函数的极限PPT课件-PPT课件.ppt

1、1数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙.培根培根(Advanced Mathematics)2函数的极限函数的极限数列的极限数列的极限第二节第二节 函数极限函数极限(一一)第一章第一章 函数与极限函数与极限-极限的概念极限的概念31.数列数列:例：例：;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n按照自然数顺序排列的一列数按照自然数顺序排列的一列数,21nxxx简记为简记为nx函数极限函数极限一、一、数列的极限数列的极限一般式为一般式为:;,)1(,1,1,11 n)1(1 n一般项一般项;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn 41x2x3x4xnx数列的数列的

2、(两种两种)几何表示法几何表示法:)(nfxn 整标函数整标函数或或下标函数下标函数(1)数轴上一个点列数轴上一个点列.数列的极限数列的极限(2)不可将这串点连成曲线不可将这串点连成曲线.onxn 1 2 3 4平面上一串分离的点平面上一串分离的点.5正六边形正六边形 的周长的周长1l正十二边形正十二边形 的周长的周长2l正正 边形的周长边形的周长126 nnlR函数极限函数极限刘徽创刘徽创“割圆术割圆术”，数列的变化趋势数列的变化趋势记：记：时，时，当当nlln2.关注关注:例：例：计算圆的周长计算圆的周长l)26(12 )26(11 当当n无限增大时，无限趋近于无限增大时，无限趋近于lnl

3、6用无限接近（极限）方法，可实现：用无限接近（极限）方法，可实现：近似近似精确精确量变量变质变质变直直曲曲注注9,)1(,1,1,1:)1(11 nn数数列列例例3符号：符号：1)1(n函数极限函数极限当当n无限增大无限增大时时,不趋于不趋于一个常数一个常数(极限不存在极限不存在)不存在不存在1)1(lim nn文字：文字：图形：图形：10函数极限函数极限,2,8,4,2:2nn数列数列例例4符号：符号：n2当当n无限增大无限增大时时,不趋于不趋于一个常数一个常数(极限不存在极限不存在)不不存存在在nn2lim )2lim:(nn记记文字：文字：图形：图形：11一个确定的常数一个确定的常数A,

4、nx设有数列设有数列增大时的极限，增大时的极限，收敛收敛于于A.nx或称数列或称数列 记为记为,limAxnn 或或).(nAxn则称常数则称常数A为数列为数列nx当当n无限无限若当若当n无限增大时无限增大时,或称数列或称数列发散发散.函数极限函数极限无限增大时，无限增大时，若当若当n无限趋近于无限趋近于nx数数，不不趋趋近近于于一一个个确确定定的的常常nxnx则称数列则称数列 的极限不存在，的极限不存在，4.数列极限的定性描述数列极限的定性描述12.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnn,511,411,311,211,11 问题问题当当 无限增大无限增大时时,是否是

5、否无限接近无限接近于某一于某一确定的数值确定的数值?nxn当当n无限增大无限增大时时,nx无限接近无限接近于于1.数列的极限数列的极限5.数列极限的概念数列极限的概念131 nx1)1(1(1 nn1 nx可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,则要看则要看1 nx“无限接近无限接近”|.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnnn1 只要只要n充分大充分大小到什么要求小到什么要求.数列的极限数列的极限当当n无限增大无限增大时时,无限接近无限接近于于1.nx14,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,100

6、0时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有,0 任任给给定定,)1(时时只只要要 n.1成成立立有有 nxnxn1|1|数列的极限数列的极限N15,0 恒有恒有 axn 收敛收敛于于a.nx或称数列或称数列 记为记为,limaxnn 或或).(naxn那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的的极限极限(limit),如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列就说数列发散发散(diverge).数列的极限数列的极限,N,时时当当Nn N 定义定义16x1x2x2 Nx1 Nx3x数列极限的几何意义数列极限的几何意义

