第七章正交试验设计课件.ppt

1、Orthogonal Design 第七章第七章 正交试验设计正交试验设计正交试验设计正交试验设计本章学习内容本章学习内容7.4 正交试验设计的极差分析正交试验设计的极差分析7.3 正交与正交表正交与正交表 7.5 正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析 7.6 正交试验设计的效应估计正交试验设计的效应估计 7.2 试验设计的统计学基础试验设计的统计学基础7.1 试验设计概述试验设计概述正交试验设计正交试验设计7.1 试验设计概述试验设计概述 7.1.1 试验与试验设计试验与试验设计 试验试验 所谓试验，一般指用于发现新的现象、新的事物、新所谓试验，一般指用于发现新的现象、新的事物、新的

2、规律，以肯定或否定先前的调查研究结论、发现新规律的规律，以肯定或否定先前的调查研究结论、发现新规律而进行的有计划活动。而进行的有计划活动。试验的实质：是一种用以测定过程或系统某些特定性试验的实质：是一种用以测定过程或系统某些特定性能的有目的的测试。能的有目的的测试。正交试验设计正交试验设计 试验设计（试验设计（DOE，Design of Experiment）试验设计是数理统计学领域的一个分支。它是以概试验设计是数理统计学领域的一个分支。它是以概率论、数理统计、线性代数等为理论基础，科学地设计率论、数理统计、线性代数等为理论基础，科学地设计试验方案，正确合理地分析试验结果，以较少的试验工试验方

3、案，正确合理地分析试验结果，以较少的试验工作量和较低的成本获取足够、可靠的有用信息。作量和较低的成本获取足够、可靠的有用信息。试验设计的主要研究内容：试验设计的主要研究内容：哪个因素对特性值影响较大？如何影响？哪个因素对特性值影响较大？如何影响？如何设置各因素的水平，使特性值接近预期的期望值？如何设置各因素的水平，使特性值接近预期的期望值？如何设置各因素的水平，使特性值的方差（波动）最小？如何设置各因素的水平，使特性值的方差（波动）最小？如何设置可控因素的水平，使非可控因素的影响最小？如何设置可控因素的水平，使非可控因素的影响最小？正交试验设计正交试验设计7.1.2 试验设计的发展历史试验设计

4、的发展历史 试验设计的基本思想和方法是英国统计学家、工程师费试验设计的基本思想和方法是英国统计学家、工程师费歇尔（歇尔（R.A.Fisher，18901962）于）于20世纪世纪20年代创立的，他年代创立的，他是试验设计的奠基人并对其后的发展做出了卓越的贡献。是试验设计的奠基人并对其后的发展做出了卓越的贡献。试验设计与分析的发展大致可划分为三个历史阶段。试验设计与分析的发展大致可划分为三个历史阶段。正交试验设计正交试验设计 早期、传统试验设计阶段（约早期、传统试验设计阶段（约1920s1950s）费歇尔在农场进行田间试验的过程中，对高产小麦品种费歇尔在农场进行田间试验的过程中，对高产小麦品种遗

5、传进行研究。为减少偶然因素对试验的影响，他对各种试遗传进行研究。为减少偶然因素对试验的影响，他对各种试验因素的每一水平组合进行了试验，并通过方差分析评价指验因素的每一水平组合进行了试验，并通过方差分析评价指标的优劣（用于排除偶然因素的影响），使小麦大幅度增产。标的优劣（用于排除偶然因素的影响），使小麦大幅度增产。1925年，费歇尔在年，费歇尔在研究工作中的统计方法研究工作中的统计方法一书中首一书中首次提出了次提出了“实验设计实验设计”的概念；的概念；1935年，费歇尔出版了著名的年，费歇尔出版了著名的试验设计法试验设计法一书；一书；40年代前后，英、美、苏等国家将试验设计逐渐应用于年代前后，英

6、、美、苏等国家将试验设计逐渐应用于工业生产领域及军工生产领域；工业生产领域及军工生产领域；劳尼于劳尼于40年代提出的多因素试验的部分实施方法后来成年代提出的多因素试验的部分实施方法后来成为现代试验设计理论的基础。为现代试验设计理论的基础。正交试验设计正交试验设计 中期发展阶段（约中期发展阶段（约1950s1970s，以正交试验设计、回归，以正交试验设计、回归试验设计为代表）试验设计为代表）40年代末、年代末、50年代初，以田口玄一（年代初，以田口玄一（Genichi Taguchi）为代表的日本电讯研究所（为代表的日本电讯研究所（EOL）的研究人员在研究电话）的研究人员在研究电话通讯设备质量时

