2020年北京高考数学复习练习课件§6.3　等比数列.pptx

1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半 音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得 到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 . 若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ( ) A. f B. f C. f D. f,答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为 的等比数列,设该等比数列为an,则a8=a1 q7,即a8= f,故选D.,易错警示

2、本题是以数学文化为背景的应用问题,有以下几点容易造成失分:读不懂题意,不 能正确转化为数学问题.对要用到的公式记忆错误.在求解过程中计算错误.,2.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = .,答案 1,解析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识,考查运算求解能力. 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. a1=b1=-1,a4=b4=8, a2=2,b2=2. = =1.,3.(2013北京,10,5分)若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= .,答案 2;2n+1-2,解析

3、由等比数列的性质得a3+a5=(a2+a4)q, 解得q= =2, a2+a4=a1(q+q3)=20, a1=2, Sn= =2n+1-2.,4.(2011北京,11,5分)在等比数列an中,若a1= ,a4=-4,则公比q= ;|a1|+|a2|+|an|= .,答案 -2;2n-1-,解析 q3= =-8,q=-2, 则an= (-2)n-1, |a1|+|a2|+|an|= +1+2+2n-2= =2n-1- .,5.(2017北京文,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求an的通项公式; (2)求和:b1+b3+b

4、5+b2n-1.,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1= .,6.(2014北京文,15,13分)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an 为等比数列. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)求数列bn的前n项和.,解析 (1)设等差数列an的公差为d,由题意

5、得 d= = =3. 所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,). 设等比数列bn-an的公比为q,由题意得 q3= = =8,解得q=2. 所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而bn=3n+2n-1(n=1,2,). (2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,). 数列3n的前n项和为 n(n+1),数列2n-1的前n项和为1 =2n-1. 所以数列bn的前n项和为 n(n+1)+2n-1.,思路分析 (1)由已知先求an的通项公式,再由bn-an是等比数列求出其通项公式,即可求出 bn的通项公式. (2)分组求和即可.,评析 本题主要考查等差数列与等比数列

6、通项公式及前n项和公式,考查数列综合应用.属基 础题.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 等比数列的概念及运算,1.(2019课标全国理,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1, 则a3= ( ) A.16 B.8 C.4 D.2,答案 C 本题主要考查等比数列的性质;以等比数列的前n项和公式为载体考查学生的运算 求解能力;考查了数学运算的核心素养. 设等比数列an的公比为q.由题意知,an0,q0.由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,q2=4,q=2.由S4 = =15,解得a1=1.a3=a1q2=4,故选C.,易错警示

7、对通项公式an=a1qn-1和Sn= (q1)未能熟练掌握,从而导致失分.,2.(2017课标,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光 点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏,答案 B 本题主要考查等比数列基本量的计算. 由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,a7构成以2为公比的等比数列,S7= =381,a 1=3.故选B.,3.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5

8、=21,则a3+a5+a7= ( ) A.21 B.42 C.63 D.84,答案 B 设an的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).a3+a5+a7=a 1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.,思路分析 用a1,q表示a3,a5,代入已知等式求出q2值,进而利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2得结果.,4.(2019课标全国文,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3= ,则S4= .,答案,解析 本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学 运算

9、. 设公比为q(q0), 则S3=a1+a2+a3=1+q+q2= , 解得q=- , a4=a1q3=- , S4=S3+a4= - = .,5.(2019课标全国理,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1= , =a6,则S5= .,答案,解析 本题主要考查等比数列基本量的计算;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数 学运算. 设an的公比为q,由 =a6,得 =a4q2,a4=q2. 又a4=a1q3,a1q3=q2,又a1= ,q=3. 由等比数列求和公式可知S5= = .,解题关键 由an=a1qn-1=amqn-m求出公比q是关键.,6.(2017课标全国,14,5

