(塑性成形力学)2变形力学方程课件.ppt

1、(塑性成形力学)2变形力学方程教学目的和要求教学目的和要求掌握变形力学主要方程：静力平衡方程（包括静力掌握变形力学主要方程：静力平衡方程（包括静力平衡方程和应力边界条件）、平衡方程和应力边界条件）、几何方程几何方程（包括应变与位（包括应变与位移的关系方程与移的关系方程与协调方程协调方程）、物理方程（包括屈服准则）、物理方程（包括屈服准则及应力与应变的关系方程），以及相关的内容，为进行及应力与应变的关系方程），以及相关的内容，为进行力能参数和变形参数的工程计算打下基础。力能参数和变形参数的工程计算打下基础。内容2.1力平衡微分方程力平衡微分方程2.2应力边界条件及接触摩擦应力边界条件及接触摩擦2

2、.3*变形协调方程变形协调方程2.4屈服准则屈服准则2.5应力与应变的关系方程应力与应变的关系方程2.6等效应力和等效应变等效应力和等效应变(自学自学)2.7变形抗力模型变形抗力模型(自学自学)2.8平面变形和轴对称问题的变形力学方程平面变形和轴对称问题的变形力学方程2.1力平衡微分方程2.1.1直角坐标系的力平衡微分方程直角坐标系的力平衡微分方程2.1.2极坐标系的力平衡微分方程极坐标系的力平衡微分方程2.1.3圆柱面坐标系的力平衡微分方程圆柱面坐标系的力平衡微分方程2.1.4球面坐标系的力平衡微分方程球面坐标系的力平衡微分方程n变形体内各点间的应力状态是不同的，但其变形体内各点间的应力状态

3、是不同的，但其变化变化也不是任意的，也不是任意的，各点的应力分量必须满足各点的应力分量必须满足静力静力平衡关系平衡关系力平衡方程。力平衡方程。n力平衡方程是研究和确定变形体内应力分布（分布规律）的重力平衡方程是研究和确定变形体内应力分布（分布规律）的重要依据。要依据。n力平衡方程：力平衡方程：直角坐标系直角坐标系、极坐标第、圆柱面坐标系、球面坐、极坐标第、圆柱面坐标系、球面坐标系标系n体积力（惯性力和重力）一般可忽略。体积力（惯性力和重力）一般可忽略。2.1.1直角坐标系的力平衡微分方程公式含义：公式含义：每一应力每一应力增量增量可以用其对某一坐标轴的偏微分表示，该坐标轴是指向该应力平面的移动

4、方可以用其对某一坐标轴的偏微分表示，该坐标轴是指向该应力平面的移动方向。向。直角坐标系适用于矩形件压缩等直角坐标系适用于矩形件压缩等。式式(2.3)x轴方向静力平衡，轴方向静力平衡，X=0:力平衡（微分）方程：力平衡（微分）方程：式式(2.4)力平衡方程是以力平衡方程是以(静静)力力平衡为基础，反映平衡为基础，反映变形体内无限相邻点之间应力状态各分变形体内无限相邻点之间应力状态各分量随坐标变化的关系方程。它是求解变量随坐标变化的关系方程。它是求解变形体内应力分布规律的重要方程之一；形体内应力分布规律的重要方程之一；既适用于弹性问题，也适用于塑性问题。既适用于弹性问题，也适用于塑性问题。剪应力互

5、等定理：剪应力互等定理：xy=yxyz=zyzx=xz式式(2.7)表述表述(P43)：两个互相垂直的微平面上的剪应力，其垂直于该二平面交线的两个互相垂直的微平面上的剪应力，其垂直于该二平面交线的分量大小相等地，而方向或均指向此交线，或均背离此交线。分量大小相等地，而方向或均指向此交线，或均背离此交线。2.1.2极坐标系的力平衡微分方程n在平面问题中，变形体是圆形、环形、扇形和楔形，宜用极坐标。在平面问题中，变形体是圆形、环形、扇形和楔形，宜用极坐标。接近原点时，该公式不适用。接近原点时，该公式不适用。式式(2.8)2.1.3圆柱面坐标系的力平衡微分方程n轴对称应力状态的变形体（圆柱体的压缩、

