2020年浙江高考数学复习练习课件：§ 3.1　导数的概念及运算.pptx

1、(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x- )e-x . (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间 上的取值范围.,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,解析 本题主要考查导数的运算及导数的应用,同时考查分析问题和解决问题的能力. (1)因为(x- )=1- ,(e-x)=-e-x, 所以f (x)= e-x-(x- )e-x = . (2)由f (x)= =0,解得x=1或x= .,又f(x)= ( -1)2e-x0, 所以f(x)在区间 上的取值范围是 .,因为,解后反思 1.在导数大题中,求函数的导数至关重要,因此,必须熟练掌握求导公式和求导法则.,2.利用导数求函数

2、的值域的一般步骤: (1)求函数f(x)的导函数f (x); (2)解方程f (x)=0; (3)用f (x)=0的根把函数的定义域分成若干个区间; (4)判断每个区间上f (x)的符号,得函数的单调性; (5)求函数在各个区间上的值域,再求并集.,3.本题最易忽略f(x)0这个条件,从而得出: f(x)在 上的值域为 的错误结论. 因此,在求函数f(x)在区间(a,+)或(-,a)上的值域时,一定要观察f(x)图象的趋势,或先判断f(x) 何时为正,何时为负(通常是求出函数f(x)的零点).,考点一 导数的概念及其几何意义,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019课标全国文,7,5

3、分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1,答案 D 本题考查了导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的 求导考查学生对运算公式的应用能力,体现了数学运算的核心素养. y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.故切点坐标为(1,1), 将切点坐标(1,1)代入y=2x+b, 得1=2+b,b=-1,故选D.,解题关键 正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.,2.(2019课标全国文,10,5分)曲线

4、y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为 ( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0,答案 C 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗 透的核心素养是数学运算. 由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2 (x-),即2x+y+1-2=0,故选C.,小题速解 由题意得y=2cos x-sin x,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有 C符合.故选C.,3.(2018课标全国文

5、,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处 的切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,答案 D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,即a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.,解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入

6、解析式,从而建立方程(组). (3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.,4.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3,答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x) 满足f (x1)f (x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)=cos x,则f (0)f ()=-1,故函数y=sin

7、 x具有T 性质;y=f(x)=ln x的导函数为f (x)= ,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex 的导函数为f (x)=ex,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3 x2,则f (x1)f (x2)=9 0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.,评析 本题为创新题,主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的条件,属于偏难题.,5.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .,答案 x+2y-2=0,解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学

8、生对基本初等函数的导数公式、导数的运算 法则、导数的几何意义的理解和掌握程度. y=cos x- ,y=-sin x- ,y|x=0=- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,切线方程为y-1=- (x -0),即x+2y-2=0.,方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:求导函数;把该点横坐标代 入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;用点斜式写出切线方程.,6.(2019课标全国理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=3x,解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1

9、)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3 x.,解题关键 掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.,7.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经 过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .,答案 (e,1),解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数 学运算. 设A(x0,y0),由y= ,得k= , 所以在点A处的切线方程为y-ln x0= (x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0

10、= (-e-x0).所以ln x0= , 令g(x)=ln x- (x0), 则g(x)= + ,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数. 又g(e)=0,ln x= 有唯一解x=e.x0=e. 点A的坐标为(e,1).,方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: 设切点为(x0, f(x0); 求k=f (x0); 得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.,8.(2018课标全国理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=2x,解析 本题主要

11、考查导数的几何意义. 因为y= ,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.,9.(2018课标全国理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .,答案 -3,解析 本题考查导数的综合应用. 设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2,解得a=-3.,10.(2017天津文,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴 上的截距为 .,答案 1,解析 本题主要考查导

12、数的几何意义以及直线方程与截距. 由题意可知f (x)=a- ,所以f (1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.,易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.,11.(2017北京文,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值. (1)因为f(

13、x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x 时,h(x)0, 所以h(x)在区间 上单调递减. 所以对任意x 有h(x)h(0)=0,即f (x)0. 所以函数f(x)在区间 上单调递减. 因此f(x)在区间 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =- .,解题思路 (1)先求导,再利用导数的几何意义求出切线

