1、5.1.1 5.1.1 变化率问题变化率问题物体运动的平均速度物体运动的瞬时速度无限逼近无限逼近取极限取极限复习引入复习引入(1)平均速度：平均速度：(2)瞬时速度：瞬时速度：00()()h tth tvt 0000()()()limth tth tv tt 几何意义？1.瞬时速度的本质是平均速度的极限瞬时速度的本质是平均速度的极限.2.求物体在时刻求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：的瞬时速度一般步骤：探究：抛物线的切线的斜率探究新知探究新知 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？问题1：我们知道斜率是确定直线的一个要素
2、，如何求抛物线 f(x)=x2 在点 P0(1,1)处的切线的斜率呢？追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？探究新知探究新知追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们只有一个公共点吗？因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了.不一定不一定探究新知探究新知追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1)处的切线呢？几何意义：函数图象上过点(1,h(1)和点(1+t,h(1+t)的直线斜率(1)(1)hthvt 0(1)(1)(1)limththvt 类比上节课的研究思路，例如研究运动员在 t=1s的瞬时
3、速度几何意义是什么？探究新知探究新知xyO121234PP0 将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况.T 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1)处的切线.追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1)处的切线呢？追问4：如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1)处的切线P0T 的斜率k0呢？探究新知探究新知割线位置切线位置无限逼近割线斜率切线斜率无限逼近取极限记点P的横坐标 x=1+x，则点P的坐标即为(1+x,(1+x)2).于是割线P0P 的斜率()(1)
4、(1)(1)1(1)1f xffxfkxx2(1)12xxx 让横坐标变化量 x趋近于0，观察割线斜率的变化情况.探究新知探究新知当x无限趋近于0，割线斜率k无限趋近于2.探究新知探究新知 我们把2叫做“当x无限趋近于0时，的极限“，记为(1)(1)fxfkx0(1)(1)lim2xfxfx 从几何图形上看，当横坐标间隔|x|无限变小时，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T 的斜率k0=2.xyO121234PP0T探究新知探究新知xyO1 21234P0 记点P的横坐标 x=2+x，则点P
5、的坐标即为(2+x,(2+x)2).于是割线P0P 的斜率()(2)(2)(2)2(2)2f xffxfkxx2(2)44xxx 00(2)(2)limlim(4)=4xxfxfxx 故抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4)处的切线P0T 的斜率为4.问题2：你能用上述方法，求抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4)处的切线P0T 的斜率吗？P探究新知探究新知xyO1 21234P0 记点P的横坐标 x=x0+x，则点P的坐标即为(x0+x,(x0+x)2).于是割线P0P 的斜率000000()()()()()f xf xf xxf xkxxxxx2220000()()22xxxxxx
6、xxxx 000000()()limlim(2)=2xxf xxf xxxxx 故抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0,x02)处的切线P0T 的斜率为2x0.问题3：一般地，如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0,x02)处的切线P0T 的斜率呢？P 切线斜率的本质是瞬时变化率小试牛刀小试牛刀1.已知抛物线 f(x)=x2+1.求:(1)抛物线在点(0,1)处的切线的斜率；(2)抛物线在点(0,1)处的切线方程.解：(1)22(0)(0)(0)1(01)=(0)0fxfxxxx 00(0)(0)lim=lim0(0)0 xxfxfxx 故抛物线在点(0,1)处的切线的斜率为0.(2)抛物线在点(0,1)处的切线方程为 y=1.物体运动的平均速度物体运动的瞬时速度0000()()()limth tth tv tt 函数的平均变化率函数的瞬时变化率几何意义割线的斜率几何意义切线的斜率无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近课堂小结课堂小结2121()()h th tvtt2121()()f xf xyxxx0000()()()limxf xxf xfxt
