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1、1第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 数学模型是用数学工具来描述系统的运动过程。例如描述刚体运动可以有 本章介绍如下几种系统模型 解析模型：解析模型：微分方程微分方程 传递函数传递函数 频率特性频率特性 图图 模模 型：型：方块图方块图 信号流程图信号流程图Fxm 22.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程微分方程 定义：用微分方程来描述系统的运动规律，得到的输入和输出之间的公式。由于微分是针对时间t的，因此又称为时域模型。描述线性系统的微分方程是线性微分方程。c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011-n1-n1-nnnnr(

2、t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011-m1-m1-mmmmbl其中，系数 (i=0,1,2,n;j=0,1,2m)均为实数，它们是由系统本身的结构参数所决定的，与输入输出无关。b ,aji3例例 建立建立RCRC电路运动方程。电路运动方程。r(t)输入量（电压）输入量（电压）c(t)输出量（电压）输出量（电压）（RC=T）RC()i t()r t()c t(t)(dtdC(t)TrtC2.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程微分方程l由于很多物理规律是用微分方程描述的，因此微分方程描述是系统最基本的描述。4 传递函数传递函数是经典控制最基本，最

3、重要的概念之一。是经典控制最基本，最重要的概念之一。定义定义：线性定常系统线性定常系统在在初始条件为零时初始条件为零时，输出量，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比。的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比。设：设：输入输入-r(t)，输出，输出-c(t)，则传递函数：，则传递函数：那么：那么：C(s)=G(s)R(s)。利用传递函数，输入和输出之间存在简单的乘积利用传递函数，输入和输出之间存在简单的乘积关系。关系。R(s)s(CLr(t)Lc(t)G(s)2.22.2控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数传递函数5如果系统微分方程为：如果系统微分方程为：对上式两边进行拉氏变换：对上式

4、两边进行拉氏变换：c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011-n1-n1-nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011-m1-m1-mmmmbR(s)bsR(s)bR(s)sbR(s)sb)s(Ca)s(sCaC(s)saC(s)sa011m-1mmm011n-1nnn 011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s)可以得到可以得到 控制系统传递函数的分式表达控制系统传递函数的分式表达:6)1)1)1()1()1)(1()()(2121sTsTsTssssKsRsCnm（121211211212)()1(12)()1

5、()()(njnlpnpnjmimkznkznkillsssssssKsRsC a.表示成表示成典型环节形式典型环节形式：00bKa系统的稳态增益；l其中，称为时间常数，当存在复数时间常数时，常化成二次形式：jiT和7 njjmiirpzKK11iz 系统的零点；系统的零点；零极点可以是复数或实数，复数必定是成对（共轭）出现。零极点可以是复数或实数，复数必定是成对（共轭）出现。rKK和和有如下关系有如下关系)()()()()()(2121nmrpspspsszszszsKsRsC jp 系统的极点，系统的极点，个零极点。个零极点。其中有其中有增益因子。增益因子。rKb.表示成表示成零、极点形式

6、：零、极点形式：8 1)传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 有特性的描述。有特性的描述。2)传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。3)传递函数大都是复变量传递函数大都是复变量s的有理真分式函数，即的有理真分式函数，即m n。（m、n分别为分子、分母多项式的次数。）分别为分子、分母多项式的次数。）4)若输入为单位脉冲函数，即若输入为单位脉冲函数，即R(s)=Lr(t)=1，则，则 G(s)G(s)R(s)C(s)这意味着传递函数是单位脉冲函数的拉氏变换。这个事实也这

7、意味着传递函数是单位脉冲函数的拉氏变换。这个事实也说明了传递函数与输入无关，而有系统特征唯一确定。说明了传递函数与输入无关，而有系统特征唯一确定。关于传递函数的几点说明：关于传递函数的几点说明：5)闭环系统传递函数闭环系统传递函数G(s)的分母称为系统的特征多项式，对应的分母称为系统的特征多项式，对应的方程称为特征方程。的方程称为特征方程。9sj系统传递函数中的系统传递函数中的用用得到的得到的 称为称为代替代替,系统系统的频率特性。的频率特性。1212112112 12)()1(12)()1()()(njnlppjmimkzkzkillsssssssKsRsC1212112112 12)()1