10、分)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 = .,答案 -8,解析 本题考查等比数列的通项. 设等比数列an的公比为q, 由题意得 解得 a4=a1q3=-8.,7.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3= ,S6= ,则a8= .,答案 32,解析 本题考查等比数列及等比数列的前n项和. 设等比数列an的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意, q1,由题设可得 解得 a8=a1q7= 27=32.,8.(2016课标全国,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a

11、2an的最大值为 .,答案 64,解析 设an的公比为q,于是a1(1+q2)=10, a1(q+q3)=5, 联立得a1=8,q= , an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)= = 26=64.a1a2an的最大值为64.,评析 本题考查等比数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,以及二次函数的最值.属综合 性问题.,9.(2018课标全国文,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,解析 (1)由条件可得an+1= an. 将n=1

12、代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得 = ,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得 =2n-1,所以an=n2n-1.,10.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,解析 本题考查等比数列的概念及其运算. (1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得

13、q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则Sn= . 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.,解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 (1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出. (2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解. (3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解. (4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.,11.

14、(2018浙江,20,15分)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数 列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列bn的通项公式.,解析 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和 综合应用能力. (1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8. 由a3+a5=20得8 =20,解得q=2或q= , 因为q1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn的前n项和为Sn

15、. 由cn= 解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1) , 故bn-bn-1=(4n-5) ,n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1),=(4n-5) +(4n-9) +7 +3. 设Tn=3+7 +11 +(4n-5) ,n2, Tn=3 +7 +(4n-9) +(4n-5) ,所以 Tn=3+4 +4 +4 -(4n- 5) , 因此Tn=14-(4n+3) ,n2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3) .,易错警示 利用错位相减法求和时,要注意以下几点: (1)错位相减法求和,只适合于

16、数列anbn,其中an为等差数列,bn为等比数列. (2)在等式两边所乘的数是等比数列bn的公比. (3)两式相减时,一定要错开一位. (4)特别要注意相减后等比数列的次数. (5)进行检验.,12.(2017课标,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,解析 本题考查等差、等比数列. (1)设an的公比为q,由题设可得 解得q=-2,a1=-2. 故an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n . 由于Sn+2+Sn+1=- +(-1)

17、n =2 =2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,方法总结 等差、等比数列的常用公式: (1)等差数列: 递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明. 通项公式:an=a1+(n-1)d. 前n项和公式:Sn= =na1+ d. (2)等比数列: 递推关系式: =q(q0),常用于等比数列的证明. 通项公式:an=a1qn-1. 前n项和公式:Sn= (3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项: =b或等比中项:ac=b2来证明.,13.(2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1 =-1,b1=

18、1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3.,解析 本题考查了等差、等比数列. 设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5得2d+q2=6. 联立和解得 (舍去),或 因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,考点二 等比数列的性质及应用,1.(2015课标,9,5分)已知等比数列an满足a1= ,a

19、3a5=4(a4-1),则a2= ( ) A.2 B.1 C. D.,答案 C 设an的公比为q,由等比数列的性质可知a3a5= , =4(a4-1),即(a4-2)2=0,得a4=2, 则q3= = =8,得q=2, 则a2=a1q= 2= ,故选C.,2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2 ,c=5-2 ,则b= .,答案 1,解析 a,b,c成等比数列,b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1,又b0,b=1.,3.(2019课标全国文,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的通项公式; (2)

20、设bn=log2an,求数列bn的前n项和.,解析 本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体 现了数学运算的核心素养. (1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.,C组 教师专用题组,考点一 等比数列的概念及运算,1.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是 ( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,

21、a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列,答案 D 不妨设公比为q,则 = q4,a1a9= q8,a2a6= q6,当q1时,A、B均不正确;又 = q6,a2a8= q8,同理,C不正确;由 = q10,a3a9= q10,知D正确.,2.(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n= .,答案 6,解析 由已知得an为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得 =126,解得2n+1=128,n =6.,评析 本题主要考查等比数列的定义及前n项和公式,属容易题,注意运算要准

