《高等数学》第四版16节极限的运算法则课件.ppt

1、第1页，共20页。一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf .0,0.)(,)(其中其中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得第2页，共20页。)()()(BAxgxf .0.)1(成立成立)()()(BAxgxf ABBA )()(BA.0.)2(成立成立BAxgxf)()(BABA )(BBAB.0 AB,0,0 B又又,0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 第3

2、页，共20页。推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立第4页，共20页。二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531li

3、m232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 第5页，共20页。小结小结:则有则有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf.,0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ第6页，共20页。解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim

4、1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx第7页，共20页。解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)第8页，共20页。例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极

5、限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第9页，共20页。小结小结:为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第10页，共20页。例例5

6、5).21(lim222nnnnn 求求解解是无穷小之和是无穷小之和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.第11页，共20页。例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx.sin 是有界函数是有界函数而而x.0sinlim xxxxxysin 第12页，共20页。例例7 7).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 x

7、xfxx ,1)1(lim)(lim200 xxfxx,1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故第13页，共20页。三、小结三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.第14页，共20页。思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极无极

8、限，那么限，那么 是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？)(xf)(xg)()(xgxf 第15页，共20页。思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf)(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误第16页，共20页。._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6

9、xxxeex、练练 习习 题题第17页，共20页。._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、第18页，共20页。38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、第19页，共20页。一一、1 1、-5 5；2 2、3 3；3 3、2 2；4 4、51；5 5、0 0；6 6、0 0；7 7、21；8 8、30)23(.二二、1 1、2 2；2 2、x2；3 3、-1 1；4 4、-2 2；5 5、21；6 6、0 0；7 7、nmnm .练习题答案练习题答案第20页，共20页。