1、函数的单调性F佳第一课时问题问题函数单调性的定义是什么？函数单调性的定义是什么？判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？例如：判断函数例如：判断函数 的单调性。的单调性。yx 2 (,0)(0,)xyo2yx 函数在函数在 上为上为 函数，函数，在在 上为上为 函数。函数。图象法图象法定义法定义法减减增增如图：如图：用定义法判断函数单调性的步骤：用定义法判断函数单调性的步骤：（1）在给定区间内任取）在给定区间内任取x10.(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h(t)0在(-,0)上，f(x)单调递
2、减在(-,0)上，f (x)0在(-,0)上，f(x)单调递增在(-,0)上，f (x)0 xyOf (x)3x2在(0,+)上，f(x)单调递增在(0,+)上，f (x)0 xyOf(x)x3(3)在(-,0)上，f(x)单调递减在(-,0)上，f (x)0在(0,+)上，f(x)单调递减在(0,+)上，f (x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；在某个区间（a，b）内，如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；思考：如果在某个区间上恒有f(x)=0，那么函数f(x
3、)有什么特性？函数f(x)是常值函数。例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）33fxxx；sin0 f xxx x,；1.xfxx解:（1）因为 ，其定义域为 .所以所以，函数 在 上单调递增，如右图所示.33fxxx 2233 31fxxx0.33fxxxRR解:（2）因为 ，所以所以，函数 在 上单调递减，如右图所示.cos1fxx0.sin,0 f xx x x,sinfxxx0,例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）33fxxx；sin0 f xxx x,；1.xfxx解:（3）因为 ，所以所以，函数 在区间 和 上分别单调递增，如右图所示.21fxx0
4、.11,00,fxxx 11f xx,00,例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）33fxxx；sin0 f xxx x,；1.xfxx求函数的单调区间的一般步骤:(1)求出函数 f(x)的定义域；(3)不等式组 的解集为f(x)的单调增区间；()0 xAfx (4)不等式组 的解集为f(x)的单调减区间；()0 xAfx (2)求出函数f(x)的导数 ；注：单调区间慎用“并集”！解:(1)因为f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上，所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增
5、.1.判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.课本P87 练习 1解:(2)因为f(x)=ex-x，其定义域为R.所以f(x)=ex-1.令f(x)=0，得x=0所以当x(-,0)时，f(x)0.所以，函数f(x)=ex-x在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增.1.判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.课本P87 练习 1 例2 已知导函数的下列信息：当1x0；当x4时，f(x)0；当x=1，或x=4时，f(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当1x0，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增
6、；当x4时，f(x)0，可知f(x)在区间(-,1)和(4,+)都单调递减；当x=1，或x=4时，f(x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”2.函数y=f(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.解：由图可知，当x(0,a)时，函数f(x)的图象没有升降，所以f(x)=0当x(a,b)时，函数f(x)的图象是下降的，所以f(x)0当x(b,c)时，函数f(x)的图象没有升降，所以f(x)=0课本P87 练习 2小结2.利用导函数的正负画函数图像的大致形状；利用函数图象判断导函数的正负，进而画出导函数图象的大致形状.1.函数 的单调性与导函数 的正负之间具有如下的关系：在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递增；在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递减.fx fxab，0fx yfxab，ab，0fx yfxab，3.利用导函数的正负判断函数 的单调性的一般步骤.fx作业：课本P97 习题5.3 1，2本小节结束F佳
