新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册数列学案（全册10份打包）.rar

1、章末复习课章末复习课 一、等差(比)数列的基本运算1数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前 n 项和等，一般试题难度较小2通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养例 1在等比数列an中，已知 a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若 a3，a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的通项公式及前 n 项和 Sn.反思感悟在等差数列和等比数列的通项公式 an与前 n 项和公式 Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d 或 q，Sn，其中 a1和 d 或 q 为基

2、本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于 a1，d 或 q，an，Sn，n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用跟踪训练 1已知等差数列an的公差 d1，前 n 项和为 Sn.(1)若 1，a1，a3成等比数列，求 a1；(2)在(1)的条件下，若 a10，求 Sn.二、等差、等比数列的判定1判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列2通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心

3、素养例 2已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bnann.(1)求 b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求数列an的通项公式反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于 n1 的任意自然数，验证 an1an(或an1an)为与正整数 n 无关的常数(2)中项公式法：若 2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列.若 a2 nan1an1(nN*，n2 且 an0)，则an为等比数列(3)通项公式法：anknb(k，b 是常数)an是等差数列；ancqn(c，q 为非零常数)an是等比数列(4)前 n 项和公式法：S

4、nAn2Bn(A，B 为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且 A0，q0，q1，nN*)an是公比不为 1 的等比数列跟踪训练 2已知数列an满足 a115，且当 n1，nN*时，有an1an2an1112an.(1)求证：数列1an为等差数列；(2)试问 a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由三、等差、等比数列的性质及应用1等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前 n 项和的性质，利用性质求数列中某一项等试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档2借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻

5、辑推理、数学运算等核心素养例 3(1)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以 Sn表示数列an的前 n项和，则使得 Sn取得最大值的 n 是()A21 B20 C19 D18(2)记等比数列an的前 n 项积为 Tn(nN*)，已知 am1am12am0，且 T2m1128，则 m_.反思感悟等差数列等比数列若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.特别地，若 mn2p，则 aman2ap若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.特别地，若 mn2p，则 amana2 pam，amk，am2k，仍是等差数列，公差为 kdam，amk，am2

6、k，仍是等比数列，公比为 qk若an，bn是两个项数相同的等差数列，则panqbn仍是等差数列若an，bn是两个项数相同的等比数列，则panqbn仍是等比数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比数列(q1 或 q1 且 m 为奇数)若数列an的项数为 2n，则 S偶S奇nd，S奇S偶anan1若数列an的项数为 2n，则S偶S奇q若数列an的项数为 2n1，则 S奇S偶an1，S奇S偶n1n若数列an的项数为 2n1，则S奇a1S偶q跟踪训练 3(1)等差数列an的前 16 项和为 640，前 16 项中偶数项和与奇数项和之比为119，则公差 d，a

7、9a8的值分别是()A8，109 B9，109 C9，119 D8，119(2)在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列的前 13 项和为()A13 B26C52 D156四、数列求和1数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度中等2通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养例 4已知数列an是 n 次多项式 f(x)a1xa2x2anxn的系数，且 f(1)nn12.(1)求数列an的通项公式；(2)求 f(12)，并说明 f(12)0，

8、求使得 Snan的 n 的取值范围参考答案参考答案例 1解(1)设数列an的公比为 q，由已知得 162q3，解得 q2，an22n12n，nN*.(2)由(1)得 a38，a532，则 b38，b532.设数列bn的公差为 d，则有Error!解得Error!所以 bn1612(n1)12n28，nN*.所以数列bn的前 n 项和Snn1612n2826n222n，nN*.跟踪训练 1 解(1)因为数列an的公差 d1，且 1，a1，a3成等比数列，所以 a2 11(a12)，即 a2 1a120，解得 a11 或 a12.(2)因为 a10，所以 a12，所以 Sn2nnn12n223n2

9、，nN*.例 2 解(1)由条件可得 an12n1nan.将 n1 代入得，a24a1，而 a11，所以 a24.将 n2 代入得，a33a2，所以 a312.从而 b11，b22，b34.(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列理由如下：由条件可得an1n12ann，即 bn12bn，又 b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得ann2n1，所以 ann2n1，nN*.跟踪训练 2(1)证明当 n2 时，由an1an2an1112an得 an1an4an1an，两边同除以 an1an，得1an1an14.所以数列1an是首项1a15，公差 d4 的等差数列

