1、5.3.2函数的极值函数的极值（第一课时）在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？单调递增单调递减0)(th0)(th=()0h aOtabh探究探究1：观察下图，我们发现当：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，相应地，导导数的正负有什么变化规律数的正负有什么变化规律?对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的
2、性质？y)(xfy xOabcde 函数函数f(x)在在x=a的的函数值函数值比比它附近的它附近的函数值都函数值都小小.函数函数f(x)在在x=b的函数值的函数值比比它附它附近的函数值都近的函数值都大大.探究探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？极值点与极值的定义：思考1：极大值一定大于极小值吗？极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点
3、的极小值可能大于另一点的极大值极小值极小值极大值极大值xy()yf xo6x5x4x2x1xah3x思考2：若 f(x0)=0，则 x0一定是极值点吗?xyOyx3x0是函数 f(x)的极值点 f(x0)=0 x0是函数 f(x)的极值点 x0左右两侧导数异号 f(x0)=0结论：f(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.归纳总结：yfx6x5x4x3x2x1xabxyox2,x4是函数是函数f(x)的极值的极值点点,其中其中x2是极大值是极大值点点,x4是极小值点是极小值点.追问：追问：函数函数y=f(x)的极大值点和极小值点分别是什么？的极大值点和极小值点分别是什么？x
4、1,x5是函数是函数y=f(x)的极大值点的极大值点,x3,x6是函数是函数y=f(x)的极小值点的极小值点.函数函数y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示,试找出函数试找出函数f(x)的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？哪些是极小值点？求求函函数数的的极极值值例例31()44.31 f xxx=-+=-+()R.函数的解：定义域为f x31()443f xxx=-+因为，所以()022.fxxx=-令,解得,或(),()xfxf x当 变化时，的变化情况如下表所示:2()4(2)(2)fxxxx=-=-+.x(,2)2(2,2)2(2,+)f(x)0
5、0f(x)+单调递增单调递减单调递增32834282()(2);3因此，当时，有极大值，极大值为xf xf=-=42()().3xf xf x=-当时，有极小值，极小值为31()443f xxx=-+函数的图象如图所示.-2Oxy234328判断函数判断函数y=f(x)的极值：的极值：解方程f(x)=0，当f(x0)=0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.x0 x0ln2.().xf xx=求函数的极值x(0,e)e(e,+)f(x)0f(x)当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情
6、况如下表：单调递增单调递减e1因此，xe 是函数的极大值点，极大值为 f(e)，没有极小值.e1解：函数 的定义域为(0,+)，且 .ln()xf xx=21ln()xfxx-=令 f(x)0，解得 xe.巩固练习巩固练习1.巩固练习巩固练习xf(x)0 f(x)当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减83)(xf解：函数 的定义域为 ，且 .),1()1,(32)12)1()2()(xxxxf（令 f(x)0，解得 2,121xx)2,1(2），（20单调递增3单调递增因此，x-1是函数的极大值点，极大值为 f(-1)，没有极小值.83)1-,(1)1,1(y=f(x)的单调性y=f(x)的正负性y=f(x)的极值点导数的工具性作用y=f(x)的零点课堂小结课堂小结训练提升：D6e1-
