4.4 数学归纳法ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、4.44.4*数学归纳法数学归纳法我是我是一毛一毛我是我是二毛二毛我是我是三毛三毛我是我是谁？谁？我不是我不是四毛！我四毛！我是小明！是小明！猜：猜：四毛！四毛！情景引入情景引入不完全归纳：不完全归纳：从一类对象中的从一类对象中的部分对象部分对象都具有某种性质推都具有某种性质推出这类出这类对象全体对象全体都具有这种性质的归纳推理都具有这种性质的归纳推理方法方法问题问题1:1:口袋中有口袋中有4 4个吃的东西，如何证明它们都是糖？个吃的东西，如何证明它们都是糖？把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.完全归纳法完全归纳法 111212,.nnnaaa

2、a 问问题题：对对于于数数列列若若（1 1）求出数列前）求出数列前4 4项项,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2 2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？探究新知探究新知11a 21a 31a 41a 猜想猜想 1(*)nan N 不完全归纳法不完全归纳法逐一验证，不可能！逐一验证，不可能！思考：思考：能否通过有限个步骤能否通过有限个步骤的推理，证明的推理，证明n取所有正整数取所有正整数都成立？都成立？我们先从我们先从多米诺骨牌多米诺骨牌游戏说起游戏说起.码放码放骨牌时骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌要保证任意相邻的两块骨牌,若若前一块骨牌倒下前一块骨牌倒下,则一定导致后块

3、骨牌倒则一定导致后块骨牌倒下下.这样这样,只要推倒第只要推倒第1 1块骨牌块骨牌,就可导致就可导致第第2 2块骨牌倒下；而第块骨牌倒下；而第2 2块骨牌倒下块骨牌倒下,就可就可导致第导致第3 3块骨牌倒下；块骨牌倒下；.总之总之,不论有不论有多少块骨牌多少块骨牌,都能全部倒下都能全部倒下.情景引入情景引入思考思考1 1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.思考思考2 2：你认为条件你认为条件(2)(2)的作用

4、是什么？如何用数学语言描述它？的作用是什么？如何用数学语言描述它？条件(2)实际上是给出了一个递推关系.数学语言：第第k块骨牌倒下块骨牌倒下结论：结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)(1)(2)出来，那么所有出来，那么所有的骨牌都能倒下的骨牌都能倒下.探究新知探究新知=1.探究新知探究新知只要完成这两个步骤只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从就可以断定命题对从n0开始的所有正整开始的所有正整数数n都成立都成立数学归纳法的定义数学归纳法的定义一般地一般地，证明一个与证明一个与正整数正整数n有关的命题有关的命题，可按下列步骤进行：可按下列步骤进行：(1)

5、归纳奠基：证明归纳奠基：证明当当nn0(n0N*)时命题成立时命题成立；(2)归纳递推：以归纳递推：以“当当nk(kN*，kn0)时命题成立时命题成立”为条件为条件，推出推出“当当_时命题也成立时命题也成立”nk1 这种证明方法称为这种证明方法称为数学归纳法数学归纳法思考思考：数学归纳法的第一步数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为的初始值是否一定为1?不一定如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n03.探究新知探究新知数学归纳法的框图表示数学归纳法的框图表示：探究新知探究新知2用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1成立时，左边计算所得的项是()A1B1aC1aa

6、2D1aa2a3C小试牛刀小试牛刀典例分析典例分析归纳假设归纳假设目目 标标用数学归纳法证明一个与用数学归纳法证明一个与正整数正整数有关命题的步骤：有关命题的步骤：使用前提使用前提基础性基础性结结 论论传递性传递性(1)证明当取证明当取第一个值第一个值n0(例如例如n0=1或或2)时结论正确；时结论正确；(2)假设当假设当n=k(kN*,且且k n0)时结论正确，证明当时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确时结论也正确.据据(1)和和(2)可知命题对于可知命题对于从从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都正确都正确.口诀：口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，

7、归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.探究新知探究新知典例分析典例分析目目 标标同理可得同理可得归纳上述结果，归纳上述结果，猜想猜想典例分析典例分析典例分析典例分析目目 标标“归纳归纳猜想猜想证明证明”的一般环节的一般环节典例分析典例分析解法解法1:由已知可得由已知可得典例分析典例分析典例分析典例分析(2)瞄准当nk1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.2.数学归纳法证明的第二步中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(3)证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形.1.用数学归纳法证明命题时，应关注以下三点：(1)弄清n取第一个值n0时

8、等式两端项的情况；(2)弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；总结提升：总结提升：用数学归纳法证明一个与用数学归纳法证明一个与正整数正整数有关命题的步骤：有关命题的步骤：使用前提使用前提基础性基础性结结 论论传递性传递性(1)证明当取证明当取第一个值第一个值n0(例如例如n0=1或或2)时结论正确；时结论正确；(2)假设当假设当n=k(kN*,且且k n0)时结论正确，证明当时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确时结论也正确.据据(1)和和(2)可知命题对于可知命题对于从从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都正确都正确.口诀：口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.课堂小结课堂小结