第三章光学成像系统的频率特性课件.ppt

1、6019光学信息技术原理及应用光学信息技术原理及应用光学透镜的变换光学透镜的变换(十十)6019光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，它用于传递二维光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，它用于传递二维的光学图像信息。的光学图像信息。光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）从光学系统物面光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）从光学系统物面传播到像面，输出的图像信息取决于光学系统的传递特性。传播到像面，输出的图像信息取决于光学系统的传递特性。对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出其本征函数，把对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成的频

2、率分量，考察这些空间频率输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，考察这些空间频率分量在系统传递过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频分量在系统传递过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。率特性即传递函数。这是一种全面评价光学系统传递光学信息的能力的方法，也是一这是一种全面评价光学系统传递光学信息的能力的方法，也是一种评价光学系统成像质量的方法。种评价光学系统成像质量的方法。光学成像系统的频率特性光学成像系统的频率特性6019透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和

3、光学傅里叶变换性质基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质 透镜可以用来实现透过物体的光场分布的透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和费衍射夫琅和费衍射，而透镜，而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用 无像差的正薄透镜对点光源无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从波面变的成像过程是点物成点像，从波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波发散球面波发散球面波和和会聚球面波会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二次位相在透镜平面上都

4、具有球面波的二次位相因子，因此因子，因此透镜透镜的功能就是改变二次位相因子的大小，实际上也的功能就是改变二次位相因子的大小，实际上也就是具有附加的二次位相因子就是具有附加的二次位相因子透镜的位相变换作用透镜的位相变换作用 6019透镜的位相变换作用透镜的位相变换作用示意图示意图 6019透镜的复振幅透过率定义为透镜的复振幅透过率定义为 和和 分别是分别是 和和 平面上的光场复振幅分布。平面上的光场复振幅分布。傍轴近似下单色点光源的发散球面波在平面上造成的光场分布为傍轴近似下单色点光源的发散球面波在平面上造成的光场分布为 球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为球面波经透镜变换后向

5、点会聚，在平面上造成的复振幅分布为透镜的复振幅透过率或相位变换因子为透镜的复振幅透过率或相位变换因子为 ),(),(),(11yxUyxUyxt),(yxU),(yxUPP)(2exp)exp(),(221yxpkjjkpAyxUyxqkjexpjkqexpAyxU,)11)(2exp),(),(),(2211qpyxkjyxUyxUyxt透镜的复振幅透过率透镜的复振幅透过率即位相变换作用即位相变换作用 6019由透镜成像的高斯公式可知由透镜成像的高斯公式可知 透镜的相位变换因子可表为透镜的相位变换因子可表为 如果考虑透镜孔径的有限大小，用表示孔径函数（或称光瞳函如果考虑透镜孔径的有限大小，用

6、表示孔径函数（或称光瞳函数），其定义为数），其定义为于是透镜的相位变换因子可写做于是透镜的相位变换因子可写做fpq111)(2exp),(22yxfkjyxt其他透镜孔径内,0,1),(yxP)(2exp),(),(22yxfkjyxPyxt透镜的透镜的二次二次位相位相因子因子 6019透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 透镜除了具有成像性质外，还能作傅里叶变换，正因如此，傅里叶透镜除了具有成像性质外，还能作傅里叶变换，正因如此，傅里叶分析方法在光学中得到广泛而成功的应用。分析方法在光学中得到广泛而成功的应用。前面已经说明，单位振幅平面波垂直照明衍射屏，在透镜的后焦面前面已经说明，单位振

7、幅平面波垂直照明衍射屏，在透镜的后焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察（无穷远照明光源的共轭面）上观察的的夫琅和费衍射，恰好是衍夫琅和费衍射，恰好是衍射屏透过率函数的傅里叶变换射屏透过率函数的傅里叶变换另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏上的另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换，菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换，因此因此可在照明光源的共轭面上观察屏函数的夫琅和费衍射图样。可在照明光源的共轭面上观察屏函数的夫琅和费衍射图样。下面进行下面进行具体具体讨论讨论 6019物在透镜之前物在透镜之前