6、挤压和拉拔等）宜用轴对称应力状态的变形体（圆柱体的压缩、挤压和拉拔等）宜用圆柱面坐标系。圆柱面坐标系。式式(2.9)2.1.4球面坐标系的力平衡微分方程n在研究棒材挤压和拉拔等某些变形过程时，可采用球面坐标系。在研究棒材挤压和拉拔等某些变形过程时，可采用球面坐标系。2.2应力边界条件及接触摩擦2.2.3应力边界条件的种类应力边界条件的种类2.2.1应力边界条件方程应力边界条件方程2.2.2金属塑性成形中的接触摩擦金属塑性成形中的接触摩擦2.2.3应力边界条件的种类n应力边界条件的种类：应力边界条件的种类：n自由表面：无自由表面：无n、fn工具与工件接触表面：有工具与工件接触表面：有n、fn变形

7、区与非变形区的分界面：有变形区与非变形区的分界面：有n、f、其他外力、其他外力1.边界条件的边界条件的处理处理很重要。很重要。2.2.1应力边界条件方程应力边界条件方程应力边界条件方程式式(1.2)式式(2.10)n应力边界条件方程：应力边界条件方程：表达了过外表面上任意点，单位表面力与过该点的三个坐标表达了过外表面上任意点，单位表面力与过该点的三个坐标面上的应力分量之间的关系。面上的应力分量之间的关系。n应力边界条件方程既适用于弹性问题，也适用于塑性问题。应力边界条件方程既适用于弹性问题，也适用于塑性问题。2.2.2金属塑性成形中的接触摩擦库仑（干摩擦）定律：库仑（干摩擦）定律：T=fP f

8、=fnn在常在常f区，影响区，影响f的因素：的因素：n工具与成形材料的性质及表面状态；工具与成形材料的性质及表面状态；n工具与成形材料间的相对运动速度；工具与成形材料间的相对运动速度；n温度；（温度；（Cu、Fe特殊）特殊）n润滑。润滑。nf=mkk：屈服剪应力：屈服剪应力(剪切屈服极限剪切屈服极限)m：摩擦因子，：摩擦因子，m=01(用实验确定用实验确定)很少出现很少出现式式(2.11)式式(2.12)2.4屈服准则2.4.1屈服准则的含义屈服准则的含义2.4.2屈雷斯卡屈服准则（最大剪应力理论）屈雷斯卡屈服准则（最大剪应力理论）2.4.3密赛斯屈服准则（变形能定值理论）密赛斯屈服准则（变形

9、能定值理论）2.4.4屈服准则的几何解释屈服准则的几何解释2.4.5屈服准则的实验验证屈服准则的实验验证2.4.1屈服准则的含义n力学性能力学性能(内因内因)+应力状态应力状态(外因外因)屈服发生屈服发生n对同一种金属对同一种金属(内因确定时内因确定时)，在相同变形条件，在相同变形条件(变形温度等变形温度等)下，下，屈服只取决于应力状态。屈服只取决于应力状态。n塑性理论的重要任务之一是找出发生屈服的条件，确定变形体受塑性理论的重要任务之一是找出发生屈服的条件，确定变形体受外力后产生的应力分量与材料的物理常数间的一定关系，该关系外力后产生的应力分量与材料的物理常数间的一定关系，该关系标志塑性状态

10、的存在。标志塑性状态的存在。n屈服准则（塑性条件）：变形体受外力后产生的应力分量与材料屈服准则（塑性条件）：变形体受外力后产生的应力分量与材料物理常数间的关系。物理常数间的关系。n用主应力表示应力状态最简单用主应力表示应力状态最简单n简单应力状态：单向拉伸时，简单应力状态：单向拉伸时，1=s，2=3=0，屈服屈服 复杂应力状态时，复杂应力状态时，1、2、3在何种在何种组合组合下下 屈服屈服？n f(1，2，3)=C (C：材料常数：材料常数)m不影响塑性变形不影响塑性变形(与屈服无关与屈服无关)f(1，2，3)=C f(I1，I2，I3)=C f(I2，I3)=C I1=0(主应力状态主应力状