10、(2)解由(1)得1an1a1(n1)d4n1，所以 an14n1，所以 a1a21519145，假设 a1a2是数列an中的第 t 项，则 at14t1145，解得 t11N*，所以 a1a2是数列an中的第 11 项例 3（1）答案B解析由 a1a3a5105 得，3a3105，a335.同理可得 a433，da4a32，ana4(n4)(2)412n.由Error!得 n20.使 Sn取得最大值的 n 是 20.（2）答案4解析因为an为等比数列，所以 am1am1a2 m，又由 am1am12am0(am0)，从而 am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积 T2m1a2m1m，则

11、22m1128，故 m4.跟踪训练 3（1）答案D解析设 S奇a1a3a15，S偶a2a4a16，则有 S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d，S偶S奇8a2a1628a1a152a9a8.由Error!解得 S奇288，S偶352.因此 dS偶S奇86488，a9a8S偶S奇119.（2）答案B解析3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S1313a1a13213a4a10213 4226.例 4解(1)设 f(1)a1a2anSnnn12，则 anSnSn1nn12n1n2n，n2，当 n1 时，a11，S11 成立所以 ann(nN*)(

12、2)由(1)知 f(x)x2x2nxn，所以 f(12)1221223123n12n，12f(12)12221233124(n1)12nn12n1，由得12f(12)1212212nn12n1112nn2n1，所以 f(12)212n1n2n0 知 d0，故 Snan等价于nn9d2(n5)d，化简得n211n100，解得 1n10，所以 n 的取值范围是n|1n10，nN*4.2等差数列等差数列4.2.1等差数列的概念等差数列的概念第第 1 课时等差数列的概念及通项公式课时等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些

13、简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，公差可正可负可为零思考你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？答案an1and(d 为常数，nN*)知识点二等差中项的概念由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项且 2Aab.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的

14、数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)ab2.知识点三等差数列的通项公式首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的通项公式 ana1(n1)d.思考由等差数列的通项公式可以看出，要求 an，需要哪几个条件？答案只要求出等差数列的首项 a1和公差 d，代入公式 ana1(n1)d 即可知识点四从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则 anf(n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线 ydx(a1d)上，这条直线的斜率为 d，在 y 轴上的截距为 a1d；(2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d.1数列 4,4,4，是等差数列()

15、2数列an的通项公式为 anError!Error!则an是等差数列()3若一个数列从第 2 项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()4若三个数 a，b，c 满足 ac2b，则 a，b，c 一定是等差数列()一、等差数列的通项公式及其应用例 1在等差数列an中，(1)已知 a51，a82，求 a1与 d；(2)已知 a1a612，a47，求 an.反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可(2)等差数列an的通项公式 ana1(n1)d 中共含有四个参数，即 a1，d，n，an，如果知

16、道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”(3)通项公式可变形为 andn(a1d)，可把 an看作自变量为 n 的一次函数跟踪训练 1在等差数列an中，求解下列各题：(1)已知公差 d13，a78，则 a1 .(2)已知 a30，a72a41，则公差 d .(3)已知an的前 3 项依次为 2,6,10，则 a15 .二、等差数列的判定与证明已知数列an满足 a12，an12anan2.(1)数列1an是否为等差数列？说明理由；(2)求 an.延伸探究将本例中的条件“a12，an12anan2”换为“a14，an44an1(n1)，

17、记 bn1an2”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法an1and(nN*)或 anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列.(2)等差中项法2an1anan2(nN*)数列an为等差数列(3)通项公式法数列an的通项公式形如 anpnq(p，q 为常数)数列an为等差数列跟踪训练 2已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令 bn1an1.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式三、等差中项及应用例 3(1)在1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列(2)

18、已知1a，1b，1c成等差数列求证：bca，acb，abc也成等差数列反思感悟若 a，A，b 成等差数列，则 Aab2；反之，由 Aab2也可得到 a，A，b 成等差数列，所以 A 是 a，b 的等差中项Aab2.跟踪训练 3(1)若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，求 m 和 n 的等差中项(2)已知 a，b，c 成等差数列，证明：a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)也成等差数列等差数列的实际应用典例某公司经销一种数码产品，第一年可获利 200 万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，

19、也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？素养提升(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题(2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现1已知等差数列an的通项公式 an32n(nN*)，则它的公差 d 为()A2 B3 C2 D32若 5，x，y，z，21 成等差数列，则 xyz 的值为()A26 B29 C39 D523在等差数

