绝大多数为感性负载。【例【例5.7-3】图5.7-7(a)为一日光灯电路模型，工作频率为50 Hz，已知端电压U=200 V，日光灯功率为40 W，额定电流为0.4 A。(1)试求并电容前电路的功率因数cosjZ、电感L和电阻R。(2)若要将功率因数提高到0.95，试求需要在RL支路两端并联的电容C的值。第5章正弦稳态电路分析 图5.7-7例5.7-3用图第5章正弦稳态电路分析 5.7.2最大功率传输定理最大功率传输定理电路如图5.7-8所示，图中电压源 串联内阻抗Zs是实际电压源模型，可认为是任何一个线性含源二端电路N的戴维南等效电路，Z

43、L是负载阻抗。设电源内阻抗为Zs=Rs+jXs负载阻抗为ZL=RL+jXL由图5.7-8可知，电路中的电流为sUsssLsLsL()j()UUIZZRRXX第5章正弦稳态电路分析 图5.7-8求最大功率传输用图第5章正弦稳态电路分析 于是，电流的有效值为由此得负载吸收的平均功率为s22sLsL()()UIRRXX22sLLL22sLsL()()U RPI RRRXX(5.7-17)第5章正弦稳态电路分析 由式(5.7-17)可见，XL只出现在分母中，显然对任意RL值，当Xs+XL=0(即XL=Xs)时分母最小，此即为所求的XL值。在XL选定后，功率变成为确定使上式中PL为最大的RL值，将PL对

44、RL求导数并令其为零，即(5.7-18)2sLL2sL()U RPRR22sLLsLLs4LsL()2()d0d()RRRRRPURRR第5章正弦稳态电路分析 上式要成立，分子必为零，所以有(Rs+RL)22RL(Rs+RL)=0解得RL=Rs 因此，在电源给定的情况下，负载ZL获得最大功率的条件是：即(5.7-19)LsLsXXRR*LsZZ第5章正弦稳态电路分析 将式(5.7-19)代入式(5.7-17)，得在共轭匹配条件下负载获得的最大功率为在某些情况下，负载阻抗的实部和虚部以相同的比例增大或减小，即阻抗角保持不变，只改变阻抗的模|ZL|。可以证明，在这种情况下，负载获得最大功率的条件是

45、：|ZL|=|Zs|(5.7-21)(5.7-20)2sLmaxs4UPR第5章正弦稳态电路分析【例【例5.7-4】电路如图 5.7-9(a)所示，ZL为负载阻抗，试求在下列情况下负载ZL获得的最大功率。(1)负载ZL的实部和虚部均可调节。(2)负载为纯电阻RL。第5章正弦稳态电路分析 图5.7-9例5.7-4用图第5章正弦稳态电路分析 5.8三相电路三相电路5.8.1三相电源三相电源1.对称三相电源对称三相电源三相电源是由三相发电机获得的。图5.8-1(a)所示是三相发电机的示意图，它主要由转子和定子组成。图中，AX、BY、CZ是完全相同而彼此相隔120的三个定子绕组，每个绕组称为一相，分别

46、称为A相、B相和C相，其中A、B、C称为始端，X、Y、Z称为末端，定子是固定不动的，它一般由硅钢片叠成。三相发动机中部的磁极是转动的，称为转子。第5章正弦稳态电路分析 图5.8-1三相发电机示意图和三相电源模型第5章正弦稳态电路分析 当转子在汽轮机或水轮机驱动下以角速度匀速旋转时，三个定子绕组中便会感应出随时间按正弦方式变化的电压。这三个电压的频率相同，幅值相等，相位彼此相差120，相当于三个独立的正弦电压源，称为对称三相电压源，其模型如图5.8-1(b)所示，它们的瞬时值表达式分别为pmppmppmp()cos2cos()cos(120)2(cos120)()cos(120)2(cos120

47、)ABCutUtUtutUtUtutUtUtwwwwww(5.8-1)第5章正弦稳态电路分析 式中，Upm为每相电压的振幅，Up为每相电压的有效值。由式(5.8-1)可写出对称三相电压的相量分别为图5.8-2是对称三相电压源的波形图和相量图。显然，对称三相电压源的瞬时值之和为零，即uA+uB+uC=0 (5.8-3)由图5.8-2(b)可知，它们的相量之和为零，即(5.8-2)ppp0120120ABCUUUUUU0ABCUUU(5.8-4)第5章正弦稳态电路分析 图5.8-2对称三相电压源的波形图和相量图第5章正弦稳态电路分析 2.对称三相电源的连接对称三相电源的连接1)星形连接(Y连接)将

48、对称三相电源的末端X、Y、Z连接在一起成为节点N，称为中性点(简称中点)，由中点引出的导线称为中线(零线)，由始端A、B、C引出的三根导线与输电线相接，输送电能到负载，这三根导线称为端线(或火线)，如图5.8-3(a)所示。图5.8-3(a)所示的供电方式称为三相四线制(三根火线和一根中线)。图5.8-3(a)中，如果没有中线，则称为三相三线制。第5章正弦稳态电路分析 图5.8-3对称三相电源的Y连接及相量图第5章正弦稳态电路分析 图5.8-3中，端线与中线之间的电压(即每相电源的电压)称为相电压，用uA、uB和uC表示;两条端线之间的电压称为线电压，用uAB、uBC和uCA表示。由图5.8-

49、3(a)可见，线电压与相电压有如下关系：用相量表示为ABABBCBCCACAuuuuuuuuuABABBCBcCACAUUUUUUUUU(5.8-5)第5章正弦稳态电路分析 将式(5.8-2)代入式(5.8-5)中，得相电压和线电压的相量图如图5.8-3(b)所示。由图5.8-3(b)可得线电压的有效值为同理可得由此可见，若相电压是对称的，则线电压也是对称的，而且线电压的有效值是相电压的有效值的倍。设线电压的有效值用表示，则(5.8-6)p2cos303ABAUUUp3BCUU3p3lUU第5章正弦稳态电路分析 根据相量图(见图5.8-3(b)不难看出，对称三相线电压相量与相电压相量之间的相位

50、关系如下：2)三角形连接(连接)将对称三相电源的始端与末端依次相连，即X与B、Y与C、Z与A相连形成一个闭合回路，由三个连接点引出三根端线向外供电，就构成了连接，如图5.8-4(a)所示。这种接法是没有中线的。(5.8-7)3 303 303 30ABABCBCACUUUUUU第5章正弦稳态电路分析 图5.8-4对称三相电源的连接及相量图第5章正弦稳态电路分析 在连接中，由于每相电源直接连接在两端线之间，所以线电压就等于相电压，即也即 Ul=Up (5.8-9)(5.8-8)ABAABABCBBCBCACCACUUuuuuUUuuUU或第5章正弦稳态电路分析 5.8.2对称三相电路的计算对称三