7、2 a aa,时时当当Nn .落落在在其其外外只只有有有有限限个个数列的极限数列的极限 axan)(Nn ),(aUxn axn即即,),(内内都都落落在在所所有有的的点点 aaxn)(个个至多只有至多只有N17在在无穷远点无穷远点的极限的极限在在一点一点的极限的极限二、函数的极限二、函数的极限函数的极限函数的极限 x x x 0 xx 0 xx0 xx 181.定性定义定性定义:记作：记作：.)(lim0Axfxx 0)(xxxfA当当是是函函数数则则称称个常数个常数A，时的极限时的极限.函数函数f(x)无限趋近无限趋近于一于一函数极限函数极限0 xx 若当若当时，时，).)(lim(Axf

8、x 或或)(x或或)(x或或若在若在x的某种趋向下的某种趋向下,并不无限接近一个常数并不无限接近一个常数则称则称:)(xf在在x的该种趋向下的该种趋向下极限不存在极限不存在.)(xf19例例:时，时，当当 x记记设设函数极限函数极限xy1，01 xy.01lim xx时时，当当1x，11 xy.11lim1 xx记记时时，当当0 x，xy1极限不存在极限不存在记记不不存存在在；xx1lim0或或.1lim0 xxxyOxy1 120(1)一个常数，一个常数，y函数极限函数极限讨论函数极限，讨论函数极限，须先明确自变量变化趋势须先明确自变量变化趋势.(2)极限存在，极限存在，若否，若否，不存在不

9、存在.时，时，0 xx(3)，0 xx 的空心邻域的空心邻域即即0 xx Axfxx)(lim0.)(0是是否否有有定定义义无无关关在在与与xxf注注21解解 显然有显然有,2arctanlim xx,2arctanlim xxxxarctanlim 故故不存在不存在.例例 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在?xxarctanlim Axfx )(lim函数的极限函数的极限且且Axfx )(limAxfx)(lim22例例:0,10,1)(2xxxxxf设设)(lim0 xfx 函数的极限函数的极限xyO1xy 112 xy处处的的极极限限在在分分段段点点讨讨论论0)(xxf)1(lim0 x

10、x .1)(lim0 xfx)1(lim20 xx.1.1)(lim0 xfx解解:)(lim0 xfx )(lim0 xfx123,00时时侧侧无无限限趋趋近近左左从从当当xxx函数的极限函数的极限.)(Axf处的处的在在为函数为函数则称则称0)(xxfA左极限左极限记作：记作：Axfxx )(lim0Axf )0(0或或(右右)极极限限.Axfxx )(lim0Axf )0(0或或2.左、右极限左、右极限(单侧极限单侧极限)1)定义定义(右右)24函数的极限函数的极限Axfxx)(lim0A此性质常用于判断此性质常用于判断分段函数分段函数当当x趋近于趋近于分段分段点点时的极限时的极限.2)

11、定理定理充要条件是充要条件是:)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx25(1)试证函数试证函数,1sin1)(xxxxxf.,1无极限无极限时时当当 x函数的极限函数的极限(2)试求函数试求函数 1,1.10 10,0,1)(2xxxxxxxxf处处的的极极限限和和在在26函数的极限函数的极限).(lim ,0,0,0,)()3(02xfxxxxxxfx 求求设设函函数数).(lim ,0,0,0,)()4(01xfxxexfxx 求求设设函函数数27(1)试证函数试证函数,1sin1)(xxxxxf)(lim1xfx xx 1lim.,1无极限无极限时时当当 x证证:)(lim1xf

12、x xxsinlim1 1 1sin 函数的极限函数的极限)(lim)(lim11xfxfxx .)(lim1不不存存在在xfx所以所以因为因为28函数的极限函数的极限(2)试求函数试求函数 1,1.10 10,0,1)(2xxxxxxxxf处处的的极极限限和和在在解解 (1)因为因为.1)1(lim)(lim00 xxfxx.0lim)(lim200 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx .)(lim0不存在不存在xfx所以所以29函数的极限函数的极限(2)因为因为,1lim)(lim211 xxfxx.11lim)(lim11 xxxf.1)(lim1 xfx )(lim1xf

