1、4.2.2 等差数列的前n项和公式选择性必修第二册 第四章 数列 高斯（Gauss，1777-1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，近代数学奠基者之一，并享有数学王子之称.他和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家.以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最.据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：123100=？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：50505010151509921001 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，n,前100项和的问题。在问题中高斯运用的是在问题中高斯运用的是“两两配对两两
2、配对”的方法，它使不同数求和问题转化为相的方法，它使不同数求和问题转化为相同数（即同数（即101101）的求和，从而简化运算，那对于一般等差数列的求和问题，也能否）的求和，从而简化运算，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？这样处理呢？思考思考:高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？你能从中得出求数列的前n项和的方法吗？可以表示为，那么高斯的计算方法设nan505050101)(51509921001aaaaaa中利用了可以发现，高斯在计算51509921001aaaaaa不行，当不行，当n n不一定是偶数，这样就不好不一定是偶数，这样就不好“两两配对两两配对”了了你能用高斯的方法求
3、1+2+100+101吗？能否设法避免分类讨论？某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，即 Sn=a1a2a3 an 再将项的次序反过来，Sn可以写成 Sn=anan1an2 a1两式两边分别相加，得 2Sn=(a1an)(a2an1)(a3an2)(an a1)=n(a1an)由此得到等差数列an的前n项和的公式又因为an=a1(n1)d，所以上述公式又可以写成 如果数列an为等差数列，那么 an am=ap aq（n，m，p
4、，qN+）1()2nnn aaS(a1an)=(a2an1)=(a2an1)=1(1).2nn nSnad倒序相加发法 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定等差数列的前项和等差数列的前项和n公式：公式：如果等差数列an的首项a1，公差为d，那么该等差数列的前n项和公式为：11()(1).22nnn aan nSnad 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二知三可求其二 如何根据公式的结构特征来记忆公式呢？1()2nnn aaSdnnnaSn2)1(1等腰梯形的面积等腰梯形的面积=平行四边形面积平行四边形面积+三角形面积
5、三角形面积整理,得解得n=12或n=-5（舍去）所以n=12等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用 .,172,42.,5,23,651.1881151daSandSaaann和求和求已知等差数列练习例例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和解：记该数列为an，公差为d，根据等差数列前n项和公式，可得 S10=10a145d=310，S20=20a1190d=1220，解得a1=4，d=6，因此该等差数列的前n项和为2(1)463.2nn nSnnn课堂小结课堂小结1()2nnn aaS1(1).2nn nSnad1.了解等差数列前n项和公式推导方法.2.掌握等差数列前n项和公式的两种形式.典例解析典例解析课后作业教材P15练习 2、3、4