14、的斜率,最后利用点斜式求出切线方 程.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,对h(x)求导,进而确定h(x)的单调性,最后求出最值.,方法总结 1.求切线方程问题:(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值,即切线的斜率; (2)求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.,2.利用导数研究函数的单调性:(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求出函数f(x)的导函数f (x);(3)令f (x)0得到f(x)在定义域内的单调递增区间,令f (x)0得到f(x)在定义域内的单调递减区间.,12.(2017山东理,20,13分)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(

15、cos x-sin x+2x-2),其中e=2.718 28是 自然对数的底数. (1)求曲线y=f(x)在点(, f()处的切线方程; (2)令h(x)=g(x)-af(x)(aR),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.,解析 本题考查导数的几何意义和极值. (1)由题意知, f()=2-2, 又f (x)=2x-2sin x, 所以f ()=2, 因此曲线y=f(x)在点(, f()处的切线方程为y-(2-2)=2(x-),即y=2x-2-2. (2)由题意得h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x), 因为h(x)=ex(cos x-s

16、in x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x) =2ex(x-sin x)-2a(x-sin x) =2(ex-a)(x-sin x), 令m(x)=x-sin x,则m(x)=1-cos x0, 所以m(x)在R上单调递增. 因为m(0)=0,所以当x0时,m(x)0;当x0,当x0时,h(x)0,h(x)单调递增, 所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1; (ii)当a0时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x), 由h(x)=0得x1=ln a,x2=0. 当00,h(x)单调递增; 当x(ln a,0)时,ex-

17、eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增. 所以当x=ln a时h(x)取到极大值, 极大值为h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2, 当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1; 当a=1时,ln a=0, 所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;,当a1时,ln a0, 所以当x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增; 当x(0,ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)单调递增. 所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;

18、当x=ln a时h(x)取到极小值, 极小值是h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2. 综上所述: 当a0时,h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a -1; 当0a1时,函数h(x)在(-,ln a)和(0,+)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值, 也有极小值, 极大值是h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2, 极小值是h(0)=-2a-1;,当a=1时,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;

19、当a1时,函数h(x)在(-,0)和(ln a,+)上单调递增, 在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值, 极大值是h(0)=-2a-1, 极小值是h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.,1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 .,考点二 导数的运算,答案 e,解析 本题主要考查导数的计算. f(x)=exln x,f (x)=ex , f (1)=e1(ln 1+1)=e.,2.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+b

20、x,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,解析 (1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f (x)=(1-x)ea-x+b. 依题设,知 即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知, f (x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,

21、x(-,+). 综上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,评析 本题考查导数的几何意义及利用导数讨论函数单调性等知识,方法常规,属中档题.,C组 教师专用题组,1.(2017课标全国文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .,答案 x-y+1=0,解析 本题考查导数的几何意义. y=x2+ ,y=2x- ,y|x=1=2-1=1,所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.,2.(2016课标全国,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处 的切线方程是 .,答案

22、 y=-2x-1,解析 令x0,则-x0),则f (x)= -3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y= -2x-1.,思路分析 根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜 式求出切线方程.,评析 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义,求出x0时f(x)的解析式是解题关键.,3.(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .,答案 8,解析 令f(x)=x+ln x,求导得f (x)=1+ ,f (1)=2,又f(1)=1,

23、所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方 程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y =2ax0+a +2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=- ,又a +(a+2)x0+1=2x0-1,即a +ax0+2=0,当a=0时,显然不满足 此方程,x0=- ,此时a=8.,评析 本题考查导数的运算和几何意义,利用切点既在切线上,又在曲线上,列出两个方程是 解题的关键.,4.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的 坐标为 .,答案

24、(1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- , 则有k1k2=-1,即1 =-1,解得 =1,又x00, x0=1.又 点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,5.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)= x3- ax2,aR. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调

25、性并判断有无极值,有极值时求出极值.,解析 本题考查导数的几何意义;用导数研究函数的单调性;用导数求函数的极值、最值. (1)由题意f (x)=x2-ax, 所以当a=2时, f(3)=0, f (x)=x2-2x, 所以f (3)=3, 因此,曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0. (2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x =x(x-a)-(x-a)sin x =(x-a)(x-sin x), 令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x

