工程力学电子教案(第三版)第4章弹性变形体静力分析基础课件.ppt

1、内容提要内容提要 从本章开始研究杆件的强度、刚度和从本章开始研究杆件的强度、刚度和稳定性计算。本章介绍弹性变形体静力分稳定性计算。本章介绍弹性变形体静力分析中几个重要的基本概念和方法，包括变析中几个重要的基本概念和方法，包括变形固体的基本假设、内力和求内力的截面形固体的基本假设、内力和求内力的截面法、应力、变形与应变以及胡克定律。杆法、应力、变形与应变以及胡克定律。杆件是本课程中主要的研究对象，对其变形件是本课程中主要的研究对象，对其变形形式也作了扼要介绍。形式也作了扼要介绍。第4章 弹性变形体静力分析基础 4-1 4-1 变形固体的基本假设变形固体的基本假设4-2 4-2 内力与应力内力与应

2、力 4-3 4-3 变形与应变变形与应变4-4 4-4 杆件的变形形式杆件的变形形式 小结小结 本章内容本章内容 第4章 弹性变形体静力分析基础 1.变形固体变形固体 当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，由于这些问题与构件的变形密切相关，所以必须由于这些问题与构件的变形密切相关，所以必须把构件看作是变形固体。把构件看作是变形固体。变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形两类。在外力撤去后能消失的性变形和塑性变形两类。在外力撤去后能消失的变形称为变形称为弹性变形弹性变形，不能消失而遗留下的变形称，不能消失

3、而遗留下的变形称为为塑性变形塑性变形。41 变形固体的基本假设变形固体的基本假设 当所受外力不超过一定限度时，绝大多数工程当所受外力不超过一定限度时，绝大多数工程材料在外力撤去后，其变形可完全消失，具有这种材料在外力撤去后，其变形可完全消失，具有这种变形性质的变形固体称为变形性质的变形固体称为完全弹性体完全弹性体；当所受外力；当所受外力撤去后，其变形可部分消失，而遗留一部分不能消撤去后，其变形可部分消失，而遗留一部分不能消失的变形，这种变形固体称为失的变形，这种变形固体称为部分弹性体部分弹性体。本课程。本课程只研究完全弹性体。只研究完全弹性体。41 变形固体的基本假设变形固体的基本假设 2.变

4、形固体的基本假设变形固体的基本假设（1）连续性假设连续性假设 即认为组成固体的物质毫无间隙即认为组成固体的物质毫无间隙地充满物体的几何容积。地充满物体的几何容积。（2）均匀性假设均匀性假设 即认为固体各部分的力学性能是即认为固体各部分的力学性能是完全相同的。完全相同的。（3）各向同性假设各向同性假设 即认为固体沿各个方向的力学即认为固体沿各个方向的力学性能都是相同的。性能都是相同的。本课程只限于分析构件的本课程只限于分析构件的小变形小变形。所谓小变。所谓小变形是指构件的变形量远小于其原始尺寸。因此，形是指构件的变形量远小于其原始尺寸。因此，在确定构件的平衡和运动时，可不计其变形量，在确定构件的

5、平衡和运动时，可不计其变形量，仍按原始尺寸进行计算，从而简化计算过程。仍按原始尺寸进行计算，从而简化计算过程。41 变形固体的基本假设变形固体的基本假设 实际上，一般的固体内部均存在不同程度的实际上，一般的固体内部均存在不同程度的空隙，但这种空隙的大小与构件尺寸相比是极其空隙，但这种空隙的大小与构件尺寸相比是极其微小的，可以略去不计。从微观上看，材料的各微小的，可以略去不计。从微观上看，材料的各处、各方向的性能是有差异的。处、各方向的性能是有差异的。例如就工程中使用最多的金属材料来说，组例如就工程中使用最多的金属材料来说，组成金属物体的各晶粒及单一晶粒沿不同方向的力成金属物体的各晶粒及单一晶粒

6、沿不同方向的力学性能并不完全相同，但因构件或构件的任一部学性能并不完全相同，但因构件或构件的任一部分中都包含极多的晶粒，且又杂乱无章地排列，分中都包含极多的晶粒，且又杂乱无章地排列，按统计学的观点可认为金属材料的力学性能是均按统计学的观点可认为金属材料的力学性能是均匀、各向同性的。匀、各向同性的。试验结果表明，根据这些假设得到的理论，试验结果表明，根据这些假设得到的理论，基本符合工程实际。基本符合工程实际。41 变形固体的基本假设变形固体的基本假设 42l 内力的概念内力的概念 构件在未受外力作用时，其内部各部分之间构件在未受外力作用时，其内部各部分之间存在着相互作用的力，以维持它们之间的联系