22、确哦!,3.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .,答案 4,解析 由a8=a6+2a4,两边都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0(q2-2)(q2+1)=0,q2=2. a2=1,a6=a2q4=122=4.,4.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .,答案 1,解析 设an的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5), (a1+1)+2(d+1)2=(a1+

23、1)(a1+1)+4(d+1), (a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),d=-1,a3+3=a1+1,公比q= =1.,5.(2014天津,11,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数 列,则a1的值为 .,答案 -,解析 S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=- .,6.(2015山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3. (1)求an的通项公式; (2)若数列bn满足anbn=log3an

24、,求bn的前n项和Tn.,解析 (1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 当n1时,2Sn-1=3n-1+3, 此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1, 所以an= (2)因为anbn=log3an,所以b1= , 当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n. 所以T1=b1= ; 当n1时, Tn=b1+b2+b3+bn= +13-1+23-2+(n-1)31-n, 所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n, 两式相减,得 2Tn= +(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n,= + -(n

25、-1)31-n = - , 所以Tn= - . 经检验,n=1时也适合. 综上可得Tn= - .,评析 本题考查数列的前n项和Sn与通项an间的关系以及错位相减法.考向清楚明确,但运算量 较大.,考点二 等比数列的性质及应用 (2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 C 由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lg an的前8项和等于lg a1+lg a2+lg a8 =lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg 10=4.故选C.,三年模拟,A组

26、 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019北京海淀期末,3)已知等差数列an满足a1=2,公差d0,且a1,a2,a5成等比数列,则d= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 因为a1,a2,a5成等比数列,所以 =a1a5, 即(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,因为d0,所以d=4.,小题巧解 根据选择题的特点,本题也可采用代值验证法,即把d的值赋为1,2,3,4,便可得到正 确选项.,2.(2019北京海淀零模,5)设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=1”是“S4=2S2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

27、C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案 C 充分性易判定,下面判断必要性, 等比数列an的前n项和为Sn,S4=2S2, a1+a2+a3+a4=2(a1+a2), a3+a4=a1+a2,即(a1+a2)q2=a1+a2, |q|=1,必要性也成立.故选C.,3.(2019北京海淀一模文, 7)设an是公比为q的等比数列,且a11,则“an1对任意nN*成立” 是“q1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 若a11,且an1对任意nN*成立,则由an=a1qn-1,可得q1,故充分性成立;若a11,且q 1,同样

28、由an=a1qn-1,可得an1,所以必要性成立.故选C.,4.(2019北京西城一模,9)在等比数列an中,a2=1,a5=8,则数列an的前n项和Sn= .,答案 2n-1-,解析 等比数列an中,a2=1,a5=8, q3= =8,q=2, a1= = , Sn= = =2n-1- .,5.(2018北京东城二模,10)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则 = .,答案,解析 由题意得S4= =15a1, 且a2=2a1, = .,6.(2017北京朝阳二模,11)等比数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,a4=-2,则an的通项公式为an= ,S9= .,答案 2(-1)n

29、-1;2,解析 设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3,即-2=2q3,q=-1,故an=a1qn-1=2(-1)n-1, S9= = =2.,7.(2017北京海淀一模,9)若等比数列an满足a2a4=a5,a4=8,则公比q= ;前n项和Sn= .,答案 2;2n-1,解析 因为a2a4=a5,a4=8, 所以 解得a1=1,q=2,所以Sn= =2n-1.,8.(2019北京门头沟一模,11)等比数列an中,S3=21,2a2=a3,则an= .,答案 an=32n-1,解析 设等比数列an的公比为q,由2a2=a3得2a1q=a1q2,又a1q0,所以q=2,因为S3= =21,