8、的变换的变换 6019由于是薄透镜，平面由于是薄透镜，平面 、和和 重合重合在一起在一起要变换的透明片置于透镜前方，其复振幅透过率为要变换的透明片置于透镜前方，其复振幅透过率为在傍轴近似下，由单色点光源发出的球面波在物的前表面上造成在傍轴近似下，由单色点光源发出的球面波在物的前表面上造成的场分布为的场分布为 透过物体，从输入面上出射的光场为透过物体，从输入面上出射的光场为从输入平面出射的光场菲涅耳衍射到透镜平面，复振辐分布为从输入平面出射的光场菲涅耳衍射到透镜平面，复振辐分布为 PP),(yx),(yxt)(2exp020200dpyxjkA)(2exp),(02020000dpyxjkyxt

9、A00020200202000002)()(exp)(2exp),(),(0dydxdyyxxjkdpyxjkyxtdjAyxU物在透镜之前物在透镜之前的变换的变换性质性质证明（证明（1 1）6019物在透镜之前物在透镜之前的变换的变换性质性质证明（证明（2 2）通过透镜后的场分布为通过透镜后的场分布为 式中式中 为光瞳函数。再一次经过为光瞳函数。再一次经过菲涅耳衍射，菲涅耳衍射，在输出面上，即在输出面上，即光源的共轭面上的光场分布为光源的共轭面上的光场分布为 经过大量的代数运算和化简可得，经过大量的代数运算和化简可得，输入平面位于透镜前，计算光源输入平面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布的一

10、般公式共轭面上场分布的一般公式为为yxP,)2exp(),(),(),(22fyxjkyxPyxUyxUydxdqyyxxjkfyxjkyxUqjyxUp)()(exp)exp(),(),(0000000000220)()(exp),()(2)(exp),(dydxfddfqyyxxfjkyxtfddfqyxdfjkcyxU6019两个特殊位置两个特殊位置的讨论的讨论 照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此观察平面位照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此观察平面位置置由照由照明光源位置决定（当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，明光源位置决定（当照明光源位于光轴上无穷

11、远，即平面波垂直照明时，这时观察平面位于透镜后焦面上）这时观察平面位于透镜后焦面上）输入平面位于透镜前焦面，输入平面位于透镜前焦面，由于由于 ，衍射物体的复振幅透过率与衍衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且而且只要照明光源和观只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系 输入面紧贴透镜，这时输入面紧贴透镜，这时

12、，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察面上场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察面上的频谱的空间尺度上能按一定的比例缩放的频谱的空间尺度上能按一定的比例缩放 000000)exp(),(),(dydxfyyxxjkyxtcyxUfd00d00000022)exp(),()2exp(),(dydxqyyxxjkyxtqyxjkcyxU6019物在透镜之后的变换物在透镜之后的变换 6019入射到透镜前表面的场为入射到透镜前表面的场为 从透镜出射的场为从透镜出射的场为 从透镜的后表面出射的

13、场到达物的前表面造成的场分布为从透镜的后表面出射的场到达物的前表面造成的场分布为 通过物体后的出射光场为通过物体后的出射光场为 )2exp(220pyxjkA)2exp()2exp(22220fyxjkpyxjkApydxddyyxxjkfyxjkpyxjkdjAyxU2)()(exp)2exp(2exp),(02020222200000),(),(),(00000000yxUyxtyxU物在透镜之物在透镜之后的变换后的变换性质性质证明（证明（1 1）6019这个光场传输到观察平面上造成的场分布为这个光场传输到观察平面上造成的场分布为 经过一系列的代数演算得到：经过一系列的代数演算得到：可以看