7、，存在着相互作用的力，以维持它们之间的联系，保持构件的形状。保持构件的形状。当构件受到外力的作用而变形时，其内部各当构件受到外力的作用而变形时，其内部各部分之间的相对位置发生变化，因而它们的相互部分之间的相对位置发生变化，因而它们的相互作用力也发生改变。作用力也发生改变。42 内力与应力内力与应力 这种由于外力作用而引起的构件内部各部分这种由于外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为之间的相互作用力的改变量，称为“附加内力附加内力”，简称简称内力内力。内力随外力的增加而加大，到达某一限度时内力随外力的增加而加大，到达某一限度时就会引起构件的破坏，因而它与构件的强度是密就会引

8、起构件的破坏，因而它与构件的强度是密切相关的。切相关的。42 内力与应力内力与应力 422 截面法截面法 求构件的内力的基本方法是截面法求构件的内力的基本方法是截面法。截面法。截面法的步骤如下：的步骤如下：(1)截开截开 沿需要求内力的截面假想地把构件沿需要求内力的截面假想地把构件截开，分成两部分。截开，分成两部分。(2)取出取出 任取其中的一部分任取其中的一部分(一般取受力较简一般取受力较简单的部分单的部分)为研究对象，弃去另一部分。为研究对象，弃去另一部分。42 内力与应力内力与应力 (3)代替代替 按照连续性假设，内力应连续分布按照连续性假设，内力应连续分布于整个切开的截面上，将该分布内

9、力系向截面于整个切开的截面上，将该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩上某一点简化后得到内力的主矢和主矩(以后就以后就称它为截面上的内力称它为截面上的内力)，并用它代替弃去部分对，并用它代替弃去部分对留下部分的作用。留下部分的作用。42 内力与应力内力与应力 (4)平衡平衡 列出留下部分的平衡方程，求出列出留下部分的平衡方程，求出未知内力。未知内力。例例41 求构件求构件(图图41a)mm截面上的内力。截面上的内力。图图41 42 内力与应力内力与应力 解解 假想沿截面假想沿截面mm把构件截开，取构件的把构件截开，取构件的下半部分为研究对象。在构件下半部分为研究对象。在构件A端作

10、用的外力有端作用的外力有F1和和F2。欲使下半部分保持平衡，则。欲使下半部分保持平衡，则mm截面上截面上必有内力作用。显然，内力是水平方向的力必有内力作用。显然，内力是水平方向的力FS、铅直方向的力铅直方向的力FN和力偶和力偶M(图图41b)。列出平衡方程列出平衡方程 Fx=0，F1FS=0 得得FS=F1Fy=0，FNF2=0 得得FN=F2MO=0，F1aF2bM=0 M=F1aF2b 得得42 内力与应力内力与应力 图图41 42 内力与应力内力与应力 423 应力应力 构件某一截面上的内力是分布内力系的主矢构件某一截面上的内力是分布内力系的主矢和主矩，它只表示截面上总的受力情况，还不能

11、和主矩，它只表示截面上总的受力情况，还不能说明分布内力系在截面上各点处的密集程度说明分布内力系在截面上各点处的密集程度(简称简称集度集度)。为了解决构件的强度问题，还必须研究截面为了解决构件的强度问题，还必须研究截面上内力分布的集度。例如实践证明，两根材料相上内力分布的集度。例如实践证明，两根材料相同的拉杆，一根较粗、一根较细，二者承受相同同的拉杆，一根较粗、一根较细，二者承受相同的拉力，当拉力同步增加时，细杆将先被拉断。的拉力，当拉力同步增加时，细杆将先被拉断。这表明，虽然两杆截面上的内力相等，但内力的这表明，虽然两杆截面上的内力相等，但内力的分布集度并不相同，细杆截面上内力分布的集度分布集

12、度并不相同，细杆截面上内力分布的集度比粗杆截面上的集度大。比粗杆截面上的集度大。42 内力与应力内力与应力 所以，在材料相同的情况下，判断杆件破坏所以，在材料相同的情况下，判断杆件破坏的依据不是内力的大小，而是内力分布的集度。的依据不是内力的大小，而是内力分布的集度。为此，引入应力的概念。为此，引入应力的概念。42 内力与应力内力与应力 1.应力的定义应力的定义 设在受力构件的设在受力构件的mm截面上，围绕截面上，围绕M点取点取微面积微面积A(图图42a)，A上分布内力的合力为上分布内力的合力为F，则在则在A范围内的单位面积上内力的平均集度为范围内的单位面积上内力的平均集度为AFpmAAAAd

