第七章量子力学课件.ppt

1、第七章 自旋与全同粒子7.1 电子自旋一、电子自旋的实验现象1.斯特恩-盖拉赫实验1）zpokN-S磁铁之间为不均匀磁场K:氢原子 源,H原子束经狭缝准直后,穿过不均匀B,屏上两条黑线。事先确定：氢原子 处于S态，测量此时H原子是否有磁矩，若有多大？2）设原子磁矩为M，则它在外磁场B中的势能为cos,(,)zUM BMBM B 原子在外磁场中偏转受力（沿Z方向分量）cos zzBUFMZZ（1）（2）如果原子磁矩方向能够在空间任意取向，则 可以在-1，+1间变化。这样P 处的底上应当出现连续分布的带状粒子痕迹。实验结果：两条分立的线，对应 。（空间量子化）coscos1 3）实验解释：20,1

2、0,0,1,020zzzll lZlmmlmeMMmM 氢原子处于S态时轨道角动量平方分量在此状态下，原子轨道角动量及轨道磁矩均为0。如果仍发现现有磁矩，必为其他磁矩，设为“自旋”，内禀角动量，内禀磁矩。2.(589.6)4(589.0)6nmnm12碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P1S线波长589.3nm,光谱仪仔细分辨，可见双线：589.0nm&589.6nm无外场时，2P能级简并，何来两条谱线？3.反常塞曼效应 在若磁场中，原子光谱线的复杂分裂（分为偶数条），如钠2P1S，D条，D条.Uhlenbeck,Goudsmit (3)2 2.(4)zssSeMM 二的电子自旋假设（1

3、925）1.每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：每个电子具有自旋磁矩 S 所以在空间任意方向上只能取两23 (5)20.927 10/(6)22 2SZBBBSZLzeMMMMJ TMMeeSL 个投影值;其中是波尔磁子。电子自旋的回转磁比率：（7）22.1 S=,0,1,2,2 2)2 g2g1 3)S11 13 S11 ,12 22 ,zsslleeS SS SLl lSmm三 电子自旋角动量与轨道角动量的比较：）电子自旋值而轨道角动量 为整数倍，自旋磁矩/自旋，而 轨道磁矩/轨道角动量，即自旋 因子为，轨道 因子为。二者均为角动量，有共性1,2122 ,0,

4、1,(21)212zllsLmmlls个值，个双线：两个磁矩（角动量）值，7.2 1.,zr Sz自旋态与自旋算符一、自旋态的描述旋量波函数自旋角动量是与轨道运动无关的独立变量，是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量。要准确描写电子的运动，必须计入自旋状态，即考虑电子自旋在某给定方向的投影的两个可能的波幅，给出取这两个值的几率，所以波函数中还应包含自旋投影这个变量（S）,记为 (1)22,zzSrr Srrrzz由于只取两个分立值，因此仅用二分量波函数描述：22旋量波函数（2）22.旋量波函数的物理意义：是电子自旋向上（S=）,位置在r处的22几率密度。是电子自旋向下（S=-），22

5、*位置在r 处的几率密度。z2323233*zS23 d,d,d,Sd,=d,rrrrrrrrrrrrr zz而表示电子自旋向上（S=）的几率22表示电子自旋向下（S=-）的几率22归一化：2222223,d1 (3)rr 22 zzzz3.,S=r S (4)S S rab 分离变量形式的波函数当哈密顿量不含自旋变量或可表示成空间坐标部分与自旋变量部分之和，及其他情况，波函数可以分离变量：为描述自旋态的波函数，其一般形式为：2222*(5)(5)ab ,1 (6)aaba bb z式中与分别代表电子处于自旋投影S=态的几率。所以归一化条件写为24.,10 ,=(7)01szzzzmzszsz

6、zzzSSSSSmSmSSSS 12121122算符 的本征态算符 的表达式未知，其本征态却已由实验测出：。设算符的本征态表示 的11本征值，。用分别表示的22本征态，简记为 和：z (8),S,zaSabbrrr 和 构成电子自旋态空间的一组正交完备基。一般自旋态（5）可以用它们展开：而波函数（2）则可写为（9）22.1.(1)xyyxzyzzyxzxxzSSi SS SS Si SS SS Si SS SS Si 二 自旋算符与泡利矩阵自旋角动量算符S自旋角动量是电子的内禀性质，不能用r,p表示。但自旋应当满足角动量算符的普遍性质：即 (2)yS 由于在空间任意方向上的投影只能取两个值：，

