三角函数的最值与综合应用课件.ppt

1、【知识再现【知识再现】1 1几种常见的函数最值的求法几种常见的函数最值的求法(1)型利用三角函型利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论。数的值域，须注意对字母的讨论。(2)型型 引进辅助角化成引进辅助角化成y=再利用有界性。再利用有界性。(3)型型 配方后求二次函配方后求二次函数的最值，应注意数的最值，应注意 的约束。的约束。(4)型，反解出型，反解出 ，化归为，化归为 解决解决sin(cos)yaxbaxb或sincosyaxbx2sinsinyaxbxcsin1x sinsinaxbycxd22sin)()abxsin x sin1x(5)型型,化归为化归为y=型解或用数形结合法（常用到直

2、线斜率的几型解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）何意义）(6)型型,常用到换元法令常用到换元法令 .(7)利单调性或导数利单调性或导数(8)均值不等式法均值不等式法sincosaxbycxd(sincos)sincosyaxxbxxcsincosAxBxsincos,2txx t【考点释疑【考点释疑】求三角函数最值的常用方法有：求三角函数最值的常用方法有：配配方法（主要利用二次函数理论及三角函数方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；的有界性）；化为一个角的三角函数化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；性）；数形结合法

3、（常用到直线的斜率数形结合法（常用到直线的斜率关系）；关系）；换元法，将三角问题转化为代换元法，将三角问题转化为代数问题；数问题；基本不等式法等。基本不等式法等。【方法点拨【方法点拨】1三角函数的最值都是在给定区间上取得的，三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别注意题设中所给出的区间。因而特别注意题设中所给出的区间。(1)求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性。数的有界性。(2)含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和含参数函数的最值问题，要注意参数的作用

4、和影响。影响。2注意题中的隐含条件。注意题中的隐含条件。3由于三角函数和代数、几何知识联系密切由于三角函数和代数、几何知识联系密切,它它又是研究其他各类知识的重要工具又是研究其他各类知识的重要工具,因此应重视因此应重视对知识理解的准确性对知识理解的准确性,加强对三角知识工具性的加强对三角知识工具性的认识。认识。类型类型1 1 三角函数的最值三角函数的最值【例【例1】已知已知 试求试求 的最小值。的最小值。【思路分析【思路分析】本题注意隐含条件对结果的制约作本题注意隐含条件对结果的制约作用。用。【解【解】22,3sin2sin2sin,64aa22,3sin2sin2sin,64aa221sin

5、sin2a,642121sin,0sin,22222222202sin1.2sin3sin2sin,03sin2sin1,3sin2sin0,3sin2sin10,21sin1sin033aaaaaaaaaa 解得或即-222221sinsin21111(3sin2sin)sin(sin)2224yaaaaa当当 时，时，y是增函数，是增函数，当当 时，时，y是减函数，是减函数，综上综上,函数函数 的最小值为的最小值为22211(3sin2sin)sin2211(sin)24aaaa2sin,13a211(sin)24amin22sin,39ay 当时1sin,03a minsin0,0ay

6、当时221sinsin2ya29规律总结：规律总结：在三角运算中在三角运算中,有关三角函数所在象限符号有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论的选取常需要进行讨论,三角函数与二次函数综三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也需要讨论合问题以及三角函数最值等问题也需要讨论.变式训练变式训练1 11:1:求函数求函数 的最小值。的最小值。()(sin)(cos)f xx ax a 2min2min2min112,2;21222,(1);21322.2ayaaayaayaa 当时当时时时,答案:变式训练变式训练1 12 2：求函数求函数 的值域的值域2sin(1 sin),(0,)3c

7、os24sin2xxyxxx10,8y答答案案:类型类型2 2 三角函数的实际应用三角函数的实际应用【例【例2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度港口水的深度y（米）是时间（米）是时间t(0t24,单位：时单位：时)的函数，记作下面是该港口在某季节每天水深的函数，记作下面是该港口在某季节每天水深的数据：的数据：t(时时)03691215182124y(米米)10.013.09.97.01