13、dlimlim0m0FFpp pm称为称为 A上的平均应力。为消除所取面上的平均应力。为消除所取面积积 A 大小的影响，可令大小的影响，可令 A 趋于零，取极限，趋于零，取极限，这样得到这样得到42 内力与应力内力与应力 p称为称为M点处的点处的应力应力。图图42 42 内力与应力内力与应力 2.正应力和切应力正应力和切应力 p是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常把应力截面相切。通常把应力p分解成垂直于截面的法分解成垂直于截面的法向分量向分量 和与截面相切的切向分量和与截面相切的切向分量 (图图42b)。称为称为M点处的点处的正应力正应力，

14、称为称为M点处的点处的切应力切应力。=pcos，=psin 42 内力与应力内力与应力 图图42 42 内力与应力内力与应力 3.应力的单位应力的单位1kPa=110 Pa1MPa=110 Pa1GPa=110 Pa 963 工程实际中常采用帕的倍数：工程实际中常采用帕的倍数：kPa(千帕千帕)、MPa(兆帕兆帕)和和GPa(吉帕吉帕)，其关系为，其关系为1Pa=1N/m。2应力的单位为帕斯卡，简称帕，用应力的单位为帕斯卡，简称帕，用Pa表示，表示，构件在外力作用下，其几何形状和尺寸的改构件在外力作用下，其几何形状和尺寸的改变，统称为变形。一般地说，构件内各点处的变变，统称为变形。一般地说，构

15、件内各点处的变形是不均匀的。为了研究构件的变形以及截面上形是不均匀的。为了研究构件的变形以及截面上的应力分布规律，还必须研究构件内各点处的变的应力分布规律，还必须研究构件内各点处的变形。形。43 变形与应变变形与应变 1.线应变线应变 围绕构件内围绕构件内M点取一微小正六面体点取一微小正六面体(图图43a)，设其沿设其沿x轴方向的棱边长为轴方向的棱边长为x，变形后边长为，变形后边长为x+u，u称为称为x的线变形。比值的线变形。比值 xumxum 称为线段称为线段x的平均线应变，当的平均线应变，当x趋近于零趋近于零时，平均线应变的极限值称为时，平均线应变的极限值称为M点处沿点处沿x方向的线方向的

16、线应变，用应变，用x表示，即表示，即 xuxuxxddlim043 变形与应变变形与应变 yz同样可定义同样可定义M点处沿点处沿y或或z方向的线应变方向的线应变或或。图图43 43 变形与应变变形与应变 43 变形与应变变形与应变 2.切应变切应变角的改变量角的改变量 称为称为M点处的点处的切应变切应变。当构件变形后，上述正六面体除棱边的长度当构件变形后，上述正六面体除棱边的长度改变外，原来互相垂直的平面，例如改变外，原来互相垂直的平面，例如Oxz平面与平面与Oyz平面间的夹角也可能发生改变平面间的夹角也可能发生改变(图图43b)，直，直图图43 43 变形与应变变形与应变 线应变线应变和切应

17、变和切应变是度量构件内一点处是度量构件内一点处的单位是的单位是rad(弧度弧度)。变形程度的两个基本量，它们都是量纲为变形程度的两个基本量，它们都是量纲为1的量，的量，43 变形与应变变形与应变 =E(41)上式称为上式称为胡克定律胡克定律。式中的比例常数式中的比例常数E称为称为弹性模量弹性模量。它与材料。它与材料的力学性能有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的力学性能有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标，对同一材料，弹性模量的一个指标，对同一材料，弹性模量E为常数。为常数。E的数值随材料而异，可由试验测定。弹性模量的数值随材料而异，可由试验测定。弹性模量E的单位与应力的单位相同。的单位与应

18、力的单位相同。43 变形与应变变形与应变 3.胡克定律胡克定律（1）胡克定律）胡克定律 试验表明，试验表明，当正应力当正应力 未超过某一极限值未超过某一极限值时，正应力时，正应力 与其相应的线应变与其相应的线应变 成正比成正比。引入。引入比例常数比例常数E，则可得到，则可得到=G (42)上式称为上式称为剪切胡克定律剪切胡克定律。式中的比例常数式中的比例常数G称为称为切变模量切变模量。它也与材。它也与材料的力学性能有关。对同一材料，切变模量料的力学性能有关。对同一材料，切变模量G为为常数。常数。G的单位与应力的单位相同。的单位与应力的单位相同。43 变形与应变变形与应变（2）剪切胡克定律）剪切