7、从英、美引进了试验设计技术，提出了通讯设备质量时从英、美引进了试验设计技术，提出了“正交试验设计法正交试验设计法”；1924 该所的产品该所的产品线形弹簧继电器，有几十线形弹簧继电器，有几十个特性值和两千多个试验因素，经个特性值和两千多个试验因素，经7年研制成年研制成功，其性能比美国的同一产品更优。虽然其成功，其性能比美国的同一产品更优。虽然其成本仅几美元，研究费用却用了几百万美元，创本仅几美元，研究费用却用了几百万美元，创造的经济效益高达几十亿美元！同时挤垮了美造的经济效益高达几十亿美元！同时挤垮了美国的企业。国的企业。正交试验设计正交试验设计 50年代初，创立了年代初，创立了“回归试验设计

8、法回归试验设计法”；1957年，田口玄一又提出了年，田口玄一又提出了“信噪比（信噪比（S/N）试验设）试验设计计”；二战后日本经济迅速发展的原因之一就是在工业领域普遍推广和二战后日本经济迅速发展的原因之一就是在工业领域普遍推广和应用正交试验设计和产品三次设计，因此在日本把正交试验设计技术称应用正交试验设计和产品三次设计，因此在日本把正交试验设计技术称为为“国宝国宝”。1959年，年，G.E.博克斯和博克斯和J.S.亨特尔提出了调优操作亨特尔提出了调优操作（EVOP），也称为调优试验设计法；），也称为调优试验设计法；70年代中期，田口玄一提出了年代中期，田口玄一提出了“产品三次设计产品三次设计”

9、。正交试验设计正交试验设计 现代试验设计阶段（现代试验设计阶段（1970s）自自70年代开始，年代开始，S/N试验设计及产品三次设计开始了实质试验设计及产品三次设计开始了实质性的应用；性的应用；80年代，我国学者方开泰（南开大学）创立了年代，我国学者方开泰（南开大学）创立了“均匀试均匀试验设计验设计”；80年代开始，田口提出走质量工年代开始，田口提出走质量工程学的道路，编著了程学的道路，编著了质量工程学质量工程学丛书，将质量管理、质量控制与试验丛书，将质量管理、质量控制与试验设计结合起来，使试验设计发展到了设计结合起来，使试验设计发展到了一个新的水平。一个新的水平。方开泰 1940正交试验设计

10、正交试验设计试验设计发展的三个里程碑：试验设计发展的三个里程碑：费歇尔创立了早期、传统的试验设计理论、方法；费歇尔创立了早期、传统的试验设计理论、方法；正交表的开发及正交实验设计的应用；正交表的开发及正交实验设计的应用；信噪比试验设计和产品三次设计的应用。信噪比试验设计和产品三次设计的应用。我国试验设计的发展情况：我国试验设计的发展情况：50年代开始研究；年代开始研究；60年代提出观点；年代提出观点；70年代开始实质应用；年代开始实质应用；80年代提出均匀试验设计理论。年代提出均匀试验设计理论。正交试验设计正交试验设计 正交试验设计（正交试验设计（Orthogonal Design）是于二十世

11、纪）是于二十世纪50年年代初期，由日本质量管理专家田口玄一（代初期，由日本质量管理专家田口玄一（Tachugi）博士提）博士提出的在多因素试验设计方法的基础上，进一步研究开发出来出的在多因素试验设计方法的基础上，进一步研究开发出来的一种试验设计技术。的一种试验设计技术。正交试验设计法使用一种规范化的表格（正交表）进行正交试验设计法使用一种规范化的表格（正交表）进行试验设计，可以用较少的试验次数，取得较为准确、可靠的试验设计，可以用较少的试验次数，取得较为准确、可靠的优选结论。正交试验设计主要可以完成：优选结论。正交试验设计主要可以完成：确定出各因素对试验指标的影响规律，得知哪些因素的确定出各因

12、素对试验指标的影响规律，得知哪些因素的影响是主要的、哪些因素的影响是次要的、哪些因素之间影响是主要的、哪些因素的影响是次要的、哪些因素之间存在相互影响；存在相互影响；选出各因素的一个水平组合来确定最佳生产条件。选出各因素的一个水平组合来确定最佳生产条件。正交试验设计的基础是正交表。正交试验设计的基础是正交表。正交试验设计正交试验设计人、机器、实验条件等资源的组合。人、机器、实验条件等资源的组合。过程或系统过程或系统 输入可理解为试验开始时过程或系统的初始状态、特征。输入可理解为试验开始时过程或系统的初始状态、特征。在一些可控因素和一些不可控因素的影响下，产生一定的输在一些可控因素和一些不可控因