26、0, 所以h(x)在R上单调递增. 因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0; 当x0时,h(x)0.,当a0,g(x)单调递增; 当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a, 当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a. 当a=0时,g(x)=x(x-sin x), 当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增; 所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. 当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x), 当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;

27、当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;,当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a. 综上所述: 当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小 值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.,6.(2015安徽,18,12分)设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求数列xn的通项公式; (2)记Tn= ,证明:Tn .,解析 (1)y=(x2n+2+1)=(

28、2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2. 从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1). 令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1- = . (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知 Tn= = . 当n=1时,T1= . 当n2时,因为 = = = = . 所以Tn = . 综上可得对任意的nN*,均有Tn .,考点一 导数的概念及其几何意义,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江学军中学高三上期中,4)已知曲线f(x)=x3在(1,f(1)处切线的倾斜角为,则2sin2-3 sin cos = ( ) A.

29、B. C. D.,答案 C 因为f (x)=3x2,所以tan =30, 所以2sin2-3sin cos = = = = , 故选C.,2.(2018浙江杭州第一学期教学质检,5)若直线y=x与曲线y=ex+m(mR,e为自然对数的底数)相 切,则m= ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2,答案 C 设切点坐标为(x0,y0),由y=ex+m得y=ex+m,则y = ,则 所以x0+m=0且x0 =1,得m=-1,故选C.,3.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,7)已知函数f(x)=x3-x和点P(1,-1),则过点P与该函数图象 相切的直线条数为 ( ) A.1 B.2 C.3

30、D.4,答案 B 设切点为(x0, -x0),则3 -1= ,解得x0=0或 ,故有两条切线,故选B.,4.(2018浙江诸暨高三上期末,20)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax的图象在x=0处的切线方程是x+y+b= 0. (1)求a,b的值; (2)求证:函数f(x)有唯一的极值点x0,且f(x0)- .,解析 (1)f (x)=xex-a, (2分) 由f (0)=-1,得a=1, (4分) 因为f(0)=-1,所以切线方程为y+1=-x,即x+y+1=0. 所以b=1. (6分) (2)证明:令g(x)=f (x)=xex-1,则g(x)=(x+1)ex. (8分) 所以当x0,

31、所以g(x)=0有唯一解x0,即f(x)有唯一的极值点. (12分) 由x0 =1得 = , f(x0)= -x0=1- , 又g = -10,所以 - . (15分),1.(2019浙江宁波高三上期末,3)已知y=f(x)(xR)存在导函数,若f(x)既是周期函数又是奇函数, 则其导函数 ( ) A. 既是周期函数又是奇函数 B. 既是周期函数又是偶函数 C. 不是周期函数但是奇函数 D. 不是周期函数但是偶函数,考点二 导数的运算,答案 B 由题意可知f(x+T)=f(x),利用复合函数求导法则知,f (x+T)=f (x); 又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),两边对x求

32、导可知f (-x)=f (x), 综上,其导函数既是周期函数又是偶函数,故选B.,2.(2018浙江台州第一次调考(4月),10)设f (x)为函数f(x)的导函数,xR,且f(x)0(e 为自然对数的底数),若x1 f 2(x1) D.f 2(x1) f 2(x2),答案 D 因为f(x)0,所以f (x)0,即f(x)在(-,+)上单调递增,从而f(x1)f 2(x2),因为0f 2(x2) f 2(x2).,3.(2018浙江杭州第二次教学质量检测(4月),20)已知函数 f(x)= . (1)求函数f(x)的导函数f (x); (2)证明:f(x) (e为自然对数的底数).,解析 (1

33、)f (x)= . (6分) (2)证明:设g(x)= -ln x= + -ln x, 则函数g(x)在(0,+)上单调递减,且g( )0,g(e)0, 所以存在x0( ,e),使g(x0)=0,即 -ln x0=0, 所以x0+1-(2x0+1)ln x0=0, 所以f (x0)=0,且f(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,+)上单调递减. 所以f(x)f(x0)= = . (15分),4.(2019浙江名校协作体联考(2月),22)已知函数f(x)=ln x+ . (1)若函数f(x)有极值,求实数a的取值范围; (2)当a=1时,若f(x)在x=x1,x2(x1x2)处导数