11、态)最简单：最简单：f(I2，I3)=I2=C+2.4.2屈雷斯卡屈服准则（最大剪应力理论）最大剪应力理论：最大剪应力理论：假定对同一金属在同样的变形条件下，无论是简单应力状态还假定对同一金属在同样的变形条件下，无论是简单应力状态还是复杂应力状态，只要最大剪应力达到极限值就发生屈服，即：是复杂应力状态，只要最大剪应力达到极限值就发生屈服，即：式式(2.15)n屈雷斯卡屈雷斯卡(Tresca)屈服准则屈服准则:单向拉伸单向拉伸 1-3=s 薄壁管扭转薄壁管扭转 1-3=2k k=s/2Tresca屈服准则屈服准则Tresca屈服准则计算较简单，有时比较符合实际，故较常用。屈服准则计算较简单，有时

12、比较符合实际，故较常用。但未反映但未反映2。莫尔圆莫尔圆：单辉祖，：单辉祖，“材料力材料力学教程学教程”，国防工业出版社，国防工业出版社，1982 P210式式(2.15)2.4.3密赛斯屈服准则（变形能定值理论）n密赛斯（密赛斯（Mises）屈服准则）屈服准则1、屈服函数：屈服函数：f(ij)=0 f(ij)I2C=02、密赛斯屈服准则、密赛斯屈服准则:3、按密赛斯屈服准则，、按密赛斯屈服准则，单向拉伸时：单向拉伸时：k=s/2 纯剪时：纯剪时：最简单：最简单：f(I2，I3)=I2=C 式式(2.20)式式(2.21)一般应力状态一般应力状态 主应力状态主应力状态 s ss s0.5770

13、.577 3 3k kTresca屈服准则：屈服准则：k=s/2I2=s 2/3+式式(1.20)(2.18)式式(2.19)4、密赛斯屈服准则物理和力学解释：密赛斯屈服准则物理和力学解释：Mises屈服准则更符合实际。屈服准则更符合实际。A、物理（变形能）解释、物理（变形能）解释发生塑性变形时，单位体积形状变化能发生塑性变形时，单位体积形状变化能(Wf)达到极值：达到极值：密赛斯屈服准则也称为变形能定值理论密赛斯屈服准则也称为变形能定值理论B、力学解释、力学解释3 32 2s s8s sf f3E3E1 1W W式式(1.16)n密赛斯屈服准则简化形式密赛斯屈服准则简化形式洛德洛德(Lode

14、)参数：描述应力偏差量的一个参量。参数：描述应力偏差量的一个参量。2231312d13d2132213231231231231图图2.132n密赛斯屈服准则简化形式密赛斯屈服准则简化形式13ss2d23232d式式(2.22)s312231312d屈雷斯卡屈服准则：屈雷斯卡屈服准则：1-3=sn密赛斯屈服准则简化形式密赛斯屈服准则简化形式121ds313223121d0ds3231轴对称应力状态轴对称应力状态 平面变形状态平面变形状态 其它应力状态其它应力状态155.111155.12.4.4屈服准则的几何解释式式(2.23)式式(2.24)22132322212s式式(2.21)（oN为球形

15、应力分量的矢量和）为球形应力分量的矢量和）（PN为偏差应力分量的矢量和）为偏差应力分量的矢量和）n屈服轨迹（塑性表面）：屈服轨迹（塑性表面）：Mises屈服准则在屈服准则在主主应力空间是一个无限长的应力空间是一个无限长的圆柱面圆柱面，其，其轴线轴线与坐标成等倾角，与坐标成等倾角，半径半径为为 或或n屈服曲线：塑性圆柱面与屈服曲线：塑性圆柱面与平面的交线。平面的交线。n平面：主应力空间中，过原点并与三个主轴等倾的平面。平面：主应力空间中，过原点并与三个主轴等倾的平面。n平面方程：平面方程：123=0 (平面上平均平面上平均正正应力为零。应力为零。)n直线：主应力空间中，过原点并与三个主轴等倾的直