20、列an中，若 a184，a280，则使 an0，且 an1a4a5 Ba3a6a4a5 Da3a6a4a514已知数列an满足 a11，若点(ann，an1n1)在直线 xy10 上，则 an .15已知数列an满足 a2n1a2 n4，且 a11，an0，则 an .16若数列bn对于 nN*，都有 bn2bnd(d 为常数)，则称数列bn是公差为 d 的准等差数列例如 cnError!Error!则数列cn是公差为 8 的准等差数列设数列an满足：a1a，对于nN*，都有 anan12n.(1)求证：数列an为准等差数列；(2)求数列an的通项公式参考答案参考答案例 1 解(1)由题意知E

21、rror!Error!解得Error!Error!(2)由题意知Error!Error!解得Error!Error!所以 ana1(n1)d1(n1)22n1，nN*.跟踪训练 1答案(1)10(2)12(3)58解析(1)由 a7a16d，得 8a16(13)，故 a110.(2)设首项为 a1，公差为 d，则Error!Error!解得Error!Error!(3)由题意得，d624，把 a12，d4 代入 ana1(n1)d，得 an2(n1)44n2，a15415258.例 2 解(1)数列1an是等差数列，理由如下：a12，an12anan2，1an1an22an121an，1an1

22、1an12，即1an是首项为1a112，公差为 d12的等差数列(2)由上述可知1an1a1(n1)dn2，an2n，nN*.延伸探究(1)证明bn1bn1an121an21(44an)21an2an2an21an2an22an212.又 b11a1212，数列bn是首项为12，公差为12的等差数列(2)解由(1)知 bn12(n1)1212n.bn1an2，an1bn22n2.数列an的通项公式为 an2n2，nN*.跟踪训练 2(1)证明1an111an1anan1an11an113，bn1bn13，又 b11a111，bn是首项为 1，公差为13的等差数列(2)解由(1)知 bn13n2

23、3，an13n2，ann5n2.例 3(1)解因为1，a，b，c，7 成等差数列，所以 b 是1 与 7 的等差中项，则 b1723，又 a 是1 与 3 的等差中项，所以 a1321.又 c 是 3 与 7 的等差中项，所以 c3725.所以该数列为1,1,3,5,7(2)证明因为1a，1b，1c成等差数列，所以2b1a1c，即 2acb(ac)因为bcaabccbcaabacc2a2bacaca2c22acac2ac2bac2acb，所以bca，acb，abc成等差数列跟踪训练 3(1)解由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m2n8.又由 2m 和 n 的等差中项为 5，得 2mn10

24、.两式相加，得 mn6.所以 m 和 n 的等差中项为mn23.(2)证明因为 a，b，c 成等差数列，所以 ac2b.又 a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2cc2aab(a2b)bc(c2b)a2cc2a2abcac(ac2b)0，所以 a2(bc)c2(ab)2b2(ca)故 a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成等差数列解设从第一年起，第 n 年的利润为 an万元，则 a1200，an1an20(nN*)，每年的利润构成一个等差数列an，从而 ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若 an0，则该公司经销这一产品将亏损由 an22020n11，即从第 12 年

25、起，该公司经销此产品将亏损1.答案C解析由等差数列的定义，得 d2.2.答案C解析5，x，y，z，21 成等差数列，y 既是 5 和 21 的等差中项也是 x 和 z 的等差中项5212y，y13，xz2y26，xyz39.3.答案B解析公差 da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令Error!Error!即Error!Error!21n22.又nN*，n22.4.答案33解析由题意，知 a313123，d3，所以 ad33.5.答案6766解析设从最上至最下每节的容量构成等差数列an，公差为 d，由题意知Error!Error!则Error!Error!解得Error!