13、素的影响下，产生一定的输出（响应），该输出（响应）就是试验结果。出（响应），该输出（响应）就是试验结果。7.1.3 基本概念基本概念正交试验设计正交试验设计例：在弹簧生产中，为提高弹性、防止弹簧断裂，要进行例：在弹簧生产中，为提高弹性、防止弹簧断裂，要进行回火工艺试验。试验中选取回火温度（回火工艺试验。试验中选取回火温度（A）、保温时间）、保温时间（B）、工件重量（）、工件重量（C）三个试验因素，每个因素取）三个试验因素，每个因素取1、2、3三个水平进行试验，希望通过试验确定出最佳的生产条件三个水平进行试验，希望通过试验确定出最佳的生产条件（工艺条件）。（工艺条件）。10.5550039.04

14、47027.534401C工件重量（工件重量（kg）B保温时间（保温时间（min）A回火温度（回火温度（）因因 素素水水 平平正交试验设计正交试验设计 几个术语几个术语 特性值特性值 事物与现象的各种性质、状态称为事物的特性，表征事物与现象的各种性质、状态称为事物的特性，表征特性的数值称为特性值。特性的数值称为特性值。前例中，弹簧弹性可用弹性模量前例中，弹簧弹性可用弹性模量E来表征，来表征，E的数值就的数值就是弹簧弹性的一种特性值。是弹簧弹性的一种特性值。试验过程中所选取的特性值应具有试验过程中所选取的特性值应具有单调性单调性、可测性可测性，应该能够正确反映试验的目的。应该能够正确反映试验的目

15、的。特性值可以从不同角度进行分类。特性值可以从不同角度进行分类。正交试验设计正交试验设计 按特性值的性质分按特性值的性质分 计量特性值：计量特性值：连续变化的特性值（如重量、成本、寿命等）。连续变化的特性值（如重量、成本、寿命等）。计数特性值：计数特性值：离散变化的特性值（如废品件数、疵点数等）。离散变化的特性值（如废品件数、疵点数等）。0、1数据：数据：只有两种取值的特性值（如合格与否、电路的通与断只有两种取值的特性值（如合格与否、电路的通与断等）。等）。按特性值的变化趋势分按特性值的变化趋势分 望目特性值：望目特性值：存在固定目标值的特性值（如尺寸、稳定电压等）。存在固定目标值的特性值（如

16、尺寸、稳定电压等）。望小特性值：望小特性值：希望其值越小越好的特性值（如尺寸误差、粗糙度、希望其值越小越好的特性值（如尺寸误差、粗糙度、磨损等）。磨损等）。望大特性值：望大特性值：希望其值越大越好的特性值（如强度、寿命等）。希望其值越大越好的特性值（如强度、寿命等）。按特性值的状态分按特性值的状态分 静态特性值：静态特性值：不随时间变化的特性值。不随时间变化的特性值。动态特性值：动态特性值：随时间变化的特性值（如汽车转弯时的转弯半径、自随时间变化的特性值（如汽车转弯时的转弯半径、自动调节量等）。动调节量等）。正交试验设计正交试验设计 试验指标（简称指标）试验指标（简称指标）根据试验目的所选定的

17、、用来考察试验结果的特性值。根据试验目的所选定的、用来考察试验结果的特性值。按指标的性质分按指标的性质分 数值指标：数值指标：用数值表示特性值的指标（如重量、强度、精度、用数值表示特性值的指标（如重量、强度、精度、寿命、成本等）。寿命、成本等）。非数值指标：非数值指标：不能用数值表示特性值的指标（如光泽、颜色、不能用数值表示特性值的指标（如光泽、颜色、味道、手感等）。味道、手感等）。按试验指标的数量分按试验指标的数量分 单指标：单指标：试验指标只有一个。试验指标只有一个。多指标：多指标：试验指标只有多个。试验指标只有多个。注意：注意：每个指标唯一表示一种特性，某一试验过程中不能用多个指标重每个

18、指标唯一表示一种特性，某一试验过程中不能用多个指标重复表示同一种特性。复表示同一种特性。试验指标应尽可能采用计量特性值。试验指标应尽可能采用计量特性值。正交试验设计正交试验设计 试验因素（简称因素）试验因素（简称因素）对试验结果（特性值）可能有影响的原因或要素。对试验结果（特性值）可能有影响的原因或要素。可控因素：可控因素：人可以控制、调节的因素（如加热温度、切人可以控制、调节的因素（如加热温度、切削速度等）。削速度等）。不可控因素：不可控因素：人不可控制、调节的因素（如机床的随机人不可控制、调节的因素（如机床的随机振动、试验中的随机误差等）。振动、试验中的随机误差等）。注意：注意：试验设计中