16、线。直线：主应力空间中，过原点并与三个主轴等倾的直线。n直线方程：直线方程：1=2=3=m (直线上直线上主主应力偏张量为零。应力偏张量为零。)kPNs232s32k2若若P点的应力状态满足点的应力状态满足Mises屈服准则，有：屈服准则，有：n密赛斯与屈雷斯卡屈服准则在密赛斯与屈雷斯卡屈服准则在平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线平面平面圆柱面或平面上的屈服曲线只存在六分之一圆柱面或平面上的屈服曲线只存在六分之一(AB段段)123若：若：123o30o(c)Mises圆圆Tresca六边形六边形AB2.4.5屈服准则的实验验证n密赛斯屈服准则更符合实际密赛斯屈服准则更符合实际2.5应力与应变的关

17、系方程（物理方程）（物理方程）2.5.1弹性应变时的应力和应变关系弹性应变时的应力和应变关系2.5.2塑性应变时的应力与应变关系塑性应变时的应力与应变关系2.5.1弹性应变时的应力和应变关系由广义虎由广义虎克定律克定律式式(2.33)一般应力表达式一般应力表达式用偏差应力、球应力表达用偏差应力、球应力表达n在弹性变形中包括在弹性变形中包括改变形状改变形状的变形和的变形和改变体积改变体积的变形。前者与的变形。前者与偏偏差应力分量差应力分量成正比，后者与成正比，后者与球应力分量球应力分量成正比。成正比。（与书上的表述方式不同。）（与书上的表述方式不同。）张量表达式张量表达式弹性变形方程小结：弹性变

18、形方程小结：n力平衡方程：方程数力平衡方程：方程数3个，未知数个，未知数6个个n几何方程（应变与位移）：方程数几何方程（应变与位移）：方程数6个，未知数个，未知数9个个n物理方程（应力与应变）：方程数物理方程（应力与应变）：方程数6物理方程物理方程式式(2.31)力平衡方程力平衡方程式式(2.4)几何方程几何方程式式(1.27)边界条件边界条件2.5.2塑性应变时的应力与应变关系2.5.2.1增量理论增量理论以应变增量为基础以应变增量为基础2.5.5.2全量理论全量理论以应变全量为基础以应变全量为基础塑性变形时应力与应变不存在线性关系。塑性变形时应力与应变不存在线性关系。2.5.2.1增量理论

19、n增量理论：每一瞬时的应变增量理论：每一瞬时的应变增量增量与当时的应力状态有关。与当时的应力状态有关。(应变增量应变增量与与偏差应力分量偏差应力分量之间成正比的关系。之间成正比的关系。)n塑性流动理论：其适用于大变形场合。塑性流动理论：其适用于大变形场合。n应变增量：每一瞬时各应应变增量：每一瞬时各应变变分量的无限小的变化量。分量的无限小的变化量。增量理论适用性广。增量理论适用性广。(适用于简单加载和复杂加载适用于简单加载和复杂加载)nL.普朗特耳普朗特耳A.路斯理论路斯理论1.列维密塞斯方程列维密塞斯方程L.普朗特耳普朗特耳A.路斯理论路斯理论n普朗特耳路斯方程：普朗特耳路斯方程：假设：假设

20、：A）总应变增量包括弹性应变增量和塑性应变增量两部分；）总应变增量包括弹性应变增量和塑性应变增量两部分；B）在加载过程任一瞬间，）在加载过程任一瞬间，塑性塑性应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量成正比；成正比；式式(2.34)弹性变形：弹性变形：elastic deformation塑性变形：塑性变形：plastic deformation式式(2.36)应当指出，靠近弹性区的塑性变形是很小的，不能忽视弹性应应当指出，靠近弹性区的塑性变形是很小的，不能忽视弹性应变，此时应采用普朗特耳路斯方程。然而在解决塑性变形相当大变，此时应采用普朗特耳路斯方程。然

21、而在解决塑性变形相当大的塑性加工问题时，常常可以忽略弹性应变。这种情况下的应力和的塑性加工问题时，常常可以忽略弹性应变。这种情况下的应力和应变关系是列维密赛斯提出的：应变关系是列维密赛斯提出的：列维密赛斯方程。列维密赛斯方程。列维密塞斯方程列维密塞斯方程n列维密塞斯流动法则：列维密塞斯流动法则：假设：假设：A）总应变增量）总应变增量=塑性应变增量塑性应变增量 忽略弹性变形忽略弹性变形 B）在加载过程任一瞬间，塑性应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量）在加载过程任一瞬间，塑性应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量成正比；成正比；增量理论适用于简单加载和增量理论适用于简单加载和复杂加载，适用