7、所以，各自的本征值都只能分别取为两个值。它们各自的平方即。所以本征值平方：2222222(3)43344xyzSSSS(4)xSzSySS2224写为角动量算符的一般形式：由(5)得2223(1)(5)4SS S 1(6)2S、泡利算符及其对易关系：1)定义：，则(2)式可写为：(8)式可以合写为由于沿任一方向的投影只能取，所以的本征值只能取为，(7)2S 222xyyxzyzzyxzxxzyiii ,2,2(8),2xyzyzxzxyiii 或,2(9)ijijkki S2i122221(10)ixyz 2)泡利算符的反对易关系用分别左乘和右乘(8)-2式：两式相加可得：作业证22(11)y

8、yzyzyyxyzyzyyxyii 0 xyyx 000 xyyxyzzyzxxz (12)y将对易关系(8)式和反对易关系(12)式对应相加，可得：(14)式概括了算符的对易和反对易关系，同时(10)限定了的模为，另外算符应为厄米算符：式(10)、(14)和(15)概括了泡利算符的全部代数性质。xyyxzyzzyxzxxzyiii (14)i(15)、泡利矩阵（泡利表象）由自旋在任何方向的投影只能取，所以的本征值只能取，对应的本征态分别为自旋向上和向下两个态：而算符在其自身表象中的矩阵表示应为对角矩阵，矩阵元（对角元）即为本征值，所以，存在一个对角化的表象（，的共同本征态为基），使这时不一定

9、对角化，可由对易关系和求出。S2z110(17)01z10,(16)01 zz2,xy i21i）设由厄米性：，可见为实数，将(19)式代入(12)式之,即，可得可见由式(10)式：(18)xabdcbd,a c(19)xabbc0zxxz 0(20)ababbcbc0ac221,1xb 可取（可取，但此处取相角；可为不定因子）再求，由1b ibe001(21)10 xy,2zxyi 1 ()2100101101101101001220(22)0yzxxziiiii ）泡利算符的矩阵表示（泡利表象）：三、泡利表象中的算符和平均值有了泡利矩阵后，自旋算符的任一函数也表示为矩阵：在态中，对自旋求算

10、符的平均值0110 x00yii10(23)01zG2 211122122(24)GGGGGG111211221222111122111222221111221111222222,(,)(25)GGGGGGGGGGGGGG(26)GG d 在态中，对坐标和自旋同时求的平均值：G2r7.3 1.nn,nllEll简单塞曼效应一、正常塞曼效应氢原子或类氢原子在均匀外磁场中，原来的中心力场球对陈性被破坏，能级简并性被解除。原来库仑场中电子能级为度简并，而类氢原子及碱金属原子由于核外电子的屏蔽效应，能级由量子数和角量子数 共同决定：能级为2+1度简并。在外磁场下，此简并度进一步解除，能级将与量子数（n

11、,l,m)都有关。原来一条能级分裂为2+1条，同时，轨道磁矩、,LLllL SB 自旋磁矩都将与外磁场耦合，产生附加的能量，自旋与轨道运动之间也有相互作用能。如外磁场足够强，仅得轨道、自旋磁矩与外磁场之间的耦合能远大于LS耦合，则可观察到正常塞曼效应。如，钠黄线（=589.3nm）分裂为三条（l=1）,角频率，为拉莫频率，222.()(2)2 =(2)(1)2 (SI)(2)Schr.eq:2LssszzsseUMMBLSBceLSBcBBc能级分裂取外磁场方向为Z轴，则磁场引起的附加能量 定态()(2)2zzeBU rLSE（3）1221111222220 (3)(4)03()522()22

12、,zznlmneBU rLEeBU rLEE 1122222s无 L S 耦合,波函数可以写为坐标与自旋分量变量形式:=或=代入（）得：-（）-（6）e当B=0:氢原子 U r波函数仅由总量子数rn决定.2222nlm(01)2 (8)56snlmnlmnlmnlnlmzznlmnlmee aU rxrrnlU rElLmnl2nlm碱金属原子：屏蔽库仑势这时仍为本征波函数，但能级本征值E 不仅与 有关，而且与 有关.-（7）当B=0：是 的本征函数：仍为方程（）(）的解：,9nllmRr Y 12nlm（）l9561 :(1)(1)(10)221 :(1)(1)(11)22 22B0.szn