19、主要考虑可控因素，不可控因素的影响试验设计中主要考虑可控因素，不可控因素的影响通过数据处理来处理。通过数据处理来处理。其他：其他：标示因素标示因素 区组因素区组因素 信号因素信号因素 误差因素误差因素正交试验设计正交试验设计 因素的水平因素的水平 试验中因素变化的状态和条件称为因素的水平或位数，试验中因素变化的状态和条件称为因素的水平或位数，简称水平。水平用数字（简称水平。水平用数字（1，2，3）表示。）表示。试验中设计过程中水平的选取原则是：试验中设计过程中水平的选取原则是：宜选用三水平，以有利于实验结果的分析；宜选用三水平，以有利于实验结果的分析；水平通常取等间隔，特殊情况下取对数间隔；水

20、平通常取等间隔，特殊情况下取对数间隔；水平应该具体。水平应该是可控的，其变化对试验指水平应该具体。水平应该是可控的，其变化对试验指标有影响。标有影响。10.5550039.0447027.534401C工件重量（工件重量（kg）B保温时间（保温时间（min）A回火温度（回火温度（）因因 素素水水 平平正交试验设计正交试验设计7.1.4 试验设计的作用试验设计的作用 通过合理、科学的试验设计，可以显著提高产品的设通过合理、科学的试验设计，可以显著提高产品的设计、开发质量，找出最佳的工艺条件，从而提高产品最终计、开发质量，找出最佳的工艺条件，从而提高产品最终的质量。的质量。田口认为，设计质量（包括

21、产品设计和工艺设计）对田口认为，设计质量（包括产品设计和工艺设计）对整个产品质量的贡献约为整个产品质量的贡献约为60%70%。正交试验设计正交试验设计7.1.5 试验的主要步骤（阶段）试验的主要步骤（阶段）试验设计阶段试验设计阶段选题、设计试验方案、准备试选题、设计试验方案、准备试验材料及设备、安排试验环境等；验材料及设备、安排试验环境等；试验实施阶段试验实施阶段按计划进行试验（包括试验操按计划进行试验（包括试验操作、收集试验数据等）；作、收集试验数据等）；试验分析阶段试验分析阶段核查试验数据、进行统计分析、核查试验数据、进行统计分析、解释试验结果、获取试验结论等解释试验结果、获取试验结论等。

22、正交试验设计正交试验设计7.1.6 试验设计的基本原则（费歇尔三原则）试验设计的基本原则（费歇尔三原则）重复原则重复原则利用重复观测减小试验误差，提高试利用重复观测减小试验误差，提高试验精度；验精度；随机化原则随机化原则目的是为了消除或减小人为因素引目的是为了消除或减小人为因素引起的系统误差的影响；起的系统误差的影响；局部控制原则局部控制原则该原则也称为区组控制原则，指该原则也称为区组控制原则，指的是把比较的水平设置在差异较小的区组内，其目的也是的是把比较的水平设置在差异较小的区组内，其目的也是为了消除或减小试验中系统误差的影响。例如，按机器设为了消除或减小试验中系统误差的影响。例如，按机器设

23、备、班次、原料批号、操作人员划分区组。备、班次、原料批号、操作人员划分区组。正交试验设计正交试验设计7.1.7 试验设计方法的种类试验设计方法的种类 按试验中试验因素的多少分按试验中试验因素的多少分 单因素试验单因素试验 多因素试验多因素试验 按所要控制的误差因素的多少分按所要控制的误差因素的多少分 单方向控制单方向控制 两方向控制两方向控制 多方向控制多方向控制具体的试验设计方法主要有：具体的试验设计方法主要有：单因素试验单因素试验黄金分割法（黄金分割法（0.618法）、分数法、平行线法、交替法）、分数法、平行线法、交替法、调优法等。法、调优法等。多因素试验多因素试验正交试验设计正交试验设计

24、、信噪比（信噪比（S/N）试验设计）试验设计、产品三产品三次设计次设计、回归试验设计、完全随机化试验设计、随机区组试验设计、回归试验设计、完全随机化试验设计、随机区组试验设计、拉丁方试验设计、正交拉丁方试验设计、均匀试验设计等。拉丁方试验设计、正交拉丁方试验设计、均匀试验设计等。正交试验设计正交试验设计7.2 试验设计的统计学基础试验设计的统计学基础 7.2.1 常用统计量常用统计量 极差极差minmaxxxR 极差极差指的是一组数据中的最大值与最小值之差，也称指的是一组数据中的最大值与最小值之差，也称为变异幅。为变异幅。极差反映了一组数据的最大离散程度。极差反映了一组数据的最大离散程度。正交

