第五章 5.3.1　函数的单调性学案-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.docx

1、5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性学习目标1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)>0单调递增f(x)<0单调递减思考如果在某个区间内恒有f(x)0，那么函数f(x)有什么特性？答案f(x)是常数函数知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求出导数f(x)的零点；(3)用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出

2、f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性知识点三函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)1函数f(x)在定义域上都有f(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减(>0.()3函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大()4函数yx3x的单调递增区间为(，)()一、函数图象与导函数图象的关系例1(1)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()(2)

3、已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()反思感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f(x)>0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；如果f(x)<0，则yf(x)在这个区间上单调递减；若恒有f(x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调性(2)函数图象变化得越快，f(x)的绝对值越大，不是f(x)的值越大(1)已知yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，yf(x)的图象大致是()(2)函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图，记yf(x)的导函数为yf(x

4、)，则不等式f(x)<0的解集为_ 2="" ln="" b="">0)反思感悟求函数yf(x)的单调区间常用解不等式f(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减解不等式f(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增跟踪训练2(1)函数f(x)(x22x)ex(xR)的单调递减区间为_(2)设函数f(x)exax2，求f(x)的单调区间利用导数求参数的取值范围典例已知函数f(x)x3ax1为增函数，求实数a的取值范围素养提升(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路将问题转化为不等式在某区间上的恒成

5、立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意先令f(x)>0(或f(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意(2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养1设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能为()2(多选)函数f(x)(x3)ex在下列区间上单调递增的是()A(，2)  B(0,3)C(3,4)  D(2，)3函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()Aa0  Ba<1Ca<2  

6、;Da4若函数f(x)x32ax2(a2)x5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为()A1a2  B2a1Ca2或a1  Da1或a25若f(x)x2bln(x2)在(1，)上单调递减，则b的取值范围是_1知识清单：(1)函数的单调性与其导数的关系(2)利用导数判断函数的单调性(3)利用导数求函数的单调区间2方法归纳：方程思想、分类讨论3常见误区：利用导数法解决取值范围问题时忽略等号是否满足；忽略定义域的限制1(多选)如图是函数yf(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上，f(x)单调递增       B在(

7、1,2)上，f(x)单调递增C在(4,5)上，f(x)单调递增             D在(3，2)上，f(x)单调递增2函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2，)  B(，2)C(，0)  D(0,2)3函数f(x)ln x4x1的单调递增区间为()A.  B(0,4)C.  D.4(多选)函数f(x)xex的单调递增区间可以是()A1,0  B2,8  C1,2  D0,15函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图象大致是()6函数f

8、(x)(x2x1)ex的单调递减区间为_7函数f(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为_ ln="" 2.="" a="">0，求函数f(x)的单调区间11已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为单调递减，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为单调递增，则a等于()A1  B2  C0  D.12设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)<0，则当a<x<b时有(>f(b)g(b)B

9、f(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(b)>f(b)g(x)Df(x)g(x)>f(a)g(a)13已知函数f(x)x312x，若f(x)在区间(2m，m1)上单调递减，则实数m的取值范围是_14已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上有f(x)>0，若f(1)0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是_>f(x)，则下列不等式一定成立的是()A3f(4)<4f(3)>5f(3)C3f(3)<4f(2)>4f(2)16已知函数f(x)ax2ln(x1)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间1

10、，)上为单调递减，求实数a的取值范围参考答案      例1（1）答案D解析由函数的图象可知：当x0时，函数单调递增，导数始终为正；当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.（2）答案D解析从f(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合跟踪训练1（1）答案C解析当0<x<1时，xf(x)<0，f(x)<0，故yf(x)在(0,1)上单调递减； x="">1时，xf(x)>0，f(x)&g

11、t;0，故yf(x)在(1，)上单调递增故选C.（2）答案(2,3)解析因为yf(x)在区间和区间(2,3)上单调递减，所以在区间和区间(2,3)上f(x)<0.跟踪训练2（1）答案(2，2)解析由f(x)(x24x2)ex<0，即x24x2<0，解得2<x<2. a.=>0，所以f(x)在(，)上单调递增若a>0，则当x(，ln a)时，f(x)<0； ln="">0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a>0