13、lmnlnllznlmnlnllcnlmeBSEEmEmeBSEEmEmeBeBEmmB（）式代入（）（）两式中：可见，当时，与 有关，原来对于 量子数的简并被外磁场消除，同时，能量与自旋和外磁场 的耦合有关特例：态原子SternGerlachnl，l=m=0,E 分裂为两个能级，实验即看到了这个现象（纯自旋效应）00000 3.,=(12)2 01 13lleBmmm nlmn l mnlmn l mnlmn l m谱线分裂:其中，由选择定则，所以，（）+1,+1 EffectH=e r:n4:00 =rx,y,zH=e rH1,0 e rnlmnlmsnlmnlmsnlmnlmnlmn l

14、 mnlmn l mZeemanS lm例：求正常的选择定则解：空间部分：无，l=1,m=0,1,已由Y的正交归一性导出，现在看第 个自由度或以 代表则1 s=s=02d 当1,11,+11,1,0H0,1 e r s=s=-121H0,1 e r s=-,s=0220H1,0 e r s=,s=-122Hnlmn l mnlmn l mnlmn l mnlmn l mnlmn l mnlmn l mnlmnlms n l m sdddc 当当当 s=s=20 ss 0,1,0,1n l mrdSlm 自旋的选择定则加上以前的选择定则：1,0:1,1:,lmzlmx y 其中12 S cose

15、sinesincos ninninnnnnnn 1001 ,0ii0 ,0110 Paulin,cos,sinsin,cossinn,n,nn 1 nniinzyxyxzzzyyxxnzyxnzyx，均为在任何方向上的投影动量的本征值：电子自旋角猜解：表象）。的本征值和本征函数（求方向单位矢量，给定、例题四、（与实验一致）则即有非零解，、即本征方程：，本征值为即的本征函数表达为）设（1 1 0sincoscos 0det cc 0cccosesinesincos,0 cc cc122n2121iin2121ni2121i2i1esincos1cc 0c1coscesin0cesinc1cos:

16、1 12函数：分别代回原式，求本征）将本征值（.1n n1innn121n innn1n121n e2sine2cos e2sin2cos e2sin2cose2cos22sin22coscc zzyxz1yxzz12i2i1i1ii221时，二者等价当或以直角坐标表示：，或，表示的本征函数为，用 1n innn1n121n n1innn121n e2cose2sin e2cos2sin n1inncc,innn1cc e2cos2sinecos1sincc e2cos2sinesincos1cc :1zyxzz1zyxz1112i2i1i1zyx21yxz21ii21ii21时，二者等价。当

17、或在直角坐标下：分属不同本征值，正交，注：，或，表示归一化本征函数：，用在直角坐标下，或当z221i1n1nz221i1n1nnnnnz21n1212sina 2sin01e2cos2sin1a 1n1212cosa 2cos01e2sin2cos1a 11 a1b1a 2几率：的几率：先求展开系数几率：的几率：先求展开系数之一征值：的可能测量值即为其本）解：（的平均值。和相应的几率，各分量的可能测量值及的自旋态，求）对几率；（的可能测量值及相应的，求）对电子的自旋态（、zzz1121ii11zz221i11zzn1n121 n121 n1211a 1a ,2sina e2sine2sin2c

18、os10a 1n1212cosa 2cose2sin2cos01a 111b222或几率：的几率：几率：的几率：求之一征值的可能测量值必为其本中：）在自旋态（n 1 nn121 1 nn121 1 x z,y,-yx,z,-zy,x,zy,x,nzy,x,nnnn n121n121 1a1a :n1yyyyxxxxnzzyyxxnzzz2121zzz中：合写为：在自旋态，平均值的几率为，平均值的几率为可以推得：轮换：作中完全等价，可以各分量在各分量与方向为人为选定，由于的平均值求 22222n222zzxyyxzxyzyx2z2y2xxyxyyxyxzz2zyy2yxx2xzzyyxxzzyy

19、xxpp,rr 1n0nnnA AAAA10AABA BAiBA BAiBA BABAiBABA i 1 xzzy BABABABABA BBBAAABA BA (1)BAiBABABA 1 又如），即得（单位矢量，如取）简化成，则式（，而且若讨论：即得，等等，利用分量项、分量项、的分量式，、将左端展开成证：证明对易的任何矢量算符，是与、设：思考题 t sin22SS iee21t 0t be ae B B00BBBH ,Bdtdi Hdtdi i121S,SSSSchr.0ty0tz 2 21x21xtiti21ti2ti1000z021z2xx时初始条件，有代入，则令而即，态演化：表象中，

