1、数列求和的常用方法大全（含答案）一、数列知识点等差数列等比数列定义(为常数,)递推公式 通项公式或（）或中项成等差数列的充要条件：成等比数列的充要条件：前项和；重要性质等和性：若（、），则若（、），则构成的数列是等差数列.等积性：若（、），则若（、），则构成的数列是等比数列.单调 性：设d为等差数列的公差，则d0是递增数列；d0是递减数列；d=0是常数数列.递增数列；递减数列；q=1是常数数列；q0是递增数列；d0是递减数列；d=0是常数数列.递增数列；递减数列；q=1是常数数列；q0是摆动数列证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1.定义法2.中项法3. 通项公式法：（为常数）4. 前n项和
2、公式法：（A,B为常数）证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法2.中项法3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数)4. 前n项和公式法：()设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：二、数列求和（一）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，.例1数列的通项是，则数列的的前项和为A B C D解；，则，选A例2.等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q； （2）求3，求 解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 （）由已知可得 故 从而 变式：1数列的通项公式 ，前n项和 . ，
3、3.等比数列的前项和S2，则_（答：）；（二）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.例.求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 得 小结：错位相减法的求解步骤：写出；在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式错位相减；化简：利用等比数列的前n项和的公式求和.验证变式：1设数列的前n项和为，为等比数列，且 （）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前项和.解：（1）：当时，故an的通项公式为，即是，公差的等差数列设bn的通项公式为故，即的通项公式为（II）
4、两式相减得2.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式； （）求数列的前n项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得， 所以， （），得 3.等比数列的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 相减,得所以4.已知递增等比数列满足，且是的等差中项（1）求的通项公式；（2）若，求成立的的最小值。解：（1）设等比数列的公比为，则，即得，故（舍去）或，这时
5、，则（2），若，即，则的最小值为5。（三）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；，； ；.例.数列中，是前项和，当时，求证：是等差数列，设，求的前项和证明：当时，所以是以为首项，2为公差的等差数列。：由得所以所以变式：1.求和2求和： （答：）；3在数列中，且S，则n_（答：99）；4已知数列是等差数列，其前项和为（I）求数列的通项公式； （II）求和：.（）解：设等差数列的公差是d，依题意得，解得, 数列的通项公式为 （）解：，=5正项数列的前n项和为Sn，且 （1）求数列的通项公式；（2）设解（1）=1 ，
6、得即而故数列是首项为1，公差为2的等差数列。（2）（四）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例：求和：解：变式1. 求数列，的前项和分析：此数列的通项公式是，而数列是一个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解解：2数列的前项和为，则A B C D分析：代入检验，因，故选A3.求和 当时， 当时，（五）并项求和法：针对一些特殊的数列，将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前n项和时，可将这些项放在一起先求和.例.求（）解：当为偶数时， ；当为奇数时，综上所述，变式：1、已知数列的前n项和，求.解： 小结：并项求和法的关键是寻找哪些项合并在一起就具有某种特殊的性质，一旦找到问题就可以顺利的解决.2.在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 103.求：（答：）（六）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和 如：1. 求的和分析：由于数列的第项与倒数第项的和为常数1，故采用倒序相加法求和解：设则两式相加，得 2.已知，则_（答：）（七）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如：求和： （答：）