25、试验设计正交试验设计 和与平均值和与平均值 nxxx,21 设有设有n个观测值个观测值 构成的一组数据，定义构成的一组数据，定义 niixT1 和和 nTxnxnii 11 平均值平均值 正交试验设计正交试验设计),2,1(nixdii ),2,1(nixxvii 0)(11 niiniixxv 偏差偏差有以下两种表示方法：有以下两种表示方法：x 观测值与平均值观测值与平均值 之差之差 由于期望值通常是未知的，因此试验中常使用后者，由于期望值通常是未知的，因此试验中常使用后者，前者只用于理论分析中。前者只用于理论分析中。偏差（离差）偏差（离差）观测值与期望值观测值与期望值 之差之差 注意：注意

26、：正交试验设计正交试验设计 偏差平方和与自由度偏差平方和与自由度 2S 偏差平方和偏差平方和用来表示一组数据的离散程度，通常用用来表示一组数据的离散程度，通常用 表表示。示。niixxS122)(不存在期望值时：不存在期望值时：niixS122)(存在期望值时：存在期望值时：自由度自由度指的是关系式中独立数据的个数，通常用指的是关系式中独立数据的个数，通常用 f 表示。表示。nf x0)(1 niixx1 nf 例如，在计算偏差平方和的过程中，若表达式中使用例如，在计算偏差平方和的过程中，若表达式中使用的是期望值的是期望值 ，则，则 ；若表达式中使用的是平均值；若表达式中使用的是平均值 ，则因

27、为存在约束条件则因为存在约束条件 而使独立数据的个数少了而使独立数据的个数少了一个，因此一个，因此 。正交试验设计正交试验设计 方差与均方差方差与均方差 方差方差也称为平均偏差平方和，表示单位自由度所对应的也称为平均偏差平方和，表示单位自由度所对应的偏差大小，通常用偏差大小，通常用 V 表示：表示：fSV/2 均方差均方差也称为准偏差或标准差，定义为方差的平方根，也称为准偏差或标准差，定义为方差的平方根，通常用通常用 表示，即表示，即 niixnV12)(1 存在期望值时：存在期望值时：niixxnV12)(11不存在期望值时：不存在期望值时：niixnV12)(1 存在期望值时：存在期望值时

28、：niixxnV12)(11 不存在期望值时：不存在期望值时：正交试验设计正交试验设计7.2.2 样本及其分布样本及其分布 总体、个体与样本总体、个体与样本 总体（总体（population）：被研究对象的全体。：被研究对象的全体。个体（个体（individual）：组成总体的每个单元。：组成总体的每个单元。个体有限的总体称为个体有限的总体称为有限总体有限总体；个体无限的总体称为；个体无限的总体称为无限总体无限总体。例如：例如：研究灯泡的寿命（总体），则每只灯泡的寿命就是总体（灯泡寿命）研究灯泡的寿命（总体），则每只灯泡的寿命就是总体（灯泡寿命）中的一个个体。中的一个个体。研究晶体管的直流放大

29、倍数（总体），则每只晶体管的直流放大倍数研究晶体管的直流放大倍数（总体），则每只晶体管的直流放大倍数就是总体中的一个个体。就是总体中的一个个体。任何总体中的个体都是按一定的规律分布的，因此可将任何总体中的个体都是按一定的规律分布的，因此可将总体视为随机变量，用大写字母总体视为随机变量，用大写字母X、Y、Z等表示（确切地说，等表示（确切地说，是总体中的个体的分布）。是总体中的个体的分布）。正交试验设计正交试验设计样本（样本（sample）：用一定方法从总体中抽取的：用一定方法从总体中抽取的一组个体一组个体称为称为总体的一个样本。样本也是随机变量。总体的一个样本。样本也是随机变量。与样本有关的几个

30、术语：与样本有关的几个术语：抽样（采样，取样）：从总体抽取样本的过程。抽样（采样，取样）：从总体抽取样本的过程。随机样本：个体是随机抽取的样本（无特指均认为是随机样本）。随机样本：个体是随机抽取的样本（无特指均认为是随机样本）。样本容量：样本中所包含的个体数目。容量样本容量：样本中所包含的个体数目。容量30的样本称为小样本，的样本称为小样本，30的样本称为大样本。的样本称为大样本。总体的样本用带下标的大写字母表示，例如总体的样本用带下标的大写字母表示，例如 表示表示总体总体 的一个样本。的一个样本。X),(21nXXX 样本观测值：一次抽样所得到样本的观测结果，样本观测值：一次抽样所得到样本的

