1、5.1.15.1.1变化率问题变化率问题OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y讲课人：邢启强2珠穆朗玛峰简称珠峰,高度8 844.43米,是世界第一高峰,是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰,每年都会向它发起挑战,但到现在为止能顺利登顶的人并不多。当山势的陡峭程度不同时,登山队员的感受也是不一样的,试想如何用数学知识来反映山势的陡峭程度呢?新知引入新知引入讲课人：邢启强3在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+4.8t+11.
2、如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?00.52:ttv 和1时的平均速度请计算请计算hto新知引入新知引入讲课人：邢启强4请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+4.8t+11这段时间里的平均速度为0显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.48()(0)1149hh0hvt 讲课人：邢启强5学习新知学习新知为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity).探究：瞬时速度与平均速度有什么关
3、系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想讲课人：邢启强6为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格讲课人：邢启强7学习新知学习新知思考(1)求运动员在t=2s时的瞬时速度；在t=0.5s时的瞬时速度.(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度？讲课人：邢启强8学习新知学习新知讲课人：邢启强91.火箭发射ts后，其高度（单位：m)为h(t)=0.9t2.求：(1)在1t2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.2.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y(单位：m)与时间
4、t(单位：s)之间的关系为y(t)=-4.9t2.求：t=1s时小球的瞬时速度.巩固练习巩固练习微思考平均速度与瞬时速度有什么不同?提示:平均速度表示的是运动的物体在某或某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向.讲课人：邢启强102.平均变化率定义:若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则平均变化率为121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x上述问题中的变化率可用式子 表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f
5、(x1)学习新知学习新知讲课人：邢启强11观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()f xyxxx2f(xOABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜的斜率率 思考?学习新知学习新知讲课人：邢启强12学习新知学习新知讲课人：邢启强134求函数平均变化率的步骤 求函数yf(x)在点x0附近的平均变化率：(1)确定函数自变量的改变量xx1x0；(2)求函数的增量y .(3)求平均变化率 ，求函数在某点附近的平均变化率时，可在函数图象上表示出来。10()()f xf xyx00()()f xxf xx学习新知学习新知讲课人：邢
6、启强14学习新知学习新知问题2 抛物线的切线的斜率如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点P(x,x2),考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.如图,当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势？当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1
7、)处的切线.讲课人：邢启强15如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢？学习新知学习新知抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0 P的斜率有内在联系.记x=x-1,则点P的坐标是(1+x,(1+x)2).于是，割线P0 P的斜率注：x可以是正值也可以是负值，但不为0.可以用割线P0 P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0,并且可以通过不断缩短横坐标间隔x来提高近似表示的精确度讲课人：邢启强16当x无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0 P的斜率k都无限趋近于2.学习新知学习新知从几何图形上看
8、，当横坐标间隔|x|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0 P无限趋近于点P0处的切线P0 T.这时，割线P0 P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0 T的斜率k0.因此，切线P0 T的斜率k0=2.割线斜率与切线斜率的关系 讲课人：邢启强17学习新知学习新知割线的斜率k切线的斜率讲课人：邢启强181、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x讲课人：邢启强193.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t
9、)中相应的平均速度为()9A.6+t B.6+t+C.3+t D.9+t4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作曲线运动,求在4s附近的平均变化率.A253 t 讲课人：邢启强20过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+x,-2+y)作割线,则当x=0.5时割线的斜率为,在点(2,-2)处的切线斜率为.讲课人：邢启强211.函数的平均变化率()f xx121)()f xxx2f(x2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率fx121)()f xxx2f(x课堂小结课堂小结3.3.求曲线上某点处的割线或切线的步骤求曲
10、线上某点处的割线或切线的步骤：（1 1）求函数增量）求函数增量 (2)(2)作比值作比值（3 3）求极限）求极限.)()(ylim000 xxfxxfxx.)()(y00 xxfxxfx).()(y00 xfxxf讲课人：邢启强223.求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量s=s(t+t)s(t)(2)求平均速度（3）求极限;svt00()().limlimxxss tts ttt4.曲线在某点处的切线:与该点的位置有关.要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如割线有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如割线不存在极限位置,则曲线在此点处无切线.曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个交点.课堂小结课堂小结
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