30、所以a1=3,所以an=32n-1.,解后反思 先用等比数列的通项公式与求和公式将题目中的两个等式用基本量a1,q表示,通 过解方程得a1,q的值,从而得通项公式an.,9.(2019北京西城一模文,16)已知数列an的前n项和Sn=n(n+1)+2,其中nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)若a2,ak+2,a3k+2(kN*)为等比数列bn的前三项,求数列bn的通项公式.,解析 (1)当n=1时,S1=a1=4, (2分) 当n2时,由题意,得Sn=n(n+1)+2,Sn-1=(n-1)n+2, 所以an=Sn-Sn-1=2n,n2. (5分) 所以数列an的通项公式为an= (7

31、分) (2)由题意,得 =a2a3k+2. (9分) 即2(k+2)2=42(3k+2). 解得k=0(舍)或k=2. (10分) 所以公比q= =2. (11分) 所以bn=b1qn-1=a2qn-1=2n+1. (13分),10.(2019北京房山一模文, 15)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=2,S5=40. (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b3=a3,b4=a1+a5,问:b7与数列an的第几项相等?,解析 (1)由题意得S5=5a1+ =40, (2分) 又a1=2,d=3, (4分) an=3n-1. (6分) (2)b3=a3=33-1=8,b4=a1

32、+a5=2+35-1=16, q= = =2, (8分) 又b3=b1q2,即8=b122,得b1=2, (9分) bn=b1qn-1=22n-1=2n, b7=27=128, (11分) 由b7=an=3n-1,即128=3n-1,得n=43, b7与数列an的第43项相等. (13分),思路分析 (1)用等差数列的求和公式Sn=na1+ ,求出公差d,然后由等差数列的通项公 式求an,(2)列出关于首项b1与公比q的方程,计算出b7,令an=3n-1与b7相等解出正整数n即可.,11.(2019北京海淀二模文,16)已知数列an为等比数列,且an+1-an=23n. (1)求公比q和a3的

33、值; (2)若an的前n项和为Sn,求证:-3,Sn,an+1成等差数列.,解析 (1)由题设得 因为an为等比数列, 所以 所以q=3. 又因为a2-a1=a1q-a1=6, 所以a1=3. 所以an=3n. 经检验,此时an+1-an=3n+1-3n=23n成立,且an为等比数列,所以a3=33=27.,(2)证明:因为an=a1qn-1=3n, 所以an+1=a1qn=3n+1, Sn= = . 因为Sn-(-3)= +3= ,an+1-Sn=3n+1- = , 所以Sn-(-3)=an+1-Sn, 所以-3,Sn,an+1成等差数列.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间

34、:70分钟 分值:100分 一、选择题(每小题5分,共20分),1.(2017北京海淀二模,5)已知an为无穷等比数列,且公比q1,记Sn为an的前n项和,则下面结 论正确的是 ( ) A.a3a2 B.a1+a20 C. 是递增数列 D.Sn存在最小值,答案 C A选项,由a3a2得a1q2a1q,当a10得a1+a1q0,当a10时,B项不正确; C选项, =(a1qn-1)2= (q2)n-1,从而 为单调递增数列; D选项,若a10,则Sn单调递减,无最小值,故D项不正确. 故选C.,2.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列an的首项为a1,公差d0.则“a1,a3,a9成等比数列

35、”是 “a1=d”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 由a1,a3,a9成等比数列,得 =a1a9,从而(a1+2d)2=a1(a1+8d),d0,所以a1=d;若a1=d,则a3= 3a1,a9=9a1,从而有 =a1a9,所以a1,a3,a9成等比数列,综上“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的充 要条件,故选C.,3.(2019北京首师大附中一模,2)在各项均为正数的等比数列an中,a6=3,则a4+a8 ( ) A.有最小值6 B.有最大值6 C.有最大值9 D.有最小值3,答案 A 设等比数列an的公比为q