31、观测结果，如如（）。）。nxxx,21 样本空间：样本观测值的所有可能取值的范围。样本空间：样本观测值的所有可能取值的范围。简单样本：若样本中的个体的分布规律与相应总体中的个体的分布简单样本：若样本中的个体的分布规律与相应总体中的个体的分布规律相同，则称这样的样本为简单样本。一般地，按随机化原则进行试规律相同，则称这样的样本为简单样本。一般地，按随机化原则进行试验所得到的样本均可视为简单样本。验所得到的样本均可视为简单样本。正交试验设计正交试验设计注意：注意：由于试验要受到各种条件的限制，通常无法对总体进由于试验要受到各种条件的限制，通常无法对总体进行研究，而是对某个或某些样本的性质进行研究，

32、通过样行研究，而是对某个或某些样本的性质进行研究，通过样本来推断总体的特征。本来推断总体的特征。总体是随机变量，总体的样本也是随机变量。总体是随机变量，总体的样本也是随机变量。科学实验中的抽样一般要求是完全独立、随机的，且科学实验中的抽样一般要求是完全独立、随机的，且应使每组样本的观测值之间互不影响，以最大限度使样本应使每组样本的观测值之间互不影响，以最大限度使样本具有与总体相同的分布规律。具有与总体相同的分布规律。正交试验设计正交试验设计 样本的分布函数与样本的统计量样本的分布函数与样本的统计量 样本分布函数样本分布函数 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为F(x)，为其为其n个独个独立的

33、观测值，它们组成一个容量为立的观测值，它们组成一个容量为n的简单样本。将的简单样本。将n个观测个观测值按从小到大的次序排列值按从小到大的次序排列),(21nXXXnxxx 21 若若 ，则相当于在，则相当于在n次重复独立试验中，次重复独立试验中，事件事件 的频率为的频率为 1 kkxxx xX )(1)()(0)(11xxxxxnkxxxFnkkn称为样本分布函数。称为样本分布函数。)(xFn正交试验设计正交试验设计)(xFn)(xF 可以证明，可以证明，当样本容量当样本容量n很大时很大时，样本分布函数，样本分布函数 将将近似等于总体分布函数近似等于总体分布函数 由样本推断总体的依据。由样本推

34、断总体的依据。样本统计量样本统计量 对于给定的一个样本实现对于给定的一个样本实现 ，可以计算其数字特征，可以计算其数字特征，并冠以并冠以“样本样本”二字，以示和总体数字特征的区别。例如：二字，以示和总体数字特征的区别。例如：),(21nxxx nikikxnm11),2,1(k nikikxxnm1)(1),2,1(k111mxnxnii 2121)(11mnnxxnvnii 样本的样本的k阶原点矩阶原点矩样本的样本的k阶中心矩阶中心矩样本的均值样本的均值样本的方差样本的方差正交试验设计正交试验设计xvkmkm 样本的统计量样本的统计量 、分别为下列总体（均为随分别为下列总体（均为随机变量）的

35、观测值：机变量）的观测值：niiXnX11 niiXXnV12)(11 nikikXnM11),2,1(k nikikXXnM1)(1),2,1(k 正交试验设计正交试验设计数理统计中关于统计量的定义是：数理统计中关于统计量的定义是：),(21nXXX),(21nXXXg),(21nXXXg 设设 为总体为总体X的一个样本，的一个样本，为一个连续函数，如果为一个连续函数，如果 g 中不包含任何未知参数，则称中不包含任何未知参数，则称 为一个统计量。为一个统计量。),(21nxxx),(21nXXX),(21nxxxg),(21nXXXg 如果如果 是是 的一组观测值，则的一组观测值，则 是统计

36、量是统计量 的一个观测值。的一个观测值。XVkMkMXV 显然，显然，、都是统计量都是统计量，其中，其中 和和 是是两个特别重要的统计量。两个特别重要的统计量。统计量都是随机变量，如果总体统计量都是随机变量，如果总体的分布已知，那么统计量的分布是可以求得的。的分布已知，那么统计量的分布是可以求得的。正交试验设计正交试验设计正交试验设计正交试验设计)(xFn)(xF 可以证明，可以证明，当样本容量当样本容量n很大时很大时，样本分布函数，样本分布函数 将将近似等于总体分布函数近似等于总体分布函数 由样本推断总体的依据。由样本推断总体的依据。样本统计量样本统计量 对于给定的一个样本实现对于给定的一个

37、样本实现 ，可以计算其数字特征，可以计算其数字特征，并冠以并冠以“样本样本”二字，以示和总体数字特征的区别。例如：二字，以示和总体数字特征的区别。例如：),(21nxxx nikikxnm11),2,1(k nikikxxnm1)(1),2,1(k111mxnxnii 2121)(11mnnxxnvnii 样本的样本的k阶原点矩阶原点矩样本的样本的k阶中心矩阶中心矩样本的均值样本的均值样本的方差样本的方差正交试验设计正交试验设计 连续型随机变量的分布及数字特征连续型随机变量的分布及数字特征 正态分布正态分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 222)(21)(

