2020年北京高考数学复习练习课件§12.1　随机事件与古典概型.pptx

1、考点一 随机事件的概率,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2018北京,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:,好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k类 电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D

2、1,D 2,D3,D4,D5,D6的大小关系.,解析 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000, 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50. 故所求概率是 =0.025. (2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”, 事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”. 故所求概率为P(A + B)=P(A )+P( B) =P(A)(1-P(B)+(1-P(A)P(B). 由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2. 故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35. (3)D1D4D2=D5D3

3、D6.,2.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样 获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):,(1)试估计C班的学生人数; (2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假 设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时). 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中数据的平均数记为0,试判 断0和1的大小.(结论不要求证明),解

4、析 (1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生 人数估计为100 =40. (2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,5, 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,8. 由题意可知,P(Ai)= ,i=1,2,5;P(Cj)= , j=1,2,8. P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)= = ,i=1,2,5, j=1,2,8. 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1A1C2A2C1A2C2 A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4

5、. 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C 2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15 = . (3)10.,思路分析 (1)利用分层抽样的定义求出C班的学生人数;(2)依次找出甲、乙的搭配方式,求出 概率;(3)将从A,B,C三个班中抽取的样本数据分别与该班的平均数比较,进而作判断.,3.(2015北京文,17,13分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商 品的情况,整理成如下统计表,其

6、中“”表示购买,“”表示未购买.,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?,解析 (1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同 时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2. (2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾 客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 =0.3. (3)解法一:顾客同时购买甲和

7、乙的概率可以估计为 =0.2, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 =0.6, 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1. 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 解法二:从统计表可以看出,同时购买了甲和乙的顾客,也都购买了丙;同时购买了甲和丁的顾 客,也都购买了丙;有些顾客同时购买了甲和丙,却没有购买乙或丁. 所以,如果顾客购买了甲,那么他同时购买丙的可能性最大.,思路分析 (1)从统计表可得,在这1 000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同 时购买乙和丙的概率. (2)根据统计表得,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,故可求得顾客在甲、乙

8、、 丙、丁中同时购买3种商品的概率. (3)解法一:在这1 000名顾客中,分别求出同时购买甲和乙的概率,同时购买甲和丙的概率,同时 购买甲和丁的概率,比较即可得出结论. 解法二:分析购买了甲的同时购买其他商品的情况得出结论.,4.(2012北京,17,13分)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、 可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现 随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):,(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾

9、”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b, c,其中a0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2 的值. 注:s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2,其中 为数据x1,x2,xn的平均数,解析 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 = = . (2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件 表示生活垃圾投放正确. 事件 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他 垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P( )约为 =0.7, 所以P(A)约为1-0.7=0.3. (3)

10、当a=600,b=c=0时,s2取得最大值. 因为 = (a+b+c)=200, 所以s2= (600-200)2+(0-200)2+(0-200)2 =80 000.,评析 本题以现代生活、绿色环保为背景,考查古典概型的概率及应用意识,进一步考查运用 数学建模思想将实际问题转化为概率问题.,考点二 古典概型 (2016北京文,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙), (甲,丁),(甲,戊), (乙,丙),(乙,丁),(乙,戊), (丙,丁),(丙

11、,戊), (丁,戊), 共4+3+2+1=10种. 其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种, 故甲被选中的概率为 = .故选B.,易错警示 在列举基本事件时要不重不漏,可画树状图,如图.,评析 本题考查古典概型,属中档题.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 随机事件的概率,1.(2016天津,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的 概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 设“甲、乙两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件, 所以甲不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=

12、 + = ,故选A.,2.(2017课标全国,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4 元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经 验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最 高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月 份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)

13、设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶 时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.,解析 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25, 由表格数据知,最高气温低于25的频率为 =0.6, 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900; 若最高气温位于区间20,25), 则Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100.