12、时，f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)解由已知得f(x)3x2a，因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，即f(x)x31在R上是增函数，所以a0.1.答案C解析f(x)在(，1)，(4，)上单调递减，在(1,4)上是单调递增，当x1或x4时，f(x)0；当1x4时，f(x)0.2.答案CD解析f(x)ex(x3)ex(x2)ex，由f(x)0得(x2)ex0，x2.f(x)的单调递增区间为(2，)，CD符合3.答案A解析f(x)3ax210恒成

13、立，a0.4.答案D解析若函数f(x)有3个单调区间，则f (x)4x24ax(a2)有2个零点，故16a216(a2)0，解得a1或a2.5.答案(，1解析f(x)在(1，)上单调递减，f(x)0在(1，)上恒成立f(x)x，x0在(1，)上恒成立，即bx(x2)在(1，)上恒成立设g(x)x(x2)(x1)21，则当x>1时，g(x)>1，b1.1.答案BC解析由题图知当x(1,2)，x(4,5)时，f(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是单调递增，当x(3，2)时，f(x)<0，所以在(3，2)上，f(x)是单调递减2.答案D解析f(x)3x26x

14、3x(x2)，令f(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2) a= ln= x=>0，f(x)4，当f(x)>0时，解得0<x<，故选a. ad= x=>0，ex>0，得x<1.5.答案A解析因为f(x)xcos x，所以f(x)cos xxsin x.因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称由f(0)1可排除C，D.而f(1)cos 1sin 1<0，排除B.6.答案(2，1)解析f(x)(2x1)ex(x2x1)exex(x23x2)ex(x1)(x2)，令f(x)<0

15、，解得2<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，1)7.答案(3，1)(0,1)解析由题图知，当x(，3)(1,1)时，f(x)<0；>0，故不等式<0的解集为(3，1)(0,1) .="" ex="">0时，x<或x>1.9.解函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，kx1<0，f(x)<0，则f(x)在(0，)上单调递减 k="">0时，由f(x)<0，即<0，解得0<x<；>0，即>0，解得x&

16、gt;.当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.10.解(1)a1，f(x)x3x2x2，f(x)3x22x1，f(1)4.又f(1)3，切点坐标为(1,3)，所求切线方程为y34(x1)，即4xy10.(2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa)，由f(x)0得xa或x.又a>0，由f(x)<0，得a<x<，>0，得x<a或x>，故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(，a)和.11.答案B解析

17、因为函数f(x)x2ax3在(0,1)上单调递减，所以1，解得a2.g(x)2x，依题意得，g(x)0在(1,2)上恒成立，即2x2a在(1,2)上恒成立，故a2.所以a2.12.答案C解析因为.又因为f(x)g(x)f(x)g(x)<0，所以在R上为减函数又因为a<x<b，所以>>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)13.答案1,1)解析令f(x)0，即3x2120，解得2x2.f(x)的单调递减区间为2,2，由题意得(2m，m1)2,2，解得1m<1.>0，所以f(x)在(0，)上单调递增，又

18、f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)0，且f(x)在(，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(，1)(0,1) bd="">f(x)，得(x1)f(x)f(x)>0，令g(x)，则g(x)>0，g(x)在(0，)上单调递增，g(2)<g(3)<g(4)，则<<，即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故选bd. x="">1)，f(x)x(x>1)当f(x)>0时，解得1<x<1；当f(x)<0时，解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1，)(2)因为函数f(x)在区间1，)上单调递减，所以f(x)2ax0对任意x1，)恒成立，即a对任意x1，)恒成立令g(x)，x1，)，易求得在区间1，)上g(x)>0，故g(x)在区间1，)上单调递增，故g(x)ming(1)，故a.即实数a的取值范围为.</x<b，所以></x<，></x<；></x<，故选a.></x<2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2)></x<2.></x<b时有(>