38、xexf)(x ,),(2 NX 2 则称则称X服从参数为服从参数为 的正态分布，记为的正态分布，记为 。参。参数数 、分别称为分别称为X的数学期望（均值）和方差（的数学期望（均值）和方差（称为标称为标准偏差）。准偏差）。正态分布的概率分布函数为正态分布的概率分布函数为 xxxdxedxxfxF222)(21)()(正交试验设计正交试验设计 当当 、时，称时，称X服从标准正态分布。若令服从标准正态分布。若令 （即观测值对均值的偏差为（即观测值对均值的偏差为 的的z倍），则可将一般正态分布倍），则可将一般正态分布化为标准正态分布，其分布函数变为化为标准正态分布，其分布函数变为 0 1 xz zz

39、dzezF2221)(zzzdzezF2221)(及及 正交试验设计正交试验设计00.500.99730.9986530.95440.977220.68270.84731z)(zF )(zF定理：定理：设设 是相互独立的随机变量，若是相互独立的随机变量，若则它们的和则它们的和 也服从正态分布，且有也服从正态分布，且有 nXXX,21),(2kkkNX ),2,1(nk nXXXY 21),(2222121nnNY 正交试验设计正交试验设计推论推论1：设设 ，是它的一个样本，是它的一个样本，则则 也服从正态分布，并且其数学期望和方差分也服从正态分布，并且其数学期望和方差分别为别为 、，即，即),

40、(2 NX),(21nXXX niiXnX11 )(XEnXD2)(),(2nNX 推论推论2：设总体设总体 ，总体，总体 ，且两，且两个总体相互独立，则样本均值差个总体相互独立，则样本均值差 也服从正态分布也服从正态分布),(2xxNX ),(2yyNY )(YX ),()(22yyxxyxnnNYX 式中式中 、分别为总体分别为总体X、Y的样本的样本容量。的样本的样本容量。xnyn正交试验设计正交试验设计7.3 正交与正交表正交与正交表 7.3.1 正交的概念正交的概念 在数学上，两个向量在数学上，两个向量 和和 若满足若满足),(21naaaA),(21nbbbB02211 nnbaba

41、baBABA即两向量的内积等于零，则称向量即两向量的内积等于零，则称向量 与向量与向量 正交。正交。由于在构造正交表的过程中使用了上述原理，因此将由于在构造正交表的过程中使用了上述原理，因此将相应的试验设计法称为正交试验设计。相应的试验设计法称为正交试验设计。正交试验设计正交试验设计7.3.2 正交表正交表 完全有序元素对（完全对）完全有序元素对（完全对）设有两组元素设有两组元素 与与 ，它们可构，它们可构成如下的元素对：成如下的元素对：),(21naaa),(21kbbb),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111knnnkkbabababababababa

42、ba),(21naaa),(21kbbb称这些元素对为由元素称这些元素对为由元素 与与 构成的构成的“完全有序元素对完全有序元素对”，简称，简称“元素对元素对”。若元素为数字，则。若元素为数字，则称为称为“完全有序数字对完全有序数字对”。正交试验设计正交试验设计例：由数字例：由数字(1,2,3,4)和和(1,2,3)构成的完全有序数字对为：构成的完全有序数字对为：)3,4(),2,4(),1,4()3,3(),2,3(),1,3()3,2(),2,2(),1,2()3,1(),2,1(),1,1(若在一个矩阵的任意两列中，由两列中的对应元素所若在一个矩阵的任意两列中，由两列中的对应元素所构成的

43、数字对是完全对且每对出现的次数相等，则称这两构成的数字对是完全对且每对出现的次数相等，则称这两列是列是均衡搭配均衡搭配，否则就是，否则就是不均衡搭配不均衡搭配。例如：。例如：正交试验设计正交试验设计 222222212212221121211111A第第I列列 第第II列列 第第III列列 第第I列与第列与第II列中的对列中的对应元素构成应元素构成8个数字对：个数字对：)2,2()2,2()1,2()1,2()2,1()2,1()1,1()1,1(它们是由元素它们是由元素(1,2)和元和元素素(1,2)构成的完全数字对，构成的完全数字对，每对各出现两次，因此称这每对各出现两次，因此称这两列为两

44、列为均衡搭配均衡搭配。而第而第I列与第列与第III列、第列、第II列与第列与第III列，由于每对出现的列，由于每对出现的次数不相同，因此均为次数不相同，因此均为不均衡搭配不均衡搭配。正交试验设计正交试验设计 正交表的定义与格式正交表的定义与格式 定义：定义：设设A是一个是一个 的矩阵（的矩阵（n行行k列），其中第列），其中第 j列元素列元素由元素由元素 构成构成 ，若，若A的任意两列均衡的任意两列均衡搭配，则称搭配，则称A是一张正交表。例如：是一张正交表。例如：kn),2,1(m),2,1(kj L4(23)正交表正交表2224112322121111321 列号（因素）列号（因素）行号（试验