8、()(12)()1()()(njnlppjmimkzkzkilljjjjjjjKjRjC传递函数传递函数:频率特性频率特性:)(jG10例例 建立建立RC电路运动方程。电路运动方程。r(t)输入量输入量 c(t)输出量输出量 时域时域：(RC=T)微分方程微分方程 复域复域:传递函数传递函数 频域频域:频率特性频率特性RC()i t()r t()c t(t)(dtdC(t)TrtC 11R(s)C(s)G(s)Ts1jT11RCj1c)G(j r11二二 .“三域三域”数学模型及其相互关系数学模型及其相互关系微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj12运

9、动方程运动方程:c(t)=Kr(t)K放大系数，通常都是有量纲的。放大系数，通常都是有量纲的。传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：KR(s)C(s)G(s)K)R(j)C(j)G(j 1 1.比例环节（又叫放大环节）比例环节（又叫放大环节）2.4 典型环节的数学模型典型环节的数学模型13其它一些比例环节142 2、微分环节微分环节 运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：dtdr(t)KC(t)KSR(s)C(s)G(s)jK)R(j)C(j)G(j15例例 2 2：测速发电机测速发电机CFCF的数学描述的数学描述 输输 入：入：(t)电动机电动机D转子（与测速发电机同

10、轴）的转角转子（与测速发电机同轴）的转角输输 出：出：uf(t)测速发电机的电枢电压测速发电机的电枢电压运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：G（s）=Ks 频率特性：频率特性：G（j）=jK dt(t)dK(t)uf16运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性频率特性：ttrtcd)(K)(sKG(s)jK)G(j17例：例：如右电路如右电路 运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：（T=R1C）频率特性：频率特性：r(t)dtT1r(t)dtCR1(t)dtiC1c(t)1csKTs1R(s)C(s)G(s)11cRr(t)(t)i(t)ijTK)R(j)C(j)G(j输入为输入

11、为r(t)，输出为输出为c(t)18 4 4、惯性环节、惯性环节(又叫非周期环节又叫非周期环节)运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：Kr(t)c(t)dtdc(t)T1TsKG(s)1jTK)G(j19输入量输入量:ud 电枢电压电枢电压输出量：输出量：id 电枢电流电枢电流因为因为运动方程：运动方程：传递函数传递函数:式中式中 Ld 电枢回路电感；电枢回路电感；Rd 电枢回路电阻；电枢回路电阻；d 电枢绕组的时间常数；电枢绕组的时间常数；ddddduiRidtdL ddddRuidtd 11)()(G(s)sRsUsIdddd dddRL 20 5 5、振荡环节、振荡

12、环节 运动方程：运动方程：式中：式中：阻尼比，阻尼比，T振荡环节的时间常数。振荡环节的时间常数。传递函数：传递函数：式中：式中：无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率 频率特性：频率特性：TjTjRjCjG2)1(1)()()(22 Kr(t)c(t)dtdc(t)T2dtc(t)dT222 22222()1()()212nnnC sG sR sT sTsss2n21例例1：RLC电路电路jRC)LC-(111)RC(j)LC(j1)G(j22 i(t)dtC1c(t)i(t)dtC1ri(t)dtdi(t)Lr(t)解：解：消去中间变量消去中间变量i(t)得到运动方程：得到运动方程：传递函数：

13、传递函数：频率特性：频率特性：r(t)c(t)dtdc(t)RCdtc(t)dLC22 1RCsLCs1G(s)2 22ea(t)-输入量为加在电枢两端输入量为加在电枢两端 (t)-输出量为电机轴的角位移输出量为电机轴的角位移;R-电枢绕组的电阻；电枢绕组的电阻；L-电枢绕组电感；电枢绕组电感；i(t)-电枢绕组中的电流；电枢绕组中的电流；eb(t)-电动机的反电势；电动机的反电势；T(t)-电动机产生的转矩；电动机产生的转矩；J-电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量；电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量；B-电动机和负载折合到电动机转轴上的粘性摩擦系数。电动机和负载折合到电动机转轴上