34、相等,证明:f(x1)+f(x2)1+2ln 2; (3)若函数f(x)在(0,+)上有两个零点x1,x2(x1x2),证明:x1+x2 .,解析 (1)f (x)= (x0),f(x)有极值,a0. (3分) (2)证明:f (x)= ,由f (x1)=f (x2)得 = , 即x1+x2=x1x2. (5分) x1,x20,且x1x2,x1x2=x1+x22 ,x1x24. (7分) f(x1)+f(x2)=ln x1+ +ln x2+ =ln(x1x2)+1ln 4+1=2ln 2+1. (8分) (3)证明:f(x)=ln x+ =0,即-a=xln x,令g(x)=xln x,则g(

35、x)=ln x+1,易知,00, 函数g(x)=xln x在 上单调递减,在 上单调递增,g =- . (10分) 令x=e-t,其中t0,则g(x)=e-tln e-t=- , et1+t+ , = ,当t+时, 0+,故- 0-, 从而当-a 时,f(x)在(0,+)上有两个零点. (11分) 不妨设00, h(x)在 上单调递增,h(x)h =0,即g(x)g 在 上恒成立,g(x2)=g(x1)g , x2 , -x1 , 且g(x)在 上单调递增,x2 -x1,即x1+x2 . (15分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:35分钟 分值:68分 一、选择题(共8分

36、),1.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,13)函数f(x)= 的图象在点(1, )处的切线方程为 .,答案 x- y+1=0,解析 由题意得f (x)= ,当x=1时,f (1)= = ,故切线斜率为 . 则切线方程为y- = (x-1),化简得x- y+1=0.,2.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,17)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a(e为自然对数的底数),且a 1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是 .,答案,解析 令f(x)0,则ex(2x-1)a(x-1), 已知转化为y=ex(2x-1)的图象在y=a(x-1)的图象下方的点中仅有一个横坐

37、标为整数, 令g(x)=ex(2x-1),则g(x)=ex(2x+1),所以g(x)在 上单调递减,在 上单调递增. 作出函数y=g(x)和y=a(x-1)的大致图象, 仅需 解得 a1.,3.(2019浙江高考数学仿真卷,22)已知函数f(x)=aex+b(a,bR),且f(x)在点(1,f(1)处的切线方程 为y=x. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:f(x)ln x+ (x0).,二、解答题(共60分),解析 (1)由题意得f (x)=aex,所以f (1)=ae=1,解得a= , (2分) 又因为f(1)= e1+b=1,所以b=0,所以f(x)=ex-1. (5分) (2)证

38、明:对x的取值范围分类讨论: 0ln x+ , 令g(x)=ln x+ ,则g(x)= - = g(1)=3 ,即f(x)ln x+ =ex-1ln x+ ln x+ 3 , 故0x1时,不等式成立; (9分) x1时,先证明不等式ex-1x在x1,+)上恒成立, 令h(x)=ex-1-x(x1),则h(x)=ex-1-10, 所以h(x)在1,+)上单调递增,所以h(x)h(1)=0, 即不等式ex-1x成立,而此时ln x0,于是有f(x)ln x+ =ex-1ln x+ xln x+ , 令m(x)=ln x+ - (x1),则m(x)= - + = = ,所以m(x)在 上单调递减,在

39、 上单调递增, 所以m(x)m =ln - , 由于 3e,因此 ,所以ln , 所以m(x)m =ln - 0,即m(x)=ln x+ - 0, 即xln x+ , 所以f(x)ln x+ =ex-1ln x+ xln x+ ,故x1时,命题得证. 综上,f(x)ln x+ (x0)成立. (15分),4.(2019浙江高考信息优化卷(三),22)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2-x(aR). (1)若曲线f(x)与g(x)在公共点P处有相同的切线,求证:点P唯一; (2)若a0,且曲线f(x)与g(x)总存在公切线,求正实数a的最小值.,解析 (1)证明:设P(x0,y0),由