20、自旋初态为解：在。的期望值态矢及时正方向，求在自旋沿时测量得到电子，在方向的均匀磁场中运动一个电子在沿：思考题 xxzx BxeBe B HS t0St0c2 c2StSt01e BeB H102 c2 ca t ta tb tb t例题：有一个定域电子（不计轨道运动）受到均匀磁场作用，磁场 指向正 方向，磁作用势为，设时电子自旋向上，即，求时的平均值。解：先求自旋态波函数，再求 在态中的平均值，其中设 tSchr.eqa 011d itHt0b 000dt ，应满足：，初始条件：，即 i ti ti ti tdai ba ta t01ddt i b tb t10dbdti adtdabi a

21、ba tb ta 0b 0eedt da tb ta 0b 0eeabi abdt 二式相加减有积分：a tcos t,b tisin t zyzzyyxxzzzyyyxxxe tcos22e tsin22eSeSeSS tcos22tisintcos1001tisintcos2tt2SS tsin22tisintcos0ii0tisintcos2tt2SS 0tisintcos0110tisintcos2tt2SS Stisintcost tisintcost 的平均值：求，并且即7.4 LS耦合的总角动量一、一、LS耦合电子自旋是一种相对论效应，用相对论波动方程研究电子在中心立场V(r)运

22、动，过渡到非相对论运动极限时，哈密顿量中会出现一项自旋(s)-轨道(L)耦合项：22(),11()2r S ldVru crdr其中（1）BBLS当外磁场 很强时，附加能量项主要是自旋磁矩和轨道磁矩分别与 的耦合能，L S耦合能相对较小，可以忽略。而在弱磁场或无外场时，耦合就不能忽略，他会对能级和光谱产生可观测的效应。如碱金属元素的光谱线双分裂、反常塞曼效应等。2,l S、总角动量角动量及对易关系：20pHH+H=()(2)()22zzeBV rlSr S luuc2p=()()22zzeBeBV rjr S lSuucuc 2pB=0H()()2V rr S lu当，（2）（3）以前已知道，

23、中心力场中轨道角动量守恒，自旋角动量20pHH()2V ru及总角动量也守恒，因为，总角动量：JLS（4）00,00,0,0HLS HJ H（5）0,HH L SJS l现在，和 是否守恒，只须看他们各自是否与对易。,0,0lSlSSl，（6）0HlSJ、及 各与对易。所以L和S都不再是守恒量。)j,J,L(LJ S,LSL127 (12)0LSL 0JL 0jL (c)11 (11)0LS,J (10)z)y,x,(0j,J 9 JJJJ (b)(8)z)y,x,(0S,L SL7 7 jij,j ,jij,j ,jij,j aSLJ z222222222z2y2x2yxzxzyzyx的共同

24、本征态。守恒量完全集部分的波函数可以选为此，电子的角度及自旋仍是守恒量。因和轨道角动量平方是守恒量，但总角动量不再耦合以后，）式可知：在计及（）所以，由（，还可证明：量电子的总角动量是守恒）式可见，中心力场中由（可证）（由彼此对易：的分量与对方分属不同自由度，各自与）式只须注意证明（，可证得：而对总角动量(18)2j(L ,)2j(L (17)j10012L (16)jJ J 2(15)C C CL CL C ,14 CL L 1 JJL)S,(13 22)S,()S,()S,(J,J,L 32z2z1z1z21z2121z21z21zz212222111222z22z21zzzz22即的本征

25、态：为要求）（即为常数）（的本征态：是要求）（的本征态：和，应当同时是）（，表象中，设在）的共同本征态求守恒量完全集（、123,12222222218,)(19)(19).3),J:3J()2(4lmzl mx xy ylaYSbYllslss llll z由（）可见，和 也应当是 的本征态 但对应的本征值相差.所以可取(显然式是 和j的本征态此外再要求 为 的本征态12222)34 2034 (21)()(1)z zzzxylmlmlllllllllill Ylm lmY（）其中 思考题 (22)2202122 J 要求（）（）（）满足的本征方程22+111*1J3(1)(1(1)1)43