8、0.0 13.0 10.17.010.0 经长期观察，经长期观察，曲线可以近似地看曲线可以近似地看作函数作函数 的图象的图象.（1）根据以上数据，求出函数）根据以上数据，求出函数 的近似的近似表达式；表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为距离为5米或米或5米以上时认为是安全的（船舶停米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不踫海底即可）某船吃水深度靠时，船底只需不踫海底即可）某船吃水深度（船度离水面的距离）为（船度离水面的距离）为6.5米，如果该船想在米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留同一天内安全进出港，问它至多能

9、在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？多长时间（忽略进出港所需的时间）？()yf tsinyAtk()yf t【解【解】(1)由数据知函数由数据知函数 的周期的周期 T=12，振幅，振幅(2)由题意由题意,该船进出港时该船进出港时,水深应不小于水深应不小于5+6.5=11.5米米 在同一天内，取在同一天内，取k=0或或 该船最早能在凌晨该船最早能在凌晨1时进港，下午时进港，下午17时出港，在时出港，在港口最多停留港口最多停留16小时。小时。()yf t3,10,3sin10.6Akyt13sin1011.5,sin,26626652(),6ttktkkZ52(),121125().6kk

10、ZktkkZ 1151317tt 或变式训练变式训练21：如图所示，有块正方形的如图所示，有块正方形的 钢板钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原，其面积是原正方形钢板面积的三分之二。问应按怎样的角正方形钢板面积的三分之二。问应按怎样的角度度x来截来截？51212x或答答案案:双基训练双基训练 1(2005北京春招北京春招)如果函数如果函数 的最小正周期是的最小正周期是T，且当，且当x=2时取时取得最大值，那么（得最大值，那么（）ABCD()sin()(02)f xx()sin()(02)f xx

11、2,2T1,T2,T1,2TA 2当当 时时,函数函数 的取值范围为（的取值范围为（）A最大值是最大值是1，最小值是，最小值是-1B最大值是最大值是1，最小值是，最小值是C最大值是最大值是2，最小值是，最小值是-2D最小值是最小值是2，最小值是，最小值是-13（2006湖北模拟）函数湖北模拟）函数 的最大值是的最大值是 .22x()sin3cosf xxx1212sin(2)5sin(2)63yxx12sin(2)5sin(2)63yxxD 13 4（2005浙江）已知浙江）已知k-4,则函数则函数 的最小值是（的最小值是（）A1 B-1C2k+1D-2k+15（2005辽宁辽宁11）已知函数

12、）已知函数 则则f(x)的值域是（的值域是（）ABCD cos2(cos1)yxkx11()(sincos)sincos,22f xxxxx 1,12,122 2,22 1,2 A C 6（2006江西，江西，11）在）在 中，中，O为坐标原为坐标原点，点，则当则当 的面积达到最大值时，的面积达到最大值时，=（）ABCDOAB(1,cos),(sin,1),0,2ABOAB6432D 技能训练技能训练7(2005重庆理重庆理)若函数若函数 的最大值为的最大值为2,试确定常数试确定常数a的值的值.1cos2()sincos()224sin()2xxxf xaxx1cos2()sincos()22

13、4sin()2xxxf xaxx15a 答答案案:8如图，墙上挂着一张画如图，墙上挂着一张画MN，它的下缘，它的下缘N在观在观察者眼睛察者眼睛A上方上方a米处，上缘米处，上缘M在观察者眼睛在观察者眼睛A上方上方b米处，问观察者离墙多远的地方，才能使米处，问观察者离墙多远的地方，才能使视角视角 最大？最大？abm答答案案:9如图为一个观览车示意图如图为一个观览车示意图,该观览车半径为该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动秒转动一圈一圈,图中图中OA与地面垂直与地面垂直,以以 OA为始边为始边,逆时针转动角到逆时针转动角到 OB,设设B点与地面距离

14、为点与地面距离为h.(1)求求h与与 间关系的函数解析式；间关系的函数解析式；(2)设从设从OA开始转动开始转动,经过经过t秒到达秒到达OB,求求h与与t间关间关系的函数解析式；系的函数解析式；5.64.8sin()2h答答案案:4.8sin()5.6,302htt答答案案:（3 3）填写下列表格：）填写下列表格：答案见下表答案见下表:综合预测综合预测 10已知函数已知函数 在一个周期内的简图如图所示，在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为则函数的解析式为 ，方程方程 的实根个数为的实根个数为 。()sin()(0,0)2f xAxA()sin()(0,0)2f xAxA()lg0f xx()2sin(2),636xf xx63