26、Error!故 a5a14d6766.1.答案D解析a4a22d642.d1.a1a2d3.an3(n1)1n2.2.答案C解析设公差为 d，则 a3a8a12da17d2a19d10.3a5a73(a14d)(a16d)4a118d20.3.答案AB解析根据题意知，a4a8a2 3a13da17d(a12d)2.又 a12，则 410d(22d)2，解得 d12或 d0.4.答案C解析b 是 x，2x 的等差中项，bx2x23x2，又x 是 a，b 的等差中项，2xab，ax2，ab13.5.答案D解析对 an1an13an取倒数得1an11an3，1an11an3，1an是以12为首项，3

27、 为公差的等差数列1an12(n1)33n526n52，an26n5，a202115.6.答案12解析an1an12，an1an12(nN*)，数列an是以 2 为首项，12为公差的等差数列7.答案ab 或 a3b解析由等差中项的定义知，xab2，x2a2b22，a2b22(ab2)2，即 a22ab3b20，(a3b)(ab)0，a3b 或 ab.8.答案23.2解析根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时，每增加 1 km，乘客需要支付 1.2元 所以可以建立一个等差数列an来计算车费 令 a111.2，表示 4 km 处的车费，公差 d1.2，那么当出租车行至 14 km 处

28、时，n11，此时需要支付车费 a1111.2(111)1.223.2(元)9.解设数列an的公差为 d，则Error!Error!解得Error!Error!(1)a10a19d22725.(2)an2(n1)33n5，由 1123n5，解得 n39.所以 112 是数列an的第 39 项(3)由 803n5110，解得2813n3813，所以 n 的取值为 29,30，38，共 10 项10.(1)证明由1an1216an4an22an26an42an2an24an8an244an21an214，得1an121an214，故数列1an2是首项为 1，公差为14的等差数列(2)解由(1)知1a

29、n21a12(n1)14n34，所以 an2n10n3，nN*.11.D若 a，b，c 成等差数列，则 2a，2b，2c成等差数列答案AC解析A 项中，a，b，c 为等差数列，2bac，2(2b)2a2c，2a，2b，2c 成等差数列，故 A 正确C 项中，a，b，c 成等差数列，2bac，2(b2)(a2)(c2)，a2，b2，c2 成等差数列故 C 正确12.答案C解析设 an24(n1)d，nN*，由Error!Error!解得83d3.13.答案B解析由通项公式，得 a3a12d，a6a15d，那么 a3a62a17d，a3a6(a12d)(a15d)a2 17a1d10d2，同理 a

30、4a52a17d，a4a5a2 17a1d12d2，显然 a3a6a4a52d20，an4n3，nN*.16.(1)证明因为 anan12n(nN*)，所以 an1an22(n1)，得 an2an2(nN*)，所以数列an是公差为 2 的准等差数列(2)解因为 a1a，anan12n(nN*)，所以 a1a221，即 a22a.因为 a1，a3，a5，是以 a 为首项，2 为公差的等差数列，a2，a4，a6，是以 2a 为首项，2 为公差的等差数列，所以当 n 为偶数时，an2a(n21)2na，当 n 为奇数时，ana(n121)2na1.所以 anError!Error!第第 2 课时等差

31、数列的性质课时等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算知识点一等差数列通项公式的变形及推广设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则andn(a1d)(nN*)，anam(nm)d(m，nN*)，danamnm(m，nN*，且 mn)其中，的几何意义是点(n，an)均在直线 ydx(a1d)上可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求 a1.可用来由等差数列任两项求公差知识点二等差数列的性质1若an，bn分别是公差为 d，d的等差数列，则有数列结论can公差为 d 的等差数列(c 为任一常数)can公差为 cd 的等差数列

32、(c 为任一常数)anank公差为 kd 的等差数列(k 为常数，kN*)panqbn公差为 pdqd的等差数列(p，q 为常数)2.下标性质：在等差数列an中，若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.特别地，若 mn2p(m，n，pN*)，则有 aman2ap.3在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列4等差数列an的公差为 d，则 d0an为递增数列；d0 Bd0 Da1d0 Ba2a1010，所以 d1，故所求的四个数为2,0,2,4.跟踪训练 3解设第三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数分别为 a2d，ad，a，ad，a2d.由已

33、知有Error!Error!整理得Error!Error!解得 a1，d23.当 d23时，这 5 个数分别是13，13，1，53，73；当 d23时，这 5 个数分别是73，53，1，13，13.综上，这 5 个数分别是13，13，1，53，73或73，53，1，13，13.典例解方法一设数列an的公差为 d.则 a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.1.答案B解析由等差数列的性质得 a8a3(83)d5d，所以 d201056.2.答案A解析由数

34、列的性质，得 a4a5a2a7，所以 a215123.3.答案C解析a3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.a1a132a740.4.答案C解析因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，所以数列 a1a3，a2a4，a3a5，是公差为 2d 的等差数列5.答案10解析由 5 是 a3和 a6的等差中项，可得 a3a62510，则由等差数列的性质可得 a1a8a3a610.1.答案B解析由等差数列的性质，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又 d0，m8.2.答案D解析由于an，bn为等差数