36、(q0), a6=3,a4= = ,a8=a6q2=3q2, a4+a8= +3q22 =6,当且仅当q=1时等号成立.故选A.,思路分析 由题意设出等比数列的公比q(q0),把a4、a8用a6和公比q表示,然后利用基本不等 式求解.,4.(2019北京海淀新高考调研卷,6)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独 创的视力记录方式.标准对数远视力表各行为正方形“ ”形视标,且从视力5.2的视标所在行 开始往上,每一行“ ”的边长都是下一行“ ”边长的 倍,若视力4.1的视标边长为a,则视 力4.9的视标边长为 ( ) A.1 a B.1 a C.1 a D.1 a,答案 C 由题

37、意可知每一行的视标边长组成一个等比数列,设视力4.9的视标边长为x,则a= ( )8x.故x=1 a,故选C.,二、填空题(共5分) 5.(2019北京海淀一模,9)已知a,4,c成等比数列,且a0,则log2a+log2c= .,答案 4,解析 a,4,c成等比数列,且a0, 42=16=ac,c0, log2a+log2c=log2ac=log216=4.,三、解答题(共75分) 6.(2017北京朝阳一模,16)已知数列an满足a1=1,an+1= an,设bn= ,nN*. (1)证明bn是等比数列; (2)求数列log2bn的前n项和Tn.,解析 (1)证明:由an+1= an,得

38、=2 . 因为bn= , 所以bn+1=2bn,即 =2. 又因为b1= =1, 所以数列bn是以1为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)可知bn=12n-1=2n-1, 所以log2bn=log22n-1=n-1. 则数列log2bn的前n项和Tn=0+1+2+3+(n-1)= .,思路分析 (1)由an+1= an,得 =2 ,由等比数列的定义证得结论. (2)由(1)求出bn的通项公式,利用对数性质化简log2bn,再由等差数列的求和公式求Tn.,7.(2018北京丰台一模,16)在数列an和bn中,a1=1,an+1=an+2,b1=3,b2=7,等比数列cn满足cn=bn- a

39、n. (1)求数列an和cn的通项公式; (2)若b6=am,求m的值.,解析 (1)因为an+1-an=2,且a1=1, 所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列. 所以an=1+(n-1)2=2n-1. 因为b1=3,b2=7,且a1=1,a2=3, 所以c1=b1-a1=2,c2=b2-a2=4. 因为数列cn是等比数列, 所以数列cn的公比q= =2, 所以cn=c1qn-1=22n-1=2n. (2)因为cn=bn-an=2n,an=2n-1, 所以bn=2n+2n-1. 所以b6=26+26-1=75. 因为b6=am, 所以2m-1=75,解得m=38.,方法点睛 (1)根据等

40、差和等比数列通项公式的求法得到an=2n-1,cn=2n.(2)bn-an=2n,an=2n-1,可得 到bn=2n+2n-1,求出b6的值,进而求出参数的值.,8.(2019北京丰台二模文,15)已知数列an满足a1=1,an+1=ean(e是自然对数的底数,nN*). (1)求an的通项公式; (2)设数列ln an的前n项和为Tn,求证:当n2时, + + 2.,解析 (1)因为a1=1,an+1=ean(nN*), 所以数列an是以1为首项,e为公比的等比数列, 所以an=en-1. (4分) (2)证明:由(1)知,ln an=ln en-1=n-1, (5分) 所以Tn=0+1+2

41、+(n-1)= , (7分),所以 + + = + + + =2 =2 . (11分) 因为 0,所以1- 1,所以2 2, 即 + + 2. (13分),思路分析 (1)根据等比数列的定义即可求解.(2)先根据等差数列的求和公式得Tn,然后运用裂 项相消法求解.,9.(2018北京海淀一模,15)已知等比数列an满足:a1=1,a5= a2. (1)求数列an的通项公式; (2)试判断是否存在正整数n,使得an的前n项和Sn为 .若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.,解析 (1)设an的公比为q, 因为a5= a2,且a5=a2q3, 所以q3= ,解得q= . 所以an=a1qn-1=