14、 所以,Y的所有可能值为900,300,-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20, 由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 =0.8, 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.,3.(2016课标全国,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续 保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:,(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的 估计值; (3

15、)求续保人本年度平均保费的估计值.,解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55, 故P(A)的估计值为0.55. (3分) (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3, 故P(B)的估计值为0.3. (6分) (3)由所给数据得,(10分) 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. (1

16、2分),考点二 古典概型,1.(2019课标全国文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只 兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题主要考查古典概型;考查学生的逻辑推理和运算求解能力;考查的核心素养是 数学运算与数据分析. 记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取 出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只 测量过该指标的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD

17、,BCE,共6种,所以所求事件的概率P= = .,2.(2019课标全国文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概 率是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题考查古典概型,以现实生活中常见的学生排队问题为背景,考查学生对数学知 识的应用意识. 设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用 树状图表示为 共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,P(两位女同学相邻)= = ,故选D.,技巧点拨 用树状图列举所有可能的结果是求解古典概型问题的基本方法之一.,3.(2018课标全国,8,5分)我国数学家陈景润在哥德

18、巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题主要考查古典概型. 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从这10个素数中随机选取两个不同的数, 有 =45种情况,其和等于30的情况有3种,则所求概率等于 = .故选C.,方法总结 解决关于古典概型的概率问题关键是正确求出基本事件的总数和所求事件包含 的基本事件数.(1)当基本事件的总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列

19、举出来.(2)注 意区分排列与组合,正确使用计数原理.,4.(2018课标全国,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都 是女同学的概率为 ( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3,答案 D 设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a), (B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概 率为 =0.3.,5.(2017天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄

20、、蓝、绿、紫.从这5支彩 笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题考查古典概型. 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝), (黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿), (红,紫),所以所求事件的概率P= = ,故选C.,6.(2017课标全国,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1 张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张

21、卡片上的数的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题考查古典概型. 画出树状图如图: 可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P= = .故选D.,思路分析 由树状图列出所有的基本事件,可知共有25个,满足题目要求的基本事件共有10个. 由古典概型概率公式可知所求概率P= = .,易错警示 本题易因忽略有放回抽取而致错.,疑难突破 当利用古典概型求概率时,应区分有放回抽取与无放回抽取.有放回抽取一般采用 画树状图法列出所有的基本事件,而无放回抽取一般采用穷举法.,7.(2016课标,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个

22、花坛 中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、 (黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在 同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P= = ,故选C.,评析 本题主要考查了古典概型,不重不漏地将所有情况列举出来是解题关键.,8.(2016课标,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中 的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密

23、码能够成功开机的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 小敏输入密码的所有可能情况如下: (M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5), (I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5), (N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种. 而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 .,9.(2015课标,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一 组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A. B. C. D.,答案 C 从1,2,3,

24、4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4, 5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P= ,故选C.,10.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同 学中至少有1名女同学的概率是 .,答案,解析 本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法,考查学生的应用意识和运算求 解能力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 解法一:记3名男同学分别为a1、a2、a3,2名女

25、同学分别为b1、b2,从这5名同学中选出2名同学的 选法如下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种,其中至少有1 名女同学的选法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7种,故所求概率P= . 解法二:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有 =10种选法,其中选出的2名同学都是 男同学的选法有 =3种,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P=1- = .,解后反思 解决古典概型

26、概率问题的关键是不重不漏地列出所有基本事件,既可以从正面直 接求解,也可以从反面找对立事件来求解.,11.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好 选中2名女生的概率为 .,答案,解析 本题考查古典概型. 把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1女1,男1女 2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10 种情况,其中选中2名女生有3种情况,则恰 好选中2名女生的概率为 .,12.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克

27、砝码各一个,2克砝码两 个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表 示).,答案,解析 本题主要考查古典概型的概率计算.记5克、3克、1克砝码分别为5、3、1,两个2克砝 码分别为2a,2b,则从这五个砝码中随机选取三个,有以下选法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a), (5,1,2b),(5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10种,其中满足三个砝码的总质量为9克 的有(5,3,1),(5,2a,2b),共2种,故所求概率P= = .,13.(2019天津文,15,1

28、3分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继 续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位 老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人 调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如 下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少

29、有一项相同”,求事件M发生的概率.,解析 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素 养. (1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员 工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C, B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种. (ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A

30、,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E, C,F,D,F,E,F,共11种. 所以,事件M发生的概率P(M)= .,思路分析 (1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的 基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.,失分警示 在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.,14.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F

31、,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工 作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.,解析 本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其 概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法 从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人. (2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E, A,F,A,G,B,C,B,D

32、,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G, E,F,E,G,F,G,共21种. 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是 F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C, B,C,D,E,F,G,共5种. 所以,事件M发生的概率P(M)= .,易错警示 解决古典概型问题时,需注意以下几点: (1)忽视基本事件的等可能性导致错误; (2)列举基本事件考虑不全面导致错误; (3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错 误.

