7.5 正态分布 学案-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.docx

1、第七章 随机变量及其分布7.5正态分布知识梳理知识点1.正态分布定义:对于任何实数随机变量满足：，则随机变量服从正态分布。记为_正态分布的期望与方差若，则的期望与方差分别为：，_。知识点2.正态曲线:正态曲线:沿着横轴方向水平_能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是正态曲线函数，其中,为参数.显然对于任意xR，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为_，称为正态密度函数，称它的图象为正态曲线.若随机变量X的概率密度函数为，称随机变量X服从正态分布，记为X，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.正态曲线的性质：曲线位于轴上方，与轴不_；曲线是_的，它关

2、于直线对称；曲线在时达到峰值；当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为_线，向它无限靠近.曲线与轴之间的面积为1；决定曲线的位置和_性；当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴_。确定曲线的形状；当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。正态曲线的特点1对xR，f(x)0，它的图象在x轴的_方2曲线与x轴之间的面积为_.3曲线是单峰的，它关于直线_对称4曲线在x处达到峰值.5当|x|无限增大时，曲线无限接近_轴6当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴

3、平移，如图.7当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3原则P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3.尽管正态变量的取值范围是(，)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间3，3内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的值，这在统计学中称为3原则课后小练1已知某高校共有名学生，其图书馆阅览室共有个座位，假设学

4、生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，可视为服从正态分布任意正态分布都可变换为标准正态分布（且的正态分布），如果随机变量，那么令，则可以证明当时，对于任意实数，记已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字（位于第三行），然后在表的最上行找到数字（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字便是的值（i）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（

5、ii）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于，则至少需要添加多少个座位？2已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸（单位：）服从正态分布（1）从该生产线生产的零件中随机抽取个，求至少有一个尺寸小于的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费已知故障维修费第一次为元，此后每增加一次则故障维修费增加元假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行

6、的概率为求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和的分布列与数学期望参考数据：若，则，3“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员面向全社会的互联网学习平台.该平台学习采取积分制管理，内容丰富多彩，涉及政治经济文化社会生态，表现形式有图片文字视频考试答题互动等，让人们的生活充实而有质量.某市为了了解教职工在“学习强国”平台的学习情况，从该市教职工中随机抽取了200人，统计了他们在“学习强国”中获得的积分(单位：千分)并将样本数据分成，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）以样本估计总体，该市教职工在“学习强国”获得的积

7、分近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，取.若该市恰有1万名教职工，试估计这些教职工中积分位于区间内的人数.（2）若以该市样本的频率估计邻市的概率(邻市对教职工学习“学习强国”的要求与该市相同，教职工的人数也与该市教职工的人数相当)，若从邻市教职工中随机抽取20人，设积分在3千分至9千分内的教职工人数为，求的期望.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.4某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取名考生的数据，统计如下表：数学成绩物理成绩（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理

8、成绩与数学成绩之间具有线性相关关系，请根据这组数据建立关于的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参加该次考试的名考生的物理成绩服从正态分布，用剔除异常数据后的样本平均值作为的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于分的人数的期望.附：参考数据：上表中的；表示样本中第名考生的数学成绩，；表示样本中第名考生的物理成绩，.参考公式：对于一组数据：，其方差：.对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.若随机变量服从，则，.5某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学局接球训练成绩，每局训练时教练连续发个球，

9、该同学每接球成功得分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图.（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，求该同学局接球训练成绩的样本平均数；若该同学的接球训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛.一局比赛中教练连续发个球，该同学得分达到分为获胜，否则教练获胜.若有人获胜达局，则比赛结束，记比赛的局数为.以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求.参考数据：若随机变量，则，.62020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微

10、米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.（1）求的概率；（2）求的数学期望；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量，则，.参考答案1（1）随机变量的期望是1000，方差是900；

11、（2）（i）0.5793；（ii）阅览室至少还要增加22个座位.【详解】（1）由题意得：随机变量X服从二项分布，其中n=10000，p=0.1，则，所以随机变量的期望是1000，方差是900；（2）（i）由于（1）中的二项分布n值较大，所以可以认为随机变量X服从正态分布，由（1）知，则， ，由标准正态分布的性质可知 ，所以 ，所以，故在晚自习时间阅览室座位不够用的概率是0.5793；（ii）查表可得：，则，即，而，故座位数至少要1016个，由于1016-994=22，则阅览室至少还要增加22个座位.2（1）；（2）分布列见解析；期望为【详解】（1）因为，则，所以，所以从该生产线生产的零件中随机

12、抽取个，至少有一个尺寸小于的概率为：（2）由题意可得的所有可能取值为，所以的分布列为：数学期望3（1）人数约为8186；（2）.【详解】（1）由题意知样本的平均数为，.又，.又，估计这些教职工中积分位于区间内的人数约为8186.（2）该市样本在内的频率为，则，的期望.4（1），物理成绩为；（2）.【详解】（1）设根据剔除后数据建立的关于的回归直线方程为，剔除异常数据后的数学平均分为，剔除异常数据后的物理平均分为，则，则，所以所求回归直线方程为.又物理缺考考生的数学成绩为，所以估计其可能取得的物理成绩为.（2）由题意知，因为，所以，所以参加该次考试的名考生的物理成绩服从正态分布，则物理成绩不低于

13、分的概率为，由题意可知，所以物理成绩不低于分的人数的期望.5（1）；（2）.【详解】（1）由频率分布直方图可得；可知，则，所以，；（2）由频率分布直方图可知，在一局中，该同学得分达到分的概率为，由题意可知，随机变量的可能取值有、，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.6（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理.【详解】（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，所以，所以，故（2）由题意可知，所以.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.