14、的粘性摩擦系数。例例2 2 电枢控制式直流侍服电机电枢控制式直流侍服电机23例例3 3：机械装置：机械装置 输入输入-力力：f(t)，输出输出-位移：位移：x(t)微分方程微分方程:式中：式中：K弹簧弹性系数；弹簧弹性系数；M物体的质量，物体的质量，B粘性摩擦系数。粘性摩擦系数。传递函数：传递函数：)()()()(22tKxdttdxBdttxdMtf 1sKBsKMK1F(s)X(s)G(s)2 24 6 6、一阶微分环节、一阶微分环节 运动方程运动方程：传递函数：传递函数：G(s)=Ts+1频率特性：频率特性：G(j)=j T+1 r(t)dtdr(t)Tc(t)257 7、二阶微分环节、

15、二阶微分环节 动方程：动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：可以看出，二阶微分环节的传递函数和频率特性是可以看出，二阶微分环节的传递函数和频率特性是振荡环节的倒数。振荡环节的倒数。r(t)dtdr(t)T2dtr(t)dTc(t)2221Ts2sTR(s)C(s)G(s)22 TjTjTjTjG2)1(1)(2)()(2222268。延迟环节 输入ur(t)，输出uc(t)=ur(t-)传递函数 频率特性sesG)(jejG)(延迟环节表现为信号的滞后，它传递函数为指数延迟环节表现为信号的滞后，它传递函数为指数函数，频率特性的模恒等于函数，频率特性的模恒等于1。27小结小结（1）不同

16、物理性质的系统，可以有相同形式的传不同物理性质的系统，可以有相同形式的传 递函数。递函数。例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。（2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量 时，就可能得到不同形式的传递函数。时，就可能得到不同形式的传递函数。例如：电容：输入例如：电容：输入电流，输出电流，输出电压，则是积分环节。电压，则是积分环节。反之，输入反之，输入电压，输出电压，输出电流，则为微分环节。电流，则为微

17、分环节。28本章（一）小结 传递函数、频率特性的定义 典型环节的传递函数和频率特性 一些重要对象的传递函数29A-4A1-4 在日常也有许多人参与系统的控制。图在日常也有许多人参与系统的控制。图A1-1是一是一个液位控制系统，其输出管路是一直开启的，控制个液位控制系统，其输出管路是一直开启的，控制目标是保持容器中的液位为恒值，液位由仪表中读目标是保持容器中的液位为恒值，液位由仪表中读出。出。(1)说明系统的工作原理，画出其框图，并指出系统说明系统的工作原理，画出其框图，并指出系统的测量装置与执行装置；的测量装置与执行装置；(2)配上适当的元器件，将系统改为自动控制系统，并配上适当的元器件，将系

18、统改为自动控制系统，并说明其工作原理，画出系统框图，指出输入量、输说明其工作原理，画出系统框图，指出输入量、输出量、被测量和控制器。出量、被测量和控制器。图图A 1-1 由人参与的液位控制系统由人参与的液位控制系统30A-431A-4解解（1）首先，系统要求液位有一个设定的恒值，仪表测得液）首先，系统要求液位有一个设定的恒值，仪表测得液位的实际值，操作员将实际值与设定的恒值相比较，如位的实际值，操作员将实际值与设定的恒值相比较，如果实际值比设定值大，操作员就减小阀门的开度，从而果实际值比设定值大，操作员就减小阀门的开度，从而使得液位下降，如果实际值比设定值小，操作员就增大使得液位下降，如果实际值比设定值小，操作员就增大阀门的开度，从而使得液位上升。其框图如下：阀门的开度，从而使得液位上升。其框图如下：其中测量装置为仪表，执行装置为阀门其中测量装置为仪表，执行装置为阀门32A-4(2)这里介绍一种常规的液位自动控制系统：通过液位测量这里介绍一种常规的液位自动控制系统：通过液位测量装置，将测得的液位实际数值反馈到系统的输入端，与装置，将测得的液位实际数值反馈到系统的输入端，与期望的液位相比较，其差值放大后驱动电机，经传动减期望的液位相比较，其差值放大后驱动电机，经传动减速，调节阀门开度，使容器的液位保持在期望的位置上。速，调节阀门开度，使容器的液位保持在期望的位置上。