26、()(1)+(1)(1)4 3(1)(1)4lmlmlmlmlmlmlmlmlmlmlmlmaYaYbYbYl lm aYlmlmbYaYlmlmaYl lmbYbYYYl lmalm lm 得以和分别乘上二式，对（，）积分得：）0 233()(1)+(1)(1)0 4blmlmal lmb（）(23)以上为 的线性齐次方程，它们有非零解得条件为 ,a bdet|=0.121/2)(3/2)(1/2)(1/2)(24)1 (25)2j=1/223a =(1)/(blllllllm解 的两个根得：（或 =j(j+1),j=将代入（）式之一得)(26)j=1/223a =()/(1)(27)blm

27、llmlm将代入（）式之一得11119111,)2211 (28)212111,)221112121lmzlmlmlmlmzlmlmllmYsjlllmYlmlmYYlllmYsjlllmYlmlmYYll 把上式代入（）式，并归一化：（1 (29)m22,2jj,js0011,2 (1),(1),m,(mj,j 1,.,j)0,1290mm2,0jjl j ml j mll lj jllY z110,0,22它们是（,J,j ）的共同的本征态，记为。对应的本征值为：14 例:当轨道 没有s-L耦合，总角动量值即j=s=这时2只有（）式有意义。若把波函数记为，则当时0021/2,1/21/2,

28、1/20 (31),1/222jjjjjjmjmYl mj mjmjmYYjljj jj,m把()用量子数（）来表示，则1/2,1/21/2,1/211 1/22121jjjjjmjmjmjmYYjljj jj,m（32）5,0 1 2 3 4 1/2 1/2 3/2 3/2 5/2 5/2 7/2 7/2 9/2 lj1/2波函数的光谱学符号：，量子态 s1/23/23/2 5/2 5/2 7/2 7/2 9/2 ,ppdfg，7.5 光谱的精细结构，反常Zeeman效应一、类氢原子和碱金属原子光谱的双线结构222()(01)sszeze au rrr 类氢原子、碱金属原子都只有一个价电子，

29、原子核及内层满壳（原子实）电子对他的作用，可近似表成一个屏蔽Coulomb场，2,(),szeu rr 当不计屏蔽时 则1H、及其本征态2pH()()2u rr S lu（1）其中：2211()2duru cr dr（2）22z2222(,J)H,J(H,J)HzzLSJlJlJl由上节对计入耦合时角动量的分析，互相对易，并且与 对易，所以均为守恒量，可把，的共同本征态选为 的本征态：(,)()(,)jznrjmzrsR rs （3）HEnlj2、估算 本征值(3)(,)zrs 将式代入薛定谔方程：2222221()()()2lru rr S lEu rrrr（4）222223+s2s=2s,

30、4Jllll由于所以222s=(-s)/2,jljmlJl作用于本征态后s=jljml212212,2(1),(0)2jjljmljmljlljll （5）（6）j对两个 值，可分别得到两个径向方程：2222221(1)()()()()222ddl llru rr R rER ru r drdrur2222221(1)(1)()()()()222ddl llru rr R rER ru r drdrur()u r给定的具体形式，可以解上两方程，如：氢原子：2222E=,()(,)()2jsnljmnllmzuz eRr Ysn （7）碱金属，u(r)为屏蔽势，E=E,()(,)jjnlnljm

31、nlljmzRrs()(,)E(21)nlju rn l jj 碱金属不再是库仑场，所以能量与量子数都有关：简并部分被消除，为重简并。()0,()0,()0,()0,(7)u ruu rr 由于原子中为引力，所以即由可直接看出：1122E()()nljnljjlEjl 11224(0)()S-LEZ,ZE,(Z=11),Ejljllru rZ 能级略高于能级，但由于S L耦合能很小，这两条能级很靠近,这就造成了两条很靠近的光谱线。又由于()，所以耦合造成的能级分裂所以 小的原子分裂不明显 从钠原子开始才明显的被观测到.3.钠原子能级图（计入L-S耦合）0()ev12345123s124s125

32、s126s325s324s125s124s53223,d53224,d53225,d75224,f323p123p11122332223333DpsDps：25890AD15896AD312 2222222,:(1)(2)(2)(3),(1)(2)(3)3S,:3pNasspsssp原子基态电子组态为满壳组态为价电子 第一激发态 3 1mc2BeE 21m ,2mmc2BeEE 2 S,YrRS,r S,L,LHHS-L(1)2SLc2Beru2pHzBS-L3 Zeeman1 Zeemansnlsssnlnlmmzmlmnlzmnlmnlmmzz2zzs2ssss相应的能量本征值为的共同本征