42、 (n=1,2,). (6分) (2)不存在正整数n, 使得an的前n项和Sn为 . 因为a1=1,q= , 所以Sn= =2 . (10分) 解法一:令Sn= ,则2 = , 得2n=-4,该方程无解. 所以不存在正整数n,使得an的前n项和Sn为 . (13分) 解法二:因为对任意的nN*,有1- 1, 所以Sn=2 2, 所以不存在正整数n, 使得an的前n项和Sn为 . (13分),10.(2019北京朝阳一模文,16)在等比数列an中,a1= ,a4=4,nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=an+n-6,数列bn的前n项和为Sn,若Sn0,求n的最小值.,解析 (1

43、)由数列an为等比数列,且a1= ,a4=4,得a4=a1q3=4,解得q=2. 所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=2n-2. (5分) (2)因为bn=an+n-6=n-6+2n-2, 所以Sn=(-5-4+n-6)+(2-1+20+2n-2) = + . 当n5时, -15, ,所以Sn0; 当n=4时,S4= 0; 当n=3时,S3= 0; 当n=2时,S2= 0; 当n=1时,S1= 0. 所以n的最小值为5. (13分),11.(2019北京西城二模文,16)已知等比数列an的前n项和Sn=p-23-n,其中nN*. (1)求p的值及数列an的通项公式; (2)判断数列 和

44、nan是不是等比数列,证明你的结论.,解析 (1)由Sn=p-23-n,得S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1, 所以a1=p-4,a2=2,a3=1. (3分) 因为数列an为等比数列, 所以公比q= = ,且 =q, 故p=8,a1=4. (5分) 所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=23-n. (7分),(2)结论:数列 是等比数列,数列nan不是等比数列. (9分) 证明如下: 由(1),得 =(23-n)2=43-n, 所以 = = , 所以数列 是首项为16,公比为 的等比数列. (11分) 由(1),得nan=n23-n, 所以数列

45、nan的前三项分别为4,4,3,它们构不成等比数列,所以数列nan不是等比数列. (13分),思路分析 (1)根据Sn=a1+a2+an及题意,求出a1,a2,a3,然后由等比数列的定义与通项公式求 解;(2)根据等比数列的定义进行证明.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019北京丰台期末,20)将mn阶数阵 记作aijmn(其中,当且仅当i=s,j=t 时,aij=ast).如果对于任意的i=1,2,3,m,当j1j2时,都有 ,那么称数阵aijmn具有性质A. (1)写出一个具有性质A的数阵aij34,满足以下三个条件:a11=4,数列a1n是公差为2的等差 数列,数

46、列am1是公比为 的等比数列; (2)将一个具有性质A的数阵aijmn的每一列原有的数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个 新的mn阶数阵,记作数阵bijmn.试判断数阵bijmn是否具有性质A,并说明理由.,解析 (1) (答案不唯一). (4分) (2)数阵bijmn具有性质A. 只需证明,对于任意的i=1,2,3,n,都有bijbp(q+1),则b(p+1)q,b(p+2)q,bmq都大于bp(q+1),即在第q列中,至少有m-p+1个数大于bp(q+1),且bp (q+1)b(p-1)(q+1)b2(q+1)b1(q+1). 根据题意,对于每一个bt(q+1)(t=1,2,p),至少存在一个 (it1,2,3,m),使得 bt(q+1),即在第 q列中,至少有p个数小于bp(q+1). 所以第q列中至少有m-p+1+p=m+1个数,这与第q列中只有m个数矛盾. 所以假设不成立. 所以数阵bijmn具有性质A. (13分),2.(2019北京房山一模, 20)若数列an满足:an0,1,nN*,且a1=1,则称an为一个X数列. 对于 一个X数列an,若数列bn满足:b1=1,且bn+1= bn,nN*,则称bn为an的伴随数列. (1)若X数列an中,a2=1,a3=0,a4=1,写出其伴随数列bn中b2,b3,b4的值; (2)若an为一个X数列,bn为an的伴随数