14、出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源可以看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。00020200000000)(2)()(exp),(),()(1),(dydxdqyyxxjkyxUyxtdqjyxU dydxdqyyxxjkexpyxtdqyxjkexpcyxU,物在透镜之物在透镜之后的变换后的变换性质性质证明（证明（2 2）6019在上一节中，照明光源

15、和观察面是一对成物像关系的共轭面，物在上一节中，照明光源和观察面是一对成物像关系的共轭面，物透明片无论是放在透镜前或透镜后，除一常数相位因子外，观察透明片无论是放在透镜前或透镜后，除一常数相位因子外，观察面总是物的频谱面面总是物的频谱面下面讨论一种任意情况，物面（输入面）和观察面（输出面）的下面讨论一种任意情况，物面（输入面）和观察面（输出面）的位置是任意的，将导出此时的输入输出关系式位置是任意的，将导出此时的输入输出关系式透镜的一般变换特性透镜的一般变换特性6019透镜焦距为透镜焦距为 ，物面，物面 位于透镜前处位于透镜前处 ，观察面，观察面 位于位于透镜后透镜后 处，处，和和 是任意的。用

16、振幅为是任意的。用振幅为1 1的单色平面波垂的单色平面波垂直照明物平面，设物面上的场分布为直照明物平面，设物面上的场分布为 ，观察上的场分布，观察上的场分布为为 ，并假设光场在，并假设光场在 和和 距离上的传播满足菲涅耳近距离上的传播满足菲涅耳近似条件，则透镜前表面上的场似条件，则透镜前表面上的场 可表为可表为 f01d12d1d2dyxU0,yxU,yxU1,2d00120200001112)()(exp),()exp(),(dydxdyyxxjkyxUdjjkdyxU透镜前表面上的场透镜前表面上的场分布分布 1d6019考虑到透镜的相位变换因子，则透镜后表面上的场分布为考虑到透镜的相位变换

17、因子，则透镜后表面上的场分布为 于是观察平面上的场于是观察平面上的场分布分布为为 ),()(2exp),(1221yxUyxfkjyxUydxdyyxxdkjexpyxUdjjkdexpyxU,)(),(fyxjkexpyxUddddjkexp,ydxddydxdyyxxjkexpdyyxxjkexp 透镜后表面和透镜后表面和观察平面上观察平面上场分布场分布6019观察平面上观察平面上场分布可以简化场分布可以简化为为 其中其中00022221221,2expexp,yxUyxdkjddddjkyxUdydxyxIdyxjkexp,ydxdydydyxdxdxyxfddkjexpyxI,xdxd

18、xdxxkjexpydydydyykjexp),(),(002001yxIyxIfdd观察平面上观察平面上场分布的简化场分布的简化(1)(1)6019根据根据积分公式积分公式 对于对于00的情况可得的情况可得 又因为又因为/exp2exp22ABCAdxCBxAxdxdxkjexpjyxI,dydykjexpjyxI,fddddddddddfdddddddddd观察平面上观察平面上场分布的简化场分布的简化(2)(2)6019得到得到 yxfdddkjexpddjddjkexpyxU,dydxyyxxyxfdddkjexpyxU,观察平面上观察平面上场分布的简化场分布的简化(3)(3)6019常

19、用特殊情况之一：常用特殊情况之一：后焦面作为观察平面后焦面作为观察平面 当当 ，即后焦面作为观察平面时，则，即后焦面作为观察平面时，则上上式简化成式简化成除一相位因子外，除一相位因子外，是是 的傅里叶变换的傅里叶变换 )(12exp)(exp),(2211yxfdfkjfjfdjkyxU0000000)(2exp),(dydxyyxxfjyxUfd2yxU,yxU0,6019 当当 时，式中的二次位相因子被消去时，式中的二次位相因子被消去 这时这时 是是 的准确傅里叶变换（常数相位因子无关紧要）的准确傅里叶变换（常数相位因子无关紧要）一般情况下，一般情况下，和和 与与 并不相等，可以实现分数傅