35、列，故数列2an3bn的公差 d(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(bn1bn)2d13d21.3.答案B解析设等差数列an的公差为 d，因为 a15，am3，所以 dama1m12m1.所以 am2am2d34m134m1.4.答案BCD解析数列1,1,3 是等差数列，取绝对值后：1,1,3 不是等差数列，A 不成立若an是等差数列，利用等差数列的定义，an1an为常数列，故是等差数列，B 成立若an的公差为 d，则(pan1q)(panq)p(an1an)pd 为常数，故panq是等差数列，C 成立(2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1，故2ann是等差数

36、列，D 成立5.答案A解析因为 a4a6a2a82a5，a2a5a83a59，所以 a53，则方程为 x26x100，因为 6241040，所以方程无实根6.答案1121解析a4a7a103a717，a7173.又a4a5a13a1411a977，a97.故 da9a7977173223.a15a9(159)d762311，aka9(k9)d15，157(k9)23，k21.7.答案21解析设这三个数为 ad，a，ad，则Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!这三个数为1,3,7 或 7,3，1.它们的积为21.8.答案1 或 2解析a，b，c 成等差数

37、列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数 yax22bxc 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2.9.解(1)根据已知条件 a2a3a23a2448，得 4a1348，a1312.(2)由 a2a3a4a534，得 2(a2a5)34，即 a2a517，由Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!da5a25213433 或 da5a25241333.10.解设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d)，依题意，得Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!又四个数成递减等差数列，所以

38、 da1an，由等差数列的公差为 d 知，anan1d，所以 a1an1a1ana1ana1an10a1(anan1)0a1d0，则(a2d)(ad)a(ad)(a2d)5a100，a20.由17(aada2d)a2dad，得 3a3d7(2a3d)，24d11a，d556，最小的一份为 a2d20110653.15.答案163172解析设 x2xm0，x2xn0 的根分别为 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x41(且 14m0,14n0)设数列的首项为 x1，则根据等差数列的性质，数列的第 4 项为 x2.由题意知 x114，x234，数列的公差 d34144116，数列的中间两项分

39、别为1416512，51216712.x1x2m316，x3x4n51271235144.mn316351443172.16.解由题意，知 an3n2(nN*)，bk4k1(kN*)，两数列的共同项可由 3n24k1 求得，所以 n43k1.而 nN*，kN*，所以设 k3r(rN*)，得 n4r1.由已知Error!Error!且 rN*，可得 1r25.所以共有 25 个相同数值的项.4.2.2等差数列的前等差数列的前 n 项和公式项和公式第第 1 课时等差数列前课时等差数列前 n 项和公式的推导及简单应用项和公式的推导及简单应用学习目标 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程.2.掌

40、握等差数列前 n 项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识点等差数列的前 n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Snna1an2Snna1nn12d1等差数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加()2若数列an的前 n 项和 Snkn(kR)，则an为常数列()3等差数列的前 n 项和，等于其首项、第 n 项的等差中项的 n 倍()4123100100 11002.()一、等差数列前 n 项和的有关计算例 1在等差数列an中：(1)已知 a610，S55，求 a8和 S10；(2)已知 a14，S8172，求 a8

41、和 d.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an和 Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量 a1和 d 的方程组，解出 a1和 d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq，常与求和公式Snna1an2结合使用跟踪训练 1在等差数列an中：(1)a11，a47，求 S9；(2)a3a1540，求 S17；(3)a156，an32，Sn5，求 n 和 d.二、等差数列前 n 项和的比值问题例 2有两个等差

42、数列an，bn满足a1a2a3anb1b2b3bn7n2n3，求a5b5.反思感悟设an，bn的前 n 项和为 Sn，Tn，则 anbnS2n1T2n1.跟踪训练 2已知等差数列an，bn，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，anbn2n33n1，则S11T11等于()A.1517 B.2532 C1 D21已知数列an的通项公式为 an23n，nN*，则an的前 n 项和 Sn等于()A32n2n2 B32n2n2C.32n2n2 D.32n2n22在等差数列an中，若 a2a88，则该数列的前 9 项和 S9等于()A18 B27 C36 D453已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且