22、性广。复杂加载，适用性广。式式(2.37)式式(2.39)2.5.5.2全量理论（汉基小塑性变形理论）n全量理论：以应变全量为基础全量理论：以应变全量为基础 (与弹性理论类似与弹性理论类似)n适用范围：适用范围：简单加载条件简单加载条件、微小变形、微小变形n假定：假定：偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量及剪应力分量成正比。偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量及剪应力分量成正比。n大塑性变形：宜用增量理论大塑性变形：宜用增量理论大塑性变形时：大塑性变形时：（简单加载条件下）（简单加载条件下）用主应力和全应变计用主应力和全应变计算，比较方便。算，比较方便。塑性变形方程小结：塑性变形方程小结：n力

23、平衡方程：方程数力平衡方程：方程数3个，未知数个，未知数6个个n几何方程（应变与位移）：方程数几何方程（应变与位移）：方程数6个，未知数个，未知数9个个n本构方程（应力与应变）：方程数本构方程（应力与应变）：方程数1个个（6个关系式）个关系式）（列维密塞斯流动法则）（列维密塞斯流动法则）屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚塑性模型）等屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚塑性模型）等式式(2.37)力平衡方程力平衡方程式式(2.4)几何方程几何方程式式(1.27)物理方程物理方程2.8平面变形和轴对称问题的变形力学方程2.8.1平面变形问题平面变形问题2.8.2轴对称问题轴对称问题2

24、.8.1平面变形问题n平面变形平面变形(定义定义)：当物体内各点的变形平行于某一固定平面：当物体内各点的变形平行于某一固定平面(xoy)，同垂直于此平面的坐标同垂直于此平面的坐标(z)无关时，定义为平面应变状态，即无关时，定义为平面应变状态，即应变应变是二维的，只发生在某一族平行平面。是二维的，只发生在某一族平行平面。L-M流动法则流动法则式式(2.681)静水压力静水压力式式(2.37)式式(2.67)2n中间中间正正（主）应力与（主）应力与xoy面垂直，所以面垂直，所以z或或2对于对于平行于平行于xoy面面内内任意方向的力平任意方向的力平衡均不作用。因此，在确定过变形体内任意点与衡均不作用

25、。因此，在确定过变形体内任意点与xoy面面平行平行的任意的任意平平面面内内的应力时，的应力时，可以不考虑可以不考虑z或或2。n平面变形时的平面变形时的L-M流动法则：流动法则：n把把式式(2.681)代入代入式式(2.69)：dx=d(x-y)/2dy=d(y-x)/2dxy=dxy 式式(2.69)式式(2.70)dx dy，符合体积不变条件。，符合体积不变条件。2Mises屈服准则屈服准则力平衡方程力平衡方程可忽略可忽略 平面变形时，用平面变形时，用“力平衡方程力平衡方程”、“屈服准则屈服准则”、“边界条件边界条件”可解出应力分布。可解出应力分布。力平衡方程力平衡方程式式(2.4)式式(2

26、.67)式式(2.20)式式(2.68)式式(2.74)式式(2.72)平面变形时的屈服准则（塑性条件）：平面变形时的屈服准则（塑性条件）：一般应力条件一般应力条件主应力条件主应力条件z2=0?Mises屈服准则屈服准则Tresca屈服准则屈服准则 轧制板、带材轧制板、带材（忽略宽展）（忽略宽展），平面变形挤压和拉拔等都属于平面变形问题。，平面变形挤压和拉拔等都属于平面变形问题。式式(2.74)2.8.2轴对称问题n定义：应力和应变的分布以定义：应力和应变的分布以z轴为对称。轴为对称。方向无位移：方向无位移：u =0 z-r面不弯曲：面不弯曲：dz=dr=0，d0n由由L-M流动法则：流动法则