19、胡克定律 试验还表明，试验还表明，当切应力当切应力 未超过某一极限未超过某一极限值时，切应力值时，切应力 与其相应的切应变与其相应的切应变 成正比成正比。引。引入比例常数入比例常数G，则可得到，则可得到 杆件是本课程中的主要研究对象，当外力以杆件是本课程中的主要研究对象，当外力以不同的方式作用于杆件时，杆件将产生不同形式不同的方式作用于杆件时，杆件将产生不同形式的变形。杆件的变形分为的变形。杆件的变形分为基本变形基本变形和和组合变形组合变形。1.基本变形基本变形 （1）轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 在一对大小相等、方向在一对大小相等、方向相反的轴向外力作用下，杆件主要发生沿轴向的相反的轴向外力

20、作用下，杆件主要发生沿轴向的伸长或缩短伸长或缩短(图图44)。44 杆件变形的形式杆件变形的形式 图图44 44 杆件变形的形式杆件变形的形式 （2）剪切剪切 在一对相距很近、大小相等、方向在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的相邻横截面发生相反的横向外力作用下，杆件的相邻横截面发生相对错动相对错动(图图45)。图图45 44 杆件变形的形式杆件变形的形式 （3）扭转扭转 在一对大小相等、方向相反、作用在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴的外力偶作用下，杆件的任意两个面垂直于杆轴的外力偶作用下，杆件的任意两个横截面发生相对转动横截面发生相对转动(图图46)。图图46

21、44 杆件变形的形式杆件变形的形式 （4）弯曲弯曲 在一对大小相等、方向相反、作用在一对大小相等、方向相反、作用于通过杆轴的平面内的外力偶作用下，杆件的轴于通过杆轴的平面内的外力偶作用下，杆件的轴线变为曲线线变为曲线(图图47)。在横向外力作用下发生的。在横向外力作用下发生的弯曲变形，也称为横力弯曲弯曲变形，也称为横力弯曲(图图48)。图图4744 杆件变形的形式杆件变形的形式 图图48 44 杆件变形的形式杆件变形的形式 2.组合变形组合变形 实际杆件的变形是多种多样的，可能只是某实际杆件的变形是多种多样的，可能只是某一种基本变形，也可能是两种或两种以上的基本一种基本变形，也可能是两种或两种

22、以上的基本变形的组合，称为组合变形。例如图变形的组合，称为组合变形。例如图49所示杆所示杆件，同时发生扭转变形和弯曲变形。件，同时发生扭转变形和弯曲变形。图图49 44 杆件变形的形式杆件变形的形式 小结小结1.变形固体的基本假设变形固体的基本假设（1）连续性假设）连续性假设 （2）均匀性假设）均匀性假设 （3）各向同性假设）各向同性假设 2.内力与截面法内力与截面法（1）由于外力作用而引起的构件内部各部分之）由于外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为内力。间的相互作用力的改变量，称为内力。（2）求构件的内力的基本方法是截面法。截面）求构件的内力的基本方法是截面法。截面法

23、的步骤如下：截开、取出、代替、平衡。法的步骤如下：截开、取出、代替、平衡。3.应力应力 （1）单位面积上的内力称为应力。）单位面积上的内力称为应力。（2）应力在截面法向的分量称为正应力，与截）应力在截面法向的分量称为正应力，与截面相切的分量称为切应力。面相切的分量称为切应力。4.应变应变 （1）单位长度的变形称为线应变。）单位长度的变形称为线应变。（2）微小正六面体直角的改变量称为切应变。）微小正六面体直角的改变量称为切应变。5.胡克定律胡克定律（1）胡克定律）胡克定律 试验表明，当正应力试验表明，当正应力 未超过某一极限未超过某一极限值时，正应力值时，正应力 与其相应的线应变与其相应的线应变成正比。成正比。（2）剪切胡克定律）剪切胡克定律 试验还表明，当切应力试验还表明，当切应力 未超过某一极限未超过某一极限值时，切应力值时，切应力 与其相应的切应变与其相应的切应变成正比。成正比。6.杆件变形的形式杆件变形的形式（1）基本变形）基本变形轴向拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲。轴向拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲。（2）组合变形）组合变形 两种或两种以上的基本变形的组合，称为两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。组合变形。