20、里叶变换，并不相等，可以实现分数傅里叶变换，请读者自行证明请读者自行证明 fdd2100000)(2exp),()2exp(),(dydxyyxxfjyxUfjkfjyxUyxU,yxU0,1d2df常用特殊情况之二：前常用特殊情况之二：前焦面作为焦面作为输入输入平面平面6019当当 时，即输入和输出满足物像共轭关系，得时，即输入和输出满足物像共轭关系，得 将这两式代入得将这两式代入得在输出平面得到放大在输出平面得到放大 倍的像，回到了几何光学的结果倍的像，回到了几何光学的结果 0 xdxMxxdjxdxdxdxjI01210112exp2exp)/(01Mxxd)/(2exp012102My

21、ydydydydyjIMyMxUyxMfjMddjkyxU,)(exp)(exp),(0222112dd-M 常用特殊情况之三：物像共轭常用特殊情况之三：物像共轭平面平面6019方法之一：基本的成像过程分析方法是直接用衍射公式方法之一：基本的成像过程分析方法是直接用衍射公式例：物体紧靠透镜例：物体紧靠透镜分析光学系统的四种常用方法分析光学系统的四种常用方法 6019物物紧靠紧靠透镜之前（透镜之前（直接用直接用菲涅耳衍射菲涅耳衍射积分公式），振幅为积分公式），振幅为 的平的平行单色照明光行单色照明光透过物体，从输入面上出射的光场为透过物体，从输入面上出射的光场为通过透镜后的场分布为通过透镜后的场

22、分布为在透镜后焦面上的场振幅分布可用在透镜后焦面上的场振幅分布可用菲涅耳衍射菲涅耳衍射积分公式积分公式直接计算直接计算代入代入通过透镜后的场分布通过透镜后的场分布消去积分内的二次位相因子得消去积分内的二次位相因子得),(),(0yxtAyxUl)2exp(),(),(),(22fyxjkyxPyxUyxU0A ydxdyyxxfjyxPyxtfjyxfkjAyxUfffffff2exp),(),(2exp),(220ydxdyyxxfjfyxjkyxUfjyxfkjAyxUfflfffff2exp2exp),(2exp),(22220直接用菲涅耳衍射公式直接用菲涅耳衍射公式6019方法之二：用

23、角谱传播公式可以简化分析过程方法之二：用角谱传播公式可以简化分析过程例：物体位于透镜之前例：物体位于透镜之前用角谱传播公式用角谱传播公式6019物物紧在紧在透镜之前透镜之前，透过物体透过物体的光场的角谱的光场的角谱 ，与投射到透与投射到透镜镜上的光场上的光场的角谱的角谱 之间关系为之间关系为 在透镜后焦面上的场振幅分布公式改写成角谱形式为在透镜后焦面上的场振幅分布公式改写成角谱形式为式中已忽略了透镜有限孔径的作用，进一步写成积分形式为式中已忽略了透镜有限孔径的作用，进一步写成积分形式为yxffF,0yxlffF,2200exp,yxyxyxlffdjffFffFfyfxFyxfdfkjfjAf

24、fFffdjyxfkjfjAyxUffffyxyxfffff,12exp,exp2exp,02200022022000000022002exp,12exp,dydxyyxxfjyxtyxfdfkjfjAyxUfffffff物在透镜之前物在透镜之前的另一种证明的另一种证明6019方法之三：用会聚光照明可以直接简化成方法之三：用会聚光照明可以直接简化成夫琅和费夫琅和费衍射衍射例：物体位于透镜之前例：物体位于透镜之前用会聚光照明来分析用会聚光照明来分析6019会聚光照明时，透镜光栏的作用简化为会聚光照明区域的不断变会聚光照明时，透镜光栏的作用简化为会聚光照明区域的不断变化。只要物体被完全照明，投影光