33、态，即，量完全集的本征态可以选为守恒以分离，部分与空间部分可耦合，所以波函数自旋因为不计方向：沿设耦合相对较弱。条。裂为强磁场中，原子光谱分效应、正常效应二、反常 项。麻烦在不对易，仅均非守恒量，即与和这时，效应、弱磁场，反常态跃迁。两组能级内部，不允许或跃迁只能分别发生在的跃迁选择定则：而且，由于电偶极辐射子光谱分裂现象相同。是否考虑自旋，对于原zz2yxzzs2zzs2sssssS.0H,JH JJ,J4 S2Jc2BeLSrru2p S2Lc2BeLSrru2pH 1Zeeman221m21m21m21m,0m jjj22zznlmznljljmzsnljmnljjLLSH,L,J,JH

34、 r,SRr,S 5e B EEm,2 c 先忽略项，则仍为力学量完全集，本征态仍可写为与上一段中相同形式能量本征值则为 nljnljnljnljs 6RrEB0E 2j 1 B0E 2j 1 62j 1jlmZeeman 而与则与谱线双分裂中相同。当，能级是重 简并的；时，分裂为条，简并解除，如式所示。由于为偶数，为半奇数，这就解释了反常效应中的偶数条谱线问题。本征函数不变能量本征值：对角化：一级简并微扰，则可将维子空间中应用的，对项在弱磁场下当作微扰当(8)0)(l 21lj 2j1121lj 2j11mEE (7)0)(l 21lj 22jm21lj 2jmmlSml mlSmlmlSm

35、l S12jES LjnlmnljLjLjjzjjLjjzjjmmjjzjjzLnljzLjjjjj(2)能级图7.6 全同粒子的特性 广是单电子情形的直接推及多电子体系波函数与无关与方程算符，、归一化：几率。时刻发现电子的在内，附近在内，电子附近在表示电子则，波函数个电子，暂不计入自旋、设有方程数及一、多电子体系的波函eq.SchrH5 r,r,rEr,r,rHtfr,r,rt,r,r,r 4 tH ,t,r,r,rHt,r,r,rti 3 r,rwt,ru2H dingeroSchrHamilton22 1dddt,r,r,rC tdr2dr11 dddt,r,r,rt,r,r,rdw ,

36、t,r,r,rN1 dingeroSchrN21N21N21N21N21N21N1ijiN1ii2ii2N212N2122211N212N21N21N21 1 部相同的粒子荷、自旋等固有特性全、全同粒子：质量、电二、全同性原理12:t12粒子无法指明交叠区是哪个无法区分固有性质相同，、在交叠区，由于粒子 2121:t0与可区分粒子数不重叠设初始时刻二粒子波函122 、量子力学基本原理之一：全同性原理在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态 8 t,qqq,qt,qqq,qHt,qqq,qti :Schr.eq 27 t,qqq,qHt,qqq,qH 6qq 6 q,qwt,

37、qu2H Hamilton 1qiN Nji1Nji1Nji1Nji1Nij1jiN1ijiN1ii2ii2i式不变：，与交换算符：表示个粒子的坐标和自旋用，第个全同粒子组成的体系由数三、对称与反对称波函 最多相差一个常数因子描写同一量子态，二者与不改变量子态粒子全同粒子相互代换粒子、由全同性原理，的解。同为与不变，对交换由于即式可写为：作用在方程两边：（坐标与自旋同时换）两粒子的作用为交换引入算符ijijNij1Nji1Nij1Nji1ijNji1Nij1Nij1Nji1Nji1ijNji1ijijNij1Nji1ijijPjieq.SchrPjiH t,qqqqt,qqqqHt,qqqqt

38、i 1010 t,qqqqPt,qqqqH t,qqqqt,qqqqH t,qqqqt,qqqqHP t,qqqqPti P9 t,qqqqt,qqqqPqj,i,P 对称的。波函数必须为对称或反粒子函数的一个限制：全同交换下不变，产生对波在所以，由反对称波函数：对称波函数：交换算符的本征值为，即则复原，再一次左边：两边再作用一次jiH16 t,qqqqt,qqqqP 115 t,qqqqt,qqqqP 114 1 11 13 t,qqqqt,qqqq ji12 t,qqqqt,qqqqPP11 t,qqqqt,qqqqP Nji1Nji1ijNji1Nji1ij2Nji12Nji1Nji12Nji12ijijNji1Nji1ij