43、S36，a34，则公差 d 为()A1 B.53 C2 D34在等差数列an中，已知 a1010，则 S19_.5已知在等差数列an中，a132，d12，Sn15，则 n_，a12_.1知识清单：(1)等差数列前 n 项和及其计算公式(2)等差数列前 n 项和公式的推导过程(3)由 an与 Sn的关系求 an.(4)等差数列在实际问题中的应用2方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想3常见误区：由 Sn求通项公式时忽略对 n1 的讨论1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 2a6a86，则 S7等于()A49 B42 C35 D282在等差数列an中，已知 a110，d2，Sn58

44、0，则 n 等于()A10 B15 C20 D303设an为等差数列，公差 d2，Sn为其前 n 项和若 S10S11，则 a1等于()A18 B20 C22 D244(多选)在等差数列an中，d2，an11，Sn35，则 a1等于()A1 B3 C5 D75在等差数列an中，已知 a112，S130，则使得 an0 的最小正整数 n 为()A7 B8C9 D106已知an是等差数列，a4a66，其前 5 项和 S510，则其首项 a1_，公差 d_.7设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a11，公差 d2，Sk2Sk24，则 k_.8在等差数列an中，S104S5，则a1d_.9在等差

45、数列an中，a1030，a2050.(1)求数列的通项公式；(2)若 Sn242，求 n.10已知an为等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，且 S77，S1575，求数列Snn的前n 项和 Tn.11在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为()A765 B665 C763 D66312设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_.13已知两个等差数列an与bn的前 n 项和分别是 Sn和 Tn，且 anbn(2n1)(3n2)，则S9T9_.14现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_

46、15如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有 n(n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 a2a3a4an等于()A.3n22 B.nn12C.3nn12 D.nn1216已知等差数列an的公差 d0，前 n 项和为 Sn，且 a2a345，S428.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnSnnc(c 为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求 c 的值参考答案参考答案 例 1 解(1)Error!Error!解得 a15，d3.a8a62d102316，S1010a110 92d10(5)59385.(2)由已知得 S88a1a8284a82172，解得

47、 a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.跟踪训练 1 解(1)设等差数列an的公差为 d，则 a4a13d13d7，所以 d2.故 S99a19 82d99 82281.(2)S1717 a1a17217 a3a15217 402340.(3)由题意得，Snna1an2n(5632)25，解得 n15.又 a1556(151)d32，所以 d16，所以 n15，d16.例 2 解方法一设等差数列an，bn的公差分别为 d1，d2，则a1a2a3anb1b2b3bnna1nn12d1nb1nn12d2a1n12d1b1n12d2，则有a1n12d1b1n12d27n2n3，又由

48、于a5b5a14d1b14d2，观察，可在中取 n9，得a14d1b14d27 92936512.故a5b56512.方法二设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn，则有AnBn7n2n3，其中 Ana1ann2，由于 a1a92a5.即a1a92a5，故 A9a1a992a59.同理 B9b59.故A9B9a5 9b5 9.故a5b5A9B97 92936512.方法三设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn，因为等差数列的前 n 项和为 Snan2bnan(nba)，根据已知，可令 An(7n2)kn，Bn(n3)kn(k0)所以 a5A5A4(752)k5(742)k465k，b

49、5B5B4(53)k5(43)k412k.所以a5b565k12k6512.方法四设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn，由A2n1B2n1anbn，有a5b5A9B97 92936512.跟踪训练 2 答案A解析由等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的性质得 S1111a1a11211a6，同理可得 T1111b6，因此，S11T1111a611b6a6b62 633 611517.1.答案A解析an23n，a1231，Snn123n232n2n2.2.答案C解析S992(a1a9)92(a2a8)36.3.答案C解析因为 S3a1a3 326，而 a34，所以 a10，所以 da3

50、a122.4.答案190解析S1919a1a19219 2a102190.5.答案124解析Snn32nn12(12)15，整理得 n27n600，解得 n12 或 n5(舍去)，a1232(121)(12)4.1.答案B解析2a6a8a46，S772(a1a7)7a442.2.答案C解析因为 Snna112n(n1)d10n12n(n1)2n29n，所以 n29n580，解得 n20 或 n29(舍)3.答案B解析由 S10S11，得 a11S11S100，所以 a1a11(111)d0(10)(2)20.4.答案AB解析由题意知 a1(n1)211，Snna1nn12235，由解得 a13