25、瞳可以完全略去，物体透过的化。只要物体被完全照明，投影光瞳可以完全略去，物体透过的光场可以表示为光场可以表示为代入代入菲涅耳衍射菲涅耳衍射积分公式积分公式，消去积分内的二次位相因子得消去积分内的二次位相因子得第四种方法就是前面已经提到的，几何透影方法，在光瞳比波长第四种方法就是前面已经提到的，几何透影方法，在光瞳比波长大很多，而且与物体大小可以比较的时候，光瞳中均匀照明的边大很多，而且与物体大小可以比较的时候，光瞳中均匀照明的边界，即光栏的衍射问题可以忽略不计，从而简化分析的问题界，即光栏的衍射问题可以忽略不计，从而简化分析的问题0002020000,2exp,yxtyxdkjdAfyxU00

26、00002202exp),(2exp),(dydxyyxxdjyxtdfdjyxdkjAyxUfffffff物在透镜之物在透镜之后的另一种证明后的另一种证明6019如下图所示的楔形薄棱镜，楔角为如下图所示的楔形薄棱镜，楔角为 ，折射率为，折射率为 ，底边厚度，底边厚度为为 。求其位相变换函数，并利用位相变换函数来确定平行光束。求其位相变换函数，并利用位相变换函数来确定平行光束小角度入射时的偏向角小角度入射时的偏向角 。n关于位相变换的例题关于位相变换的例题 6019楔形薄棱镜与薄透镜同样，在光路中可以不考虑其厚度引起的入射点高度楔形薄棱镜与薄透镜同样，在光路中可以不考虑其厚度引起的入射点高度变

27、化只考虑产生的位相即光程变化，而且楔角可以认为是小角度，一般楔变化只考虑产生的位相即光程变化，而且楔角可以认为是小角度，一般楔形薄棱镜都在光线垂直于入射面的状态放置。因此可以在入射面内建立形薄棱镜都在光线垂直于入射面的状态放置。因此可以在入射面内建立 坐标系，取坐标系，取 轴垂直于入射面。以光楔顶点为原点，在图面内向下为轴垂直于入射面。以光楔顶点为原点，在图面内向下为 的正方向的正方向无论入射角如何，入射到无论入射角如何，入射到 面上的平面波光场，出射时的坐标都是不面上的平面波光场，出射时的坐标都是不变的。因此入射到光楔顶点的光仍然由原点出射，而入射到光楔底部的光变的。因此入射到光楔顶点的光仍

28、然由原点出射，而入射到光楔底部的光仍然由仍然由出射。过光楔的出射面的另一个底角交点做一平行于仍然由仍然由出射。过光楔的出射面的另一个底角交点做一平行于 的平面，该平面与平面之间的距离可以看做为零。但是其位相变化仍然要的平面，该平面与平面之间的距离可以看做为零。但是其位相变化仍然要由光楔的厚度变化来确定。由光楔的厚度变化来确定。原点处出射光经过的光程完全是通过空气，折射率为原点处出射光经过的光程完全是通过空气，折射率为1 1，底边处出射光经过，底边处出射光经过的光程完全是玻璃，折射率为的光程完全是玻璃，折射率为 ，底边处的位相滞后为，底边处的位相滞后为由于位相变化是线性的，相应楔形薄棱镜给出的位相变换为由于位相变化是线性的，相应楔形薄棱镜给出的位相变换为yx zyx xyx n12 n其它0012exp,xxnjyxt关于位相变换的例题解答关于位相变换的例题解答 6019如图点光源如图点光源S S与楔形薄棱镜距离为与楔形薄棱镜距离为 ,它发出倾角为它发出倾角为 的傍轴的傍轴球面波照射楔形薄棱镜球面波照射楔形薄棱镜,棱镜楔角为棱镜楔角为 ,折射率为折射率为 。求透射光。求透射光波场的表达式及波场的表达式及S S点虚像的位置。点虚像的位置。n0z习题习题