13、x )(lim1xfx1所以所以30函数的极限函数的极限).(lim ,0,0,0,)()3(02xfxxxxxxfx 求求设设函函数数解解:)(lim0 xfxxxxx 20lim1)1(lim0 xx31函数的极限函数的极限).(lim ,0,0,0,)()4(01xfxxexfxx 求求设设函函数数解解:)(lim0 xfxxxe10lim xxe10lim0 xxe10lim 不不存存在在)(lim0 xfx321.无穷小无穷小(极限为零的变量极限为零的变量)的无穷小量的无穷小量,简称简称无穷小无穷小.(一一)定义定义无穷小与无穷大无穷小与无穷大，若若0)(lim)(0 xfxxx时时

14、是是当当则则称称)()(0 xxxxf(绝对值无限增大的变量绝对值无限增大的变量)2.无穷大无穷大 )(lim)(0 xfxxx记记,)(0时时若若当当 xxx,)(无无限限增增大大xf的无穷大量的无穷大量,简称简称无穷大无穷大.时时是是当当则则称称)()(0 xxxxf三、三、无穷小与无穷大无穷小与无穷大33(1)非无穷大，非无穷大，无穷小与无穷大无穷小与无穷大3.说明说明 例：例：无穷小量或无穷大量都是函数无穷小量或无穷大量都是函数(变量变量)(2)与与x的变化趋势有关的变化趋势有关是是)(xf,1)(xxf 设设,0时时当当 x无穷大量无穷大量是是)(xf,时时当当 x无穷小量无穷小量非

15、无穷小非无穷小.)(xf,1时时当当 x 零是可以作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数.34 无穷大量的倒数是无穷小量无穷大量的倒数是无穷小量(二二)性质性质无穷小与无穷大无穷小与无穷大例：例：非零无穷小量的倒数是无穷大量非零无穷小量的倒数是无穷大量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量2.3.1.,01lim xx,1lim0 xx xxxsin1lim1sin x又又为为无无穷穷小小量量，故故xxsin10sin1lim xxx是是无无穷穷小小量量因因x1)(x是是有有界界量量，即即xsin354.证：证：Axf)(lim或或无穷小与无穷大无穷小与

16、无穷大.0)(lim x其中其中),()(xAxf Axf)(lim).()(xAxf ,)(limAxf 设设.0)(lim Axf故故).()(xAxf 故故.0)(lim x 其其中中),()(xAxf 设设)(limAxf 故故)(limx .0 Axf)(lim故故36 有限个无穷小量的代数和及乘积仍为无穷小有限个无穷小量的代数和及乘积仍为无穷小无穷小与无穷大无穷小与无穷大(负负)两个正两个正 无穷大量之和仍为正无穷大量之和仍为正 无穷大无穷大无穷大与有界量的代数和仍为无穷大无穷大与有界量的代数和仍为无穷大6.7.5.)22(lim2 xxx(负负)例：例：2)2(lim xxx 两

17、个无穷大量之积仍为无穷大两个无穷大量之积仍为无穷大8.)1(limxxx 37定理定理1则则设设,)(lim,)(limBxgAxf ;)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf .0,)()(lim)3(BBAxgxf其中其中泛指任一种极限泛指任一种极限)(limxf一、极限运算法则一、极限运算法则极限运算法则极限运算法则四、四、极限运算法则极限运算法则38(1)参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数;(3)商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算不要随便参加运算,(2)它们的极限都存在它们的极限都存在;极限运算法则极限运算法则

18、注注39证证:,)(limAxf,)(Axf;)()(limBAxgxf .)(Bxg无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系.)(limBxg 极限运算法则极限运算法则.0,0 其中其中 0由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得BA)(lim)(limxgxf )()(limxgxf则则设设,)(lim,)(limBxgAxf )()(xgxf BA BA )()(xgxf BA 40 nxf)(lim)(lim)(limxfCxCf.是正整数是正整数nnxf)(lim极限运算法则极限运算法则BAxgxf )()(lim)2(C为常数为常数)推论推论 1常数可以提到极限符号前常数可以提到