40、已知得f (x)= ,g(x)=2ax-1, 由已知条件可知 要证明点P唯一,即证明方程 = 在(0,+)上只有一解, 即方程2ln x0+x0-1=0只有一解, 令h(x0)=2ln x0+x0-1,则h(x0)= +10,所以h(x0)为(0,+)上的单调递增函数,且h(1)=0,命题得证. (2)易知曲线f(x)在点(t,ln t)处的切线方程为y-ln t= (x-t),即y= x+ln t-1, 由 得ax2- x-ln t+1=0, 又f(x)与g(x)的图象总存在公切线,所以= -4a(1-ln t)=0总有解,即 =4a(1-ln t)总有解, 因为a0,所以1-ln t0,

41、所以00在00,所 以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,所以h(t)min=h(1)=4,所以amin=1.,5.(2019浙江高考信息优化卷(二),22)已知函数f(x)=x2+2x+aln x,其中aR. (1)对任意t1,恒有f(2t-1)2f(t)-3,求a的取值范围; (2)设a0,存在实数b使得关于x的方程f(x)=b有两个实根x1,x2(x1x2),求证:函数f(x)在x= 处 的切线斜率大于0.,解析 (1)f(2t-1)2f(t)-3等价于2(t-1)2+aln(2t-1)-2aln t0, 记h(t)=2(t-1)2+aln(2t-1)-2aln t,

42、h(t)=4(t-1)+ - = , 当t1时,2t(2t-1)2,所以当a2时,h(t)0在t1时恒成立,即h(t)在t1时为增函数, 故t1时,h(t)h(1)=0,即不等式f(2t-1)2f(t)-3成立; 当a2时,由h(t)=0,得t= ,当t 时,h(t)0,则当t 时有h(t)h (1)=0,与已知矛盾. 综上,a2.,(2)证明:证函数f(x)在x= 处的切线斜率大于0,即证f 0.因为f (x)=2x+2+ , 所以f =x1+x2+2+ , 又 +2x1+aln x1=b= +2x2+aln x2, 所以a= ,将代入得f = , 令 =m(m1),则ln + =ln m+

43、 ,记h(m)=ln m+ ,h(m)= - = 0, 所以h(m)在m1时为增函数,则有h(m)h(1)=0, 又x2x10,所以f 0,即函数f(x)在x= 处的切线斜率大于0.,6.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),22)记fa(x)=ax(x-1)+ln x. (1)若fa(x)0对任意的 x 0 恒成立,求实数 a 的值; (2)若直线l : y=kx+1与fa(x)的图象相切于点Q(m,n). (i)试用含m的式子表示a与k; (ii)若对给定的 k,总存在三个不同的实数 a1,a2,a3,使得直线l 与曲线 (x), (x), (x)同时相切, 求实数k的取值范围

44、.,解析 (1)f a(x)=a(2x-1)+ , fa(1)=0,且fa(x)0恒成立,fa(1)是fa(x)的最大值, f a(1)=a+1=0,a=-1, 反过来,当a=-1时,显然fa(x)0恒成立,a=-1. (2)(i)f a(x)=a(2x-1)+ ,由切点Q(m,n),得 把代入可得a= , 把代入得k= . (ii)根据题意知方程有三个不同的根. 令F(m)= , 则F(m)=,= = = . 令F(m)=0,解得两根分别为1与 ,当m(0,1)时,F(m)0,F(m)单调递增;当m( ,+)时,F(m)0, 当k 时,方程有三个不同的根, 下面说明三个不同的m对应的a也是不同的: 设方程的三个不同的根分别为m1,m2,m3,且00, 只说明a2a3即可,由F(m2)=F(m3)可得 = , 即(2m2-1)a2+ =(2m3-1)a3+ ,假设a2=a3=,则有2(m2-m3)= - ,即2= , 即 = = = , 即ln - =0,令 =sG(1)=0,与G(s)=0矛盾,假设不成立,即a2a3, 当k 时,存在三个不同的实数a1,a2,a3,使得直线l与曲线 (x), (x), (x)同时相 切.,