27、：式式(2.9)力平衡方程力平衡方程可忽略可忽略屈服准则屈服准则此时不能求解应力分布。此时不能求解应力分布。式式(2.37)式式(2.78)式式(2.79)n假设假设r=：屈服准则屈服准则 假设假设r=时，时，用用“力平衡方程力平衡方程”、“屈服准则屈服准则”、“边界条件边界条件”可解出应力可解出应力分布。分布。力平衡方程力平衡方程可忽略可忽略0 圆柱体压缩、挤压和拉拔等属于轴对称问题。圆柱体压缩、挤压和拉拔等属于轴对称问题。式式(2.78)式式(2.80)小结：小结：对平面变形和轴对称问题，引入适当的假设，可在避对平面变形和轴对称问题，引入适当的假设，可在避免求应变的情况下求出应力分布（确定

28、应力场）。免求应变的情况下求出应力分布（确定应力场）。图图1.28 理想理想刚刚-塑性材料塑性材料2.6等效应力和等效应变(自学)2.6.1等效应力（等效应力（e）2.6.2等效应变（等效应变（e）2.6.3等效应力与等效应变的关系等效应力与等效应变的关系2.6.4e-e曲线变形抗力曲线曲线变形抗力曲线2.6等效应力和等效应变nS：屈服极限，变形抗力、：屈服极限，变形抗力、流动极限流动极限、图图1.27弹塑性线性强化材料弹塑性线性强化材料2.6.1等效应力n等效应力等效应力(equivalent stress)：e sn各应力分量与各应力分量与e的关系的关系:(2.21)(2.20)2.6.2

29、等效应变n加工硬化：变形潜能（其增量等于塑性变形功增量）加工硬化：变形潜能（其增量等于塑性变形功增量）n等效应变增量等效应变增量de：n等效应变等效应变e：2.6.3等效应力与等效应变的关系式式(2.54)式式(2.37)2e2式式(2.47)可求出应变增量的分量。可求出应变增量的分量。式式(2.37)式式(2.59)式式(2.58)2.6.4 e-e曲线变形抗力曲线变形抗力曲线加工硬化曲线变形抗力曲线加工硬化曲线2.6.4.1单向拉伸单向拉伸2.6.4.2单向压缩圆柱体单向压缩圆柱体2.6.4.3平面变形压缩平面变形压缩2.6.4.4薄壁管扭转薄壁管扭转2.6.4.1单向拉伸2.6.4.2单

30、向压缩圆柱体2.6.4.3平面变形压缩平面变形抗力K1322.6.4.4薄壁管扭转213e-e曲线的一致性：曲线的一致性：n前提：无各向异性前提：无各向异性abe=lnl1l0(/)e=tan/3 e=s e=31/2.k图图2.22 曲线的一致性曲线的一致性单向拉伸单向拉伸薄壁管扭转薄壁管扭转e-e曲线的简化处理：曲线的简化处理：n平均变形抗力：平均变形抗力：n忽略弹性变形：忽略弹性变形：理想刚塑性体理想刚塑性体nemax：平面变形时平面变形时2.7变形抗力模型（自学）2.7.1变形抗力的概念及其影响因素变形抗力的概念及其影响因素2.7.2变形抗力模型变形抗力模型2.7.1变形抗力的概念及其

31、影响因素n变形抗力：变形抗力：sn工作应力工作应力(平均单位压力平均单位压力)：n：应力状态影响系数应力状态影响系数 s取决于金属的成分与组织、取决于金属的成分与组织、变形条件变形条件(变形温度、应变速率、变形程度等变形温度、应变速率、变形程度等)。n变形温度的影响变形温度的影响变形温度的升高，变形温度的升高，s总体总体降低直至基本降低直至基本为一常数值。为一常数值。p pn应变速率的影响：应变速率的影响：应变速率增加，使应变速率增加，使s增加，在高温区影响较增加，在高温区影响较大。大。(相对增加量相对增加量)n变形程度的影响：变形程度的影响：变形程度增加，使变形程度增加，使s增加。增加。(冷变形时尤其明显冷变形时尤其明显)2.7.2变形抗力模型n变形抗力是变形温度、应变速率和变形程度的函数：变形抗力是变形温度、应变速率和变形程度的函数：n热变形、冷变形热变形、冷变形热变形时变形抗力模型：冷变形时变形抗力模型：（表（表2.4）本章结束本章结束!e等效应变e等效应力等效应力 e=s变形区各点的变形程度不同变形区各点的变形程度不同变形抗力的确定变形抗力的确定 e刚塑性体的变形抗力曲线刚塑性体的变形抗力曲线 e=s