33、,15.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择 2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.,解析 (1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,A2, A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B 1,B3,B2,B3,共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所

34、包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个, 则所求事件的概率P= = . (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B 2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个, 则所求事件的概率P= .,C组 教师专用题组,考点一 随机事件的概率,1.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一 次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .,答案,解

35、析 记两只黄球为黄A与黄B,从而所有的摸球结果为:白、红,红、黄A,红、黄B,白、黄A, 白、黄B,黄A、黄B,共6种情况,其中颜色不同的有5种情况,则所求概率P= .,2.(2014课标,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书 相邻的概率为 .,答案,解析 设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b,在书架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1 a2,ba2a1,共6种,其中2本数学书相邻的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4种,因此2本数学书相邻的概率 P= = .,考点二 古典概型,1.(2015广东,

36、7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一 件次品的概率为( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1,答案 B 记3件合格品分别为A1,A2,A3,2件次品分别为B1,B2,从5件产品中任取2件,有(A1,A2),(A 1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种可能.其中恰有一件次品有 6种可能,由古典概型概率公式得所求事件概率为 =0.6.故选B.,2.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则lo

37、gab为整数的概率是 .,答案,解析 所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12 个. 记“logab为整数”为事件A, 则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个. P(A)= = .,易错警示 对a,b取值时要注意顺序.,评析 本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.,3.(2019北京文,17,12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成 为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从

38、全校所有 的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅 使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:,(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1 人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月 支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.,解析 本题主要考查总体分布的估计,利用概率知识解决实际问题,旨在

39、提高学生分析问题、 解决问题的能力.渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养,体现了应用与创新意识. (1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方 式都不使用的学生有5人. 故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人. 估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为 1 000=400. (2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000 元”,则P(C)= =0.04. (3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.

40、假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04. 答案示例1:可以认为有变化.,理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于 2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下: 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变 化.,4.(2015天津,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层 抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛. (1)求应

41、从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人 参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.,解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1, A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,

42、A6,A5,A6,共15 种. (ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1,A5,A1,A6,A2,A5, A2,A6,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共9种. 因此,事件A发生的概率P(A)= = .,评析 本题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其 概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.,5.(2015四川,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号 分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序

43、先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己的1 号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座 位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位. (1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐 法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处); (2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.,解析 (1)余下两种坐法如下表所示:,(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:,于是,所有可能的坐法共8种. 设“

44、乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.所以P(A)= = . 答:乘客P5坐到5号座位的概率是 .,6.(2015福建,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的 数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.,(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1 家的融合指数在7,8内的概率; (2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.,解析 解法一:(

45、1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的 “省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽 取2家的所有基本事件是A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2, B1,B2,共10个. 其中,至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B 1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,共9个. 所以所求的概率P= . (2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5 +5.5

46、+6.5 +7.5 =6.05.,解法二:(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级 卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的 所有的基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B 2,共10个. 其中,没有1家融合指数在7,8内的基本事件是:B1,B2,共1个.所以所求的概率P=1- = . (2)同解法一.,评析 本题主要考查古典概型、频数分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算 求解能力、应用意

47、识,考查必然与或然思想等.,7.(2015山东,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据 如下表:(单位:人),(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2, B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.,解析 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人, 故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人, 所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率

48、为P= = . (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有: A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2, A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1, A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3, 共15个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有: A1,B2,A1,B3,共2个. 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P= .,评析 本题考查随机事件的概率及其计算,考查运算求解能力及应用意识.,8.(2015湖南,16,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方 法是:从装有2个红球A1,A2和1个白