19、极限符号前推论推论 2 若若 lim f(x)=A，且，且 n为正整数，则为正整数，则特殊地，有特殊地，有mmxxmxxxxx0)lim(lim00 （证明略）（证明略）41极限运算法则极限运算法则)(lim0 xfxx)()(lim0 xgxfxx)(lim0 xgxx)(lim)()(lim00 xfxgxfxxxx若若与与均存在，则均存在，则A一定存在；一定存在；D.不一定存在不一定存在 B.一定不存在；一定不存在；C.存在且等于存在且等于42解解:例例1二、求极限方法举例二、求极限方法举例极限运算法则极限运算法则)78(lim21 xxx求求)78(lim21 xxx7lim8liml

20、im1121 xxxxx271812 43解解:)35(lim22 xxx32522 03 4 34223 例例23542lim232 xxxx求求 3542lim232xxxx极限运算法则极限运算法则44 小小 结结,)()1(110nnnaxaxaxf 设设nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf,0)(,)()()()2(0 xQxQxPxf且且设设)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf 则有则有则有则有极限运算法则极限运算法则代入法代入法45分析分析

21、:例例5321lim3 xxx求求,3时时x)00(型型 根式转移法根式转移法 方方 法法极限运算法则极限运算法则分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零.分子有理化分子有理化321lim3 xxx)21)(3()21)(21(lim3 xxxxx)21)(3()3(lim3 xxxx)21(1lim3 xx.41 解解:46例例653123lim32 xxxxx求求分析分析:,时时 x)(型型 3x.010 无穷小因子分出法无穷小因子分出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大.方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.32325311

22、23limxxxxxx 53123lim32 xxxxx先将分子、分母同除以分母中先将分子、分母同除以分母中x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法 以分出以分出再求极限再求极限.x求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,极限运算法则极限运算法则解解:47),0,0(00为非负整数为非负整数nmba nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim 小小 结结 mn 00bamn 0mn 极限运算法则极限运算法则 523)12()23()12(limxxxx练习练习4948例例751lim22 xxxxeee求求解解:,时时 x)(型型 无穷小因子分出法无穷小因

23、子分出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大.极限运算法则极限运算法则分析分析:51lim22 xxxxeeexxxxxeeee2225111lim 1 49 1211lim21xxx求求解解:121lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx21 极限运算法则极限运算法则例例8)(型型 1211lim21xxx 消去零因子法消去零因子法11lim21 xxx50例例9)13(lim22 xxxx求求解解:)(型型 1313lim22 xxxxx2113113limxxxx 23“根式转移根式转移”法法化为化为 型型 分子有理化分子有理化)(型型 极限运算法则极限运算法则)

24、13(lim22 xxxx无穷小因子分出法无穷小因子分出法51例例10 )12)(12(1531311limnnn求求解解:21 先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,再求极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式=121121513131121limnnn 121121limnn不能用运算法则不能用运算法则.方方 法法极限运算法则极限运算法则分析分析:52例例11 22221limnnnnn求求解解:21 原式原式=22)1(limnnnn 极限运算法则极限运算法则53极限求法极限求法:对某些不能直接利用四则运算法则的极限对某些不能直接利用四则运

25、算法则的极限,有时可采用下述方法有时可采用下述方法:(1)利用利用无穷小与无穷大互为倒数的关系无穷小与无穷大互为倒数的关系;(2)利用利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质;(4)无穷小因子分出法无穷小因子分出法;(3)消去零因子法消去零因子法;极限运算法则极限运算法则(5)根式转移法根式转移法;(6)利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.54 为了对求极限的方法有全面的了解为了对求极限的方法有全面的了解,指出指出(7)利用两边夹定理利用两边夹定理;(8)利用连续函数的性质利用连续函数的性质;(9)利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换;(10)利用未定式求极限法利用未定式求极限法(洛必达法则洛必达法则).极限运算法则极限运算法则还有下述方法还有下述方法:55hxhxh330)(lim.1 )1)(2(lim.3xxxx ),(a则则极限运算法则极限运算法则练习练习 2221231lim.2nnnnn,21lim.41 xbaxx)(b),(a则则,1)1(lim.52 baxxxx)(b