1、学习目标XUE XI MU BIAO1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一导数的几何意义当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 .于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k .f(x0)切线2.导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)
2、处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 .f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)知识点二导函数的定义从求函数f(x)在xx0处导数的过程可以看出，当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的 (简称导数).yf(x)的导函数记作 或 ，即f(x)y .导函数f(x)y特别提醒：区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f(x)f(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数
3、，是函数1.函数在某点处的导数f(x0)是一个常数.()2.函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值.()3.函数f(x)0没有导数.()4.直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.()思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、求切线方程例1已知曲线C：yf(x)x3x.(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；曲线C在点(1,2)处切线的斜率为kf(1)31214.所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为y24(x1)，即4xy20.(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为，求的取
4、值范围.解曲线C在任意一点处切线的斜率为kf(x)tan，所以tan 3x211.又0，)，反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_.3ky|x24.曲线yx21在点P(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.二、求切点坐标例2过曲线yx2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点.(1)平行于直线y4x5；设P(x0，y0)是满足条件的点.切线与直线y4x5平行，2x04，x02，y04，即P(2,4)是满足条件的点.(2)垂直于直线2x6y50；解切线与直线2x6y50垂直，(3)与x轴成
5、135的倾斜角.解切线与x轴成135的倾斜角，其斜率为1.即2x01，反思感悟求切点坐标的一般步骤(1)设出切点坐标.(2)利用导数或斜率公式求出斜率.(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标.(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.跟踪训练2已知曲线f(x)x21在xx0处的切线与曲线g(x)1x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线f(x)x21，对于曲线g(x)1x3，经检验，均符合题意.三、利用图象理解导数的几何意义例3已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是A.0f(2)f(3)f(3)f(2)B.0f(2)f(3)f(2)f(3)C.0f(3
6、)f(3)f(2)f(2)D.0f(3)f(2)f(2)f(3)f(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2)处的切线的斜率，f(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3)处的切线的斜率，根据图象可知0f(3)f(3)f(2)0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f(x0)0说明在x0附近曲线是下降的.(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.跟踪训练3若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是解析依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数
7、f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.核心素养之直观想象与数学运算HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG YU SHU XUE YUN SUAN过某点的曲线的切线典例求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程.则切线的斜率为解得x00或x02.当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0 x1，即xy10.当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3xy30.素养提升(1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点.(2
8、)过点(x1，y1)与曲线yf(x)相切的直线方程的求法步骤设切点(x0，f(x0).解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法.体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.3随堂演练PART THREE1.已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2xy20，则f(1)等于A.4 B.4 C.2 D.212345解析由导数的几何意义知f(1)2.123452.(多选)下面说法不正确的是A.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B.若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C.若f(x
9、0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D.若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在解析根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误.3.曲线f(x)在点(3,3)处的切线的倾斜角等于A.45 B.60 C.135 D.12012345所以f(3)1.又切线的倾斜角的范围为0180，所以所求倾斜角为135.123454.已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_.(3,30)令4x0416，得x03，P(3,30).5.已知直线y4xa(a0，f(x
10、2)0，f(x2)0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.5.(多选)下列各点中，在曲线yx32x上，且在该点处的切线倾斜角为的是A.(0,0)B.(1，1)C.(1,1)D.(1,1)12345678910 11 12 13 14 15 16解析设切点坐标为(x0，y0)，所以x01，当x01时，y01.当x01时，y01.0=|x xy6.已知函数yf(x)在点(2,1)处的切线与直线3xy20平行，则y|x2_.12345678910 11 12 13 14 15 163解析因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y|x23.7.已知f(x)x
11、2ax，f(1)4，曲线f(x)在x1处的切线在y轴上的截距为1，则实数a的值为_.解析由导数的几何意义，得切线的斜率为kf(1)4.又切线在y轴上的截距为1，所以曲线f(x)在x1处的切线方程为y4x1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f(1)1a3，即a2.212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 161f(1)1.12345678910 11 12 13 14 15 169.在抛物线yx2上哪一点处的切线平行于直线4xy10？哪一点处的切线垂直于这条直线？1=|x xy设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线
12、4xy10，0=|x xy则 2x04，解得x02，设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4xy10，12345678910 11 12 13 14 15 16故抛物线yx2在点(2,4)处的切线平行于直线4xy10，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2，求直线l2的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16所以y|x13，所以直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3，所以直线l2的方程为3x
13、9y220.11.若曲线yx 上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是A.(，1)B.(1,1)C.(，1)D.(1，)综合运用0=|x xy12345678910 11 12 13 14 15 1612.已知函数yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a_，b_.12345678910 11 12 13 14 15 1612解析由题意知ab3，a1，b2.12345678910 11 12 13 14 15 1613.若点P是抛物线yx2上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_.解析由题意可得，当点P到直线yx2的距离最小时，点P为抛物线yx2的一条切线的切点，且该切线平行于直
14、线yx2，设yf(x)x2，12345678910 11 12 13 14 15 1614.若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为_.4在点P处的切线斜率为2(2)15.因为点P的横坐标是2，所以点P的纵坐标是6c，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16y0或3xy2012345678910 11 12 13 14 15 16从而切线方程为y0或3xy20.12345678910 11 12 13 14 15 1616.点P在曲线f(x)x21上，且曲线在点P处的切线与曲线y2x21相切，求点P的坐标.所以过点P的切线方程为yy02x0(xx0)，而此直线与曲线y2x21相切，所以切线与曲线y2x21只有一个公共点，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16
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