45、号）行号（试验号）正交试验设计正交试验设计L8(424)正交表正交表21124812214712123621213511222422112322221211111154321 列号（因素）列号（因素）行号（试验号）行号（试验号）正交试验设计正交试验设计 正交表用符号正交表用符号 表示，其中表示，其中)(21knmmmL 正交表的代号，是正交表的代号，是Latin Square（拉丁方格）的首（拉丁方格）的首字母；字母；L正交表的列数，每一列对应着一个试验因素；正交表的列数，每一列对应着一个试验因素；k正交表的行数，表示试验的次数；正交表的行数，表示试验的次数；n第第 j 列中元素的个数，表示试

46、验中第列中元素的个数，表示试验中第 j个因素所取的水平数。若某些列中的元素个个因素所取的水平数。若某些列中的元素个数相同，可以写成指数的形式。数相同，可以写成指数的形式。),1(kjmj)222()2(434 LL)22224()24(848 LL例如：例如：正交试验设计正交试验设计)3(49L12339312382313（4把）把）721326132253212（3把）把）43（II型刀）型刀）3（0.47mm/r）3（56r/min）132（I型刀）型刀）2（0.7mm/r）2（38r/min）121（常规刀）（常规刀）1（0.6mm/r）1（30r/min）1（2把）把）14321孔径偏

47、差孔径偏差（mm）刀具种类刀具种类D（型）（型）走刀量走刀量C（mm/r）切削速度切削速度B（r/min）刀具数量刀具数量A（把）（把）因素因素 列列 号号 试验号试验号正交试验设计正交试验设计 任意列中各水平重复出现的次数相等。任意列中各水平重复出现的次数相等。第第 j 列中各水平重复出现的次数：列中各水平重复出现的次数：任意两列所构成的水平对是完全有序数字对，各水平对任意两列所构成的水平对是完全有序数字对，各水平对重复出现的次数相等（均衡搭配）。重复出现的次数相等（均衡搭配）。第第 i 列与第列与第 j 列所构成的水平对重复出现的次数：列所构成的水平对重复出现的次数：jmnt/)(/(ji

48、mmntji 7.3.3 正交表的性质正交表的性质正交试验设计正交试验设计 根据正交表的上述两个性质，可得到正交表的三种初根据正交表的上述两个性质，可得到正交表的三种初等变换：等变换：列间置换列间置换：正交表中任意两列可以相互交换；：正交表中任意两列可以相互交换；行间置换行间置换：正交表中任意两行可以相互交换；：正交表中任意两行可以相互交换；水平置换水平置换：正交表中任意一列中的水平数字可以相互交：正交表中任意一列中的水平数字可以相互交换（例如换（例如“3”“4”）。）。（经过上述初等变换后的表仍为正交表，称变换后的正交表为原正（经过上述初等变换后的表仍为正交表，称变换后的正交表为原正交表的等

49、价表）交表的等价表）说明：说明：若用关于零对称的数字表示不同水平（例如二水平用若用关于零对称的数字表示不同水平（例如二水平用-1、1表示；三水平用表示；三水平用-1、0、1表示；四水平用表示；四水平用-2、-1、1、2表表示），则任意两列元素的内积为零（正交表由此得名）。示），则任意两列元素的内积为零（正交表由此得名）。正交试验设计正交试验设计 用正交表设计出来的试验方案之所以合理，是因为具用正交表设计出来的试验方案之所以合理，是因为具有如下两个重要的特征：有如下两个重要的特征：均衡搭配均衡搭配正交性正交性 可以用较少的试验次数替代全部可能试验组合中好的、可以用较少的试验次数替代全部可能试验组

50、合中好的、中等的、不好的搭配组合，使选出的较少的搭配组合具有中等的、不好的搭配组合，使选出的较少的搭配组合具有均衡的代表性。均衡的代表性。综合可比综合可比数据分析的依据数据分析的依据 可把复杂的多因素试验数据处理问题转化成单因素试可把复杂的多因素试验数据处理问题转化成单因素试验数据处理。验数据处理。通过试验数据的适当组合，可发现各组试验数据以及通过试验数据的适当组合，可发现各组试验数据以及各因素影响之间的某种可比性。各因素影响之间的某种可比性。正交试验设计正交试验设计 水平数相同的正交表（水平数相同的正交表（m水平正交表）水平正交表）此类正交表中此类正交表中 ，因此通常简记，因此通常简记为为