1、4.1.2 4.1.2 数列的递推数列的递推公式公式创设情境创设情境 1202年，意大利数学家斐波那契年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci,约约1170约约1250)出版了他的算盘全书出版了他的算盘全书(Liber Abaci).他在书中他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题:如果如果1对兔子每月能生对兔子每月能生1对小兔子对小兔子(一雄一雌一雄一雌)，而每，而每1对小兔子对小兔子在它出生后的第在它出生后的第3个月里，又能生个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡对小兔子，假定在不发生死亡的情
2、况下，由的情况下，由1对初生的小兔子开始，对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子个月后会有多少对兔子?在第在第1个月时，只有个月时，只有1对小兔子，过了对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，个月，那对兔子成熟了，在第在第3个月时便生下个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成个月，成熟的兔子再生熟的兔子再生1对小兔子，而另对小兔子，而另1对小兔子长大，有对小兔子长大，有3对小兔子，如对小兔子，如此推算下去，我们可以得到一个表格此推算下去，我们可以得到一个表格:时间时间/月月初生兔子初生兔子/对对成熟兔子成熟兔子/对对兔子总数兔子总数/对对1101
3、2011311245678121138135853852323 从第从第1个月开始个月开始,以后每个月的兔子总对数是以后每个月的兔子总对数是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.你发现这个数列的规律了吗？你发现这个数列的规律了吗？探究新知探究新知 如果用如果用Fn表示第表示第n个月的兔子的总对数，个月的兔子的总对数，数列的规律是递推关系数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n2)这个数列称为斐波那契数列这个数列称为斐波那契数列.递推公式递推公式:如果一个数列的如果一个数列的相邻两项相邻两项或或多项多项之间的关系可以用一之间的关系可以用一个式子来表示
4、，那么这个式子叫做这个数列的个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式递推公式.作用作用:知道了知道了首项首项和和递推公式递推公式，就能求出数列的每一项了，就能求出数列的每一项了.例例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形三角形.在下图四个在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，项，请写出这个数列的一个通项公式请写出这个数列的一个通项公式.(1)(2)(3)(4)典例分析典例分析解：解：在图中，着色三角形的个数依次为在图中，着色三角形的个数依次为1,3,
5、9,27,即所即所求数列的前求数列的前4项都是项都是3的指数幂的指数幂,指数为序号减指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是因此，这个数列的一个通项公式是 .13nna 当不能明显当不能明显看出数列的项的看出数列的项的取值规律时取值规律时,可以可以尝试通过尝试通过运算运算未未寻找规律寻找规律,如依次如依次取出数列的某一取出数列的某一项项,减去减去或或除以除以它它的前一项的前一项,再对再对差差或或商商加以观察加以观察.典例分析典例分析例例2 已知数列的第已知数列的第1项是项是1，以后的各项由公式，以后的各项由公式 给出给出,写出这个数列的前写出这个数列的前5项项.111 nnaa解：解：由
6、题意可知由题意可知11a 21111=1=21aa 321131=1=22aa 431251=1=33aa 541381=1=55aa 总结：总结：递推公式也是给出递推公式也是给出数列的一种方法，根据数数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项写出数列的所有项.通项公式和递推公式之间的差别与联系：通项公式和递推公式之间的差别与联系：回顾：回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？到目前为止，数列一共有多少种表示方法？探究新知探究新知1.已知数列已知数列an满足满足 a1=1，an=an11(n 2)，写出这个数列写出这个数列的通项公式的通项公式.解：解
7、：（1）由递推式可得，）由递推式可得，a2a1=1，a3a2=1，anan1=1巩固练习巩固练习把以上把以上 n-1 个式子相加个式子相加,得得 an a1=n 1 数列的通项为数列的通项为 an=n.总结：一般递推关系为总结：一般递推关系为an+1=f(n)+an，即，即an+1-an=f(n)时，时，可用可用累加法累加法求通项公式求通项公式.又又 a1=12.已知数列已知数列an满足满足 写出这个数列的通项公式写出这个数列的通项公式.111,(2),1nnananan 解：解：由递推式可得由递推式可得213212,33,41nnaaaaanan 巩固练习巩固练习21nan 数列的通项为数列
8、的通项为 .把以上把以上n-1个式子相乘得个式子相乘得 121naan 又又 a1=1总结：一般递推关系为总结：一般递推关系为an+1=f(n)an,即即 时，时，可用可用累乘法累乘法求通项公式求通项公式.+1()nnaf na 在对数列的研究中，求在对数列的研究中，求数列某些项的和数列某些项的和是主要问题之一是主要问题之一.我们把数列我们把数列an从从第第1项起项起到到第第n项止项止的各项之和，称为数列的各项之和，称为数列an的的前前n项和项和，记作，记作Sn,，即，即Sn=a1+a2+.+an 如果数列如果数列an的的前前n项和项和Sn与与它的序号它的序号n之间的对应关系可以用一个之间的对
9、应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式项和公式.显然显然S1=a1,而而Sn-1=a1+a2+an-1(n2),于是我们有于是我们有11,1,2nnnS naSSn探究新知探究新知Sn 与与an的关系式的关系式例例3 已知数列已知数列an的前几项和公式为的前几项和公式为Sn=n2+n,你能求出你能求出an的通项公式吗？的通项公式吗？解：解：因为因为a1=S1=2，an=Sn-Sn-1 =n2+n-(n-1)+(n-1)=2n(n2),并且当并且当n=1时，时，a1=21=2依然成立依然成立.所以所以an的通项公式是的通项公式是
10、an=2n.典例分析典例分析由由Sn 求求an需要检验需要检验3.已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和公式项和公式 Sn，求数列，求数列an的通项公式的通项公式.（1）Sn=2n2n1，（2）Sn=log2(n1)解：解：（1）当）当 n 2 时，时，122 (21)2(1)(1)1 43nnnaSSnnnnn 巩固练习巩固练习*2,(1)43,(2N)nnannn 且故数列故数列an的通项公式为的通项公式为21121112aS ，当当n=1时，时，不符合上式不符合上式3.已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和公式项和公式 Sn，求数列，求数列an的通项公式的通项公式.（1）Sn=2
11、n2n1，（2）Sn=log2(n1)解：解：（2）当）当 n 2 时，时，12221log(1)loglognnnnaSSnnn 当当n=1时，时，符合上式，符合上式112log(11)1aS 巩固练习巩固练习*21log(N)nnann 故数列故数列an的通项公式为的通项公式为总结：已知总结：已知Sn求出求出an依据的是依据的是Sn的定义：的定义：Sn=a1+a2+an，分段求解分段求解，然后检，然后检验结果验结果能否统一形式能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成，能就写成一个，否则只能写成分段函数的分段函数的形式形式.1.递推公式：（递推公式：（1）初始值；）初始值；2）递推关系式）递推关系式2.nnaS与与的的关关系系：.2,1,11nSSnSannn（1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式（2）已知数列的递推公式，用累加法求通项公式已知数列的递推公式，用累加法求通项公式（3）